1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为
（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如：
（1）1，2，3，4，5，…，100；
（2）1，3，5，7，9，…，99；
（3）8，15，22，29，36，…，71。
其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：
和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？
分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等差数列求和公式可得
原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？
分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到
项数=（末项-首项）÷公差+1，
末项=首项+公差×（项数-1）。
例3 3＋7＋11＋…＋99＝？
分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，
项数=（99－3）÷4＋1＝25，
原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
解：末项=25＋3×（40-1）＝142，
和=（25＋142）×40÷2＝3340。
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？
分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：
由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。
解：（1）最大三角形面积为
（1＋3＋5＋…＋15）×12
＝［（1＋15）×8÷2］×12
＝768（厘米2）。
（2）火柴棍的数目为
3＋6＋9+…+24
＝（3＋24）×8÷2=108（根）。
答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。
例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？
分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了
2×1＋2×2＋…＋2×10
＝2×（1＋2＋…＋10）
＝2×55＝110（只）。
加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。
综合列式为：
（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3
＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。
练习3
1.计算下列各题：
（1）2＋4＋6＋…＋200；
（2）17＋19＋21＋…＋39；
（3）5＋8＋11＋14＋…＋50；
（4）3＋10＋17＋24＋…＋101。
2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。
4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜敲打多少次？
5.求100以内除以3余2的所有数的和。
6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？
答 案
1.（1）10100；（2）336；（3）440；（4）780。
2.1127。 提示：项数=（93-5）÷4+1=23。
3.2565。 提示：末项=13+5×（30-1）=158。
4.180次。 解：（1+2+…+12）×2+24=180（次）。
5.1650。 解：2+5+8+…+98=1650。
6.45个。
提示：十位数为1，2，…，9的分别有1，2，…，9个。
鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的，它是一类有名的中国古算题。许多小学算术应用题，都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。
例1 小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？
分析：假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。
解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），
有鸡16-6＝10（只）。
答：有6只兔，10只鸡。
当然，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有4×16＝（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况少了－44＝20（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了4-2＝2（只）。因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。
有鸡（4×16-44）÷（4-2）=10（只），
有兔16——10＝6（只）。
由例1看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡；也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置换问题。
例2 100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少人？
分析与解：本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。
假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300－140＝160（个）。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3——1＝2（个），因为160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有
100－80＝20（人）。
同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。
在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。
例3 彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。问：两种文化用品各买了多少套？
分析与解：我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚，一种“怪兔”有1个头19只脚，它们共有16个头，280只脚。这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。
假设买了16套彩色文化用品，则共需19×16＝304（元），比实际多304——280＝24（元），现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用19——11＝8（元），所以
买普通文化用品 24÷8=3（套），
买彩色文化用品 16－3＝13（套）。
例4 鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只？
分析：假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200——20=180（只）。
现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，鸡100——30＝70（只）。
解：有兔（2×100——20）÷（2＋4）＝30（只），
有鸡100——30=70（只）。
