吴金革  济南第三职业中等专业学校 

高中学习的概率统计知识是每年高考命题的热点，注重以概率统计的知识为载体，考查实践能力和创新意识. 下面通过简析有关概率统计方面的试题，来分析命题方向，透视命题信息，以便科学高效地组织好对概率统计方面的复习.

一、概率统计试题分类解析

（一）统计基本模型

1.随机抽样

例1. （2010年上海市春季高考)某社区对居民进行上海世博会知晓情况的分层抽样调查.已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有人、人、人.若在老年人中的抽样人数是，则在中年人中的抽样人数应该是              .

【解析】由题意可知，抽取的比例为，故中年人应该抽取人数为.

【命题意图】本题考查分层抽样的知识. 随机抽样有三种：简单的随机抽样、系统抽样、分层抽样，共同点：每一个个体被抽到的概率相等. 

2.频率分布

例2.(2009年山东高考卷理科)某工厂对一批产品进行了抽样检测. 图1是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是，样本数据分组为，，，，,已知样本中产品净重小于克的个数是，则样本中净重大于或等于克并且小于克的产品的个数是(        ).

A.       B.        C.        D. 

【解析】产品净重小于克的概率为, 已知样本中产品净重小于克的个数是,设样本容量为,则,所以,净重大于或等于克并且小于克的产品的概率为,所以样本中净重大于或等于克并且小于克的产品的个数是.故选A.

【命题意图】本题考查了统计与概率的知识,读懂频率分布直方图, 会计算概率以及样本中有关的数据.

3.平均数、方差

例3.（2010年山东高考卷理科）样本有五个个体，其值分别为,若该样本的平均值为，则样本方差为（     ）

A．              B.           C.           D. 

【解析】由题意知，,解得,所以样本方差为

,故选D.

【命题意图】本题考查样本平均数、方差, 属基础题, 熟记平均数、方差公式是解答好本题的关键.

4.离散型随机变量的期望与方差

【解析】由题知，，，解得，.                                                        图2

【命题意图】本题考查了数学期望、方差的计算公式. 

5.正态分布

例5．（2010年高考山东卷理科）已知随机变量服从正态分布,若,则(      ) 

  A.         B.        C.      D. 

【解析】因为服从正态分布,所以正态曲线关于直线对称. 又,所以,所以，故选C.

【命题意图】本题考查正态分布的基本性质,掌握正态分布的基础知识.

6.相关关系

例6（2009年高考宁夏海南卷理科）对变量有观测数据,得散点图3；对变量有观测数据,得散点图4. 由这两个散点图可以判断（     ）.

A.变量与正相关，与正相关         B.变量与正相关，与负正相关

C.变量与负相关，与正相关         D.变量与负相关，与负相关

【解析】由这两个散点图可以判断, 变量与负正相关，与正相关,选C.

【命题意图】本题考查变量相关关系的概念、散点图.

（二）概率基本模型

1.古典概型

例7．（2010年山东高考卷文科）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为.（1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于的概率；

（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为, 将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为,求的概率.

【解析】（1）从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：和,  和,  和，和，和，和，共个. 从袋中随机取两个球的编号之和不大于的事件有：和,  和,共个. 因此所求事件的概率.

（2）先从袋中随机取一个球，记下该球的编号为, 将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，记下该球的编号为，其一切可能的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，，共个. 又满足条件的事件为，，，共个. 所以满足条件的事件的概率为. 故满足条件的事件的概率为.

【命题意图】本小题主要考查古典概型、对立事件的概率计算，考查学生分析问题、解决问题的能力.

2.几何概型

例8．(2010年高考湖南卷理科)在区间上随机取一个数，则的概率为________.

【解析】.

【命题意图】本题考查几何概型的概率，属容易题.

3.相互事件

例9．（2009年高考上海卷理科）若事件与相互，且，则的值等于（   ）

A．          B.            C.         D. 

【解析】＝. 选B.

【命题意图】本题考查相互事件的概率公式.

4.条件概率

例10．（2010年高考安徽卷理科）甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）.①；②；③事件与事件相互；④是两两互斥的事件；⑤的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关.

【解析】易知事件两两互斥，而

.选②④.

【命题意图】本题是考查概率的综合问题，掌握事件的互斥、性、条件概率基本概念，及条件概率的基本运算是解决问题的关键.

（三）概率统计综合题型

例11.（2010年高考陕西卷理科）为了解学生身高情况，某校以的比例对全校名学生按性别进行出样检查，测得身高情况的统计如下图5、图6. 

（1）估计该小男生的人数；

（2）估计该校学生身高在之间的概率；

（3）从样本中身高在之间的女生中任选人，求至少有人身高在之间的概率.

【解析】（1）样本中男生人数为，由分层出样比例为估计全校男生人数为.

（2）由统计图知，样本中身高在之间的学生有人，样本容量为，所以样本中学生身高在之间的频率, 故有估计该校学生身高在之间的概率.

（3）样本中女生身高在之间的人数为，身高在之间的人数为.

设表示事件“从样本中身高在之间的女生中任选人，求至少有人身高在1之间”，则或.

【命题意图】本题考查频数分布图、分层抽样、样本的频率、概率，组合、古典概型、对立事件的概率等知识，及分析解决实际问题的能力.