答：有鸡70只，兔30只。
例5 现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。问：大、小瓶各有多少个？
分析：本题与例4非常类似，仿照例4的解法即可。
解：小瓶有（4×50-20）÷（4＋2）＝30（个），
大瓶有50-30＝20（个）。
答：有大瓶20个，小瓶30个。
例6 一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨？
分析：要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。
利用假设法，假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下4×36=144（吨）。根据条件，要装完这144吨钢材还需要45-36=9（辆）小卡车。这样每辆小卡车能装144÷9＝16（吨）。由此可求出这批钢材有多少吨。
解：4×36÷（45-36）×45＝720（吨）。
答：这批钢材有720吨。
例7 乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费0.24元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果搬运站共得运费115.5元。问：搬运过程打破了几只花瓶？
分析：假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费0.24×500=120（元）。实际上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。搬运站每打破一只花瓶要损失0.24＋1.26＝1.5（元）。因此共打破花瓶4.5÷1.5＝3（只）。
解：（0.24×500－115.5）÷（0.24＋1.26）＝3（只）。
答：共打破3只花瓶。
例8 小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780下。已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？
分析与解：利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了
12×（2＋3）＝60（下）。
可求出小乐每分钟跳
（780——60）÷（2＋3＋3）＝90（下），
小乐一共跳了90×3=270（下），因此小喜比小乐共多跳
780——270×2＝240（下）。
练习13
1．鸡、兔共有头100个，脚350只，鸡、兔各有多少只？
2．学校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120个学生进行活动。问：象棋与跳棋各有多少副？
3．班级购买活页簿与日记本合计32本，花钱74元。活页簿每本1.9元，日记本每本3.1元。问：买活页簿、日记本各几本？
4．龟、鹤共有100个头，鹤腿比龟腿多20只。问：龟、鹤各几只？
5．小蕾花40元钱买了14张贺年卡与明信片。贺年卡每张3元5角，明信片每张2元5角。问：贺年卡、明信片各买了几张？
6．一个工人植树，晴天每天植树20棵，雨天每天植树12棵，他接连几天共植树112棵，平均每天植树14棵。问：这几天有几个雨天？
7．振兴小学六年级举行数学竞赛，共有20道试题。做对一题得5分，没做或做错一题都要扣3分。小建得了60分，那么他做对了几道题？
8．有一批水果，用大筐80只可装运完，用小筐120只也可装运完。已知每只大筐比每只小筐多装运20千克，那么这批水果有多少千克？
9．蜘蛛有腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现有三种小虫共18只，有11腿和20对翅膀。问：每种小虫各有几只？
10．鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚92只。问：鸡、兔各几只？
1.兔75只，鸡25只。
2.象棋9副，跳棋17副。
3.活页簿21本，日记本11本。
4.30只龟，70只鹤。
5.贺年卡5张，明信片9张。
6.6天。 7.15道。
8.4800千克。
解：［（80×20）÷（120-80）］×120＝4800（千克）。
9.5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉。
提示：把小虫分成腿与6条腿两种，先求出蜘蛛的数。
10.兔18只，鸡14只。
解：由于鸡换成兔，兔换成鸡，脚的只数少了8只，故原来的兔比鸡多4只。减去这4只兔，则鸡、兔一样多，并且共有脚100-4×4=84（只），所以，
鸡有84÷（4+2）=14（只），
兔有14+4=18（只）。
（1） 5678+1999=
（2） 8765-1998=
2，（81+82+83+81+83+8638+8639）÷7=
3，（1）99999×22222+33333×33334=
（2）66666×10001+66666×6666=
4，（1）2+4+6+8+10+12+…………+96+98+100=
（2）1000+999-998+997+996-995+…………+106+105-104+103+102-101=
5，在19和91之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列，写出插入的5个数。
6，判断：12+13+14+……+86+87的和是一个奇数还是一个偶数
7，19991999×19991998-19992000×19991997=
8，19981999×19991998-19981998×19991999=
答 案
1计算 （1）5678+1999=5678+（2000-1）=5678+2000-1 =7677
（2） 8765-1998
=8765-(2000-2)
=8765-2000+2
=6768
2，（81+82+83+81+83+8638+8639）÷7
=(80+1+80+2+80+3+80+1+80+3+80-2+80-1) ÷7
=(80 ×7+7) ÷7
=81×7÷7
=81
3，（1）99999×22222+33333×33334
=33333×66666+33333×33334
=33333×(66666+33334)
=33333 ×100000
=3333300000
（2）66666×10001+66666×6666
=11111×（6×10001+6×6666）
=11111×100002
=1111122222
4，（1）2+4+6+8+10+12+…………+96+98+100
=(2+100) ×50÷2
=2550
（2）1000+999-998+997+996-995+…………+106+105-104+103+102-101
=165750(把3个数看成一组 计算出结果 结果是一个等差数列)
5，在19和91之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列，写出插入的5个数。
答案：31 43 55 67 79
6，判断：12+13+14+……+86+87的和是一个奇数还是一个偶数
答案：偶数 把数分为2组 一组奇 一组偶 发现奇有38个 偶数有37个 加起来还是偶数
7，19991999×19991998-19992000×19991997
=19991999×（19991999-1）-（19991999+1）×(19991999-2)
=2
8，19981999×19991998-19981998×19991999
=(19981998+1) ×(19991999-1)-19981998×19991999
=10000
9+99+999+9999+99999=
2，199999+19999+1999+199+19=
3，（2+4+6+8+10+……+1886+1888）—（1+3+5+7+9+……+1885+1887）=
4，9999×2222＋3333×3334＝
5，56×32＋56×27＋56×96－56×57＋56＝
6，98766×98768－98765×98769＝
1， 计算9＋99＋999＋9999＋99999
解：在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.