例12.（2010年高考全国卷1理科）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录

用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为，复审的稿件能通过评审的概率为．

各专家评审．

(1)求投到该杂志的篇稿件被录用的概率；

(2)记表示投到该杂志的篇稿件中被录用的篇数，求的分布列及期望．

【解析】(1)记表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；表示事件：稿件能通过复审专家的评审；表示事件：稿件被录用. 则D.

，，，

．

(2)，，，

，，

．

其分布列为：

【命题意图】本题主要考查等可能性事件、互斥事件、事件、相互试验、分布列、数学期望等知识,以及运用概率知识解决实际问题的能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想.

（四）概率与其它知识的综合问题

1.古典概型与等差数列综合

例13.（2008年高考山东卷理科）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为…，的名火炬手.若从中任选人，则选出的火炬手的编号能组成为公差的等差数列的概率为(        )

A．            B.                C.             D. 

【解析】从名火炬手中任选人，共有种方法，而选出的火炬手的编号能组成为公差的等差数列的基本事件：，,，,……，,，共种方法，所以选出的火炬手的编号能组成为公差的等差数列的概率为.故选B.

【命题意图】本题考查了等差数列和古典概型的综合应用.

2. 古典概型与立体几何综合

例14.（2009年高考安徽卷理科）考察正方体个面的中心，甲从这个点中任意选两个点连成直线，乙也从这个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（     ）

A.          B.          C.          D. 

【解析】如图7，甲从这个点中任意选两个点连成直线，乙也从这个点中任意选两个点连成直线，共有种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有  ，共对. 所以所求概率为，选D.

【命题意图】本题考查了立体几何中的两直线的位置关系、排列组合、古典概型的知识.

3.几何概型与三角函数综合

例15.(2009年高考山东卷理科)在区间上随机取一个数，的值介于0到之间的概率为(    ) 

  A.          B.          C.         D.      

【解析】在上随机取一个数,即时,要使的值介于0到之间,需使或∴或，区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为.故选A.

【命题意图】本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量的取值范围,得到函数值的范围,再由长度型几何概型求得.有值域的范围求定义域的范围就是逆向思维.

4. 几何概型与定积分综合

例16.（2010年高考陕西卷理科）从如图8所示的长方形区域内任取一个点，则点取自阴影部分的概率为.

【解析】本题属于几何概型，∵，，∴所求概率为.

【命题意图】本题考查了微积分基本定理，几何概型的知识.

二、高考中概率统计试题的特点

（一）理科试题特点

（1）概率统计试题的题量大致为道题，约占全卷总分的，试题的难度为中等或中等偏易.

（2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为意图高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题.这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际.

（3）概率统计试题主要考查基本概念和基本公式，古典概型和几何概型的概率、互斥事件的概率、事件的概率、条件概率、事件在次重复试验中恰发生次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望、方差、频率分布、茎叶图、抽样方法、正态分布等内容都进行了考查.

（4）概率统计试题在试卷中的题型变化不大，近几年都是两道选择题或填空题、一道解答题.由此可以看出，试题逐步稳定，并成为高考卷中的主流应用题.

 （二）文科试题特点

（1）概率统计试题的题量大致为道，约占全卷总分的，试题的难度为中等或中等偏易.

（2）概率统计试题主要考查基本概念和基本公式，古典概型、几何概型、互斥事件的概率、频率分布、平均数、方差、茎叶图、抽样方法等内容都进行了考查. 选择题大多与理科相同或相近.

（3）概率统计试题在试卷中的题型变化不大，近几年稳定在一道选择题和一道解答题.由此可以看出，试题稳定在一小一大，并成为高考卷中的应用题.

三、知识解析和命题趋势探讨

1.随机事件的概率试题，理科主要考查基本概念和基本公式，集中在古典概型、几何概型、互斥事件的概率、对立事件的概率、相互事件的概率、重复试验、条件概率等基本概率类型进行了考查，试题为选择题或解答题的一部分.文科主要考查基本概念和基本公式，集中在古典概型、几何概型、互斥事件的概率、对立事件的概率、相互事件的概率等基本概率类型进行了考查，试题为选择题，解答题.文科解答题特别注重对古典概型的考查，也可结合统计的知识，或与其他知识结合设计.值得注意的是试题设计背景在稳定中探求创新性.

2.离散型随机变量分布列和数学期望、方差是理科数学高考的一大热点. 由于应用题对学生阅读能力的要求较高，对题目的准确理解，找到数学模型，是解题的关键，很多学生因为阅读理解能力差而不得分. 应该把近几年各地高考及模拟题归类分析，强化训练，提高阅读能力和运算能力.明年高考理科概率解答题估计仍然以离散型随机变量分布列和数学期望形式出现.

3.统计试题主要考查抽样方法，茎叶图、平均数、方差、频率分布表和频率分布直方图、正态分布. 抽样方法主要考查分层抽样，较为简单.频率分布直方图、茎叶图是高考的另一个热点，应引起重视.有些省的高考试题已经涉及变量的相关性、性检验，也应重视这一动向.

4.近几年理科高考中，对概率统计的考查逐步由注重基础知识和基本技能转向注重综合能力，重视在知识网络的交汇点设计试题，解答题基本上对概率中互斥事件、相互事件、对立事件、离散项随机变量的期望和方差进行了考查, 在此基础上对分类与整合、函数与方程、转化与划归等数学思想进行考查.今后的高考会继续这一特点，加强试题的综合性，考查综合能力.下载本文