9＋99＋999＋9999＋99999
＝（10－1）＋（100-1）＋（1000－1）＋（10000-1）＋（100000-1）
＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5
＝111110-5
＝111105.
2， 计算199999＋19999＋1999＋199＋19
解：此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.（如 199＋1＝200）
199999＋19999＋1999＋199＋19
＝（19999＋1）＋（19999＋1）＋（1999＋1）＋（199＋1）＋（19＋1）－5
＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5
＝222220-5
＝22225.
3，计算（2+4+6+…+996+998+1000）－－（1+3+5+…+995+997+999）
分析：题目要求的是从2到1000的偶数之和减去从1到999的奇数之和的差，如果按照常规的运算法则去求解，需要计算两个等差数列之和，比较麻烦。但是观察两个扩号内的对应项，可以发现2－1=4－3=6－5=…1000－999=1，因此可以对算式进行分组运算。
解：解法一、分组法
（2+4+6+…+996+998+1000）－（1+3+5+…+995+997+999）
=（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（996－995）+（998－997）+（1000－999）
=1+1+1+…+1+1+1（500个1）
=500
解法二、等差数列求和
（2+4+6+…+996+998+1000）－（1+3+5+…+995+997+999）
=（2+1000）×500÷2－（1+999）×500÷2
=1002×250－1000×250
=（1002－1000）×250
=500
4，计算 9999×2222＋3333×3334
解：此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为3333×3，规律就出现了.
9999×2222＋3333×3334
＝3333×3×2222＋3333×3334
＝3333×6666＋3333×3334
＝3333×（6666＋3334）
＝3333×10000
＝33330000.
5，56×3+56×27+56×96-56×57+56
分析：乘法分配律同样适合于多个乘法算式相加减的情况，在计算加减混合运算时要特别注意，提走公共乘数后乘数前面的符号。同样的，乘法分配率也可以反着用，即将一个乘数凑成一个整数，再补上他们的和或是差。
56×3+56×27+56×96-56×57+56
=56×（32+27+96－57+1）
=56×99
=56×（100－1）
=56×100－56×1
=5600－56
=5544
6，计算98766×98768－98765×98769
分析：将乘数进行拆分后可以利用乘法分配律，将98766拆成（98765+1），将98769拆成（98768+1），这样就保证了减号两边都有相同的项。
解：98766×98768－98765×98769
=（98765+1）×98768－98765×（98768+1）
=98765×98768+98768－（98765×98768+98765）
=98765×98768+98768－98765×98768-98765
=98768－98765
=3
1．仔细观察每一排数的排列有什么规律，然后按规律在（ ）内填上适当的数．
（1）2，4，8，16，（ ），．
（2）1，4，9，16，（ ），36，49．．
（3）1，4，7，10，13，（ ），19，21．
（4）1，4，16，，（ ），1024，4096．
（5）2，3，5，9，17，（ ），65，129．
2．在○中填数：已知9999÷9=1111，想一想：在○中填上什么数字，才能使下面的等式成立？
（1）○999○÷9=2222；
（2）○999○÷9=3333；
（3）○999○÷9=4444；
（4）○999○÷9=7777；
（5）○999○÷9=9999．
答 案
1.（1） 32（2） 25（3） 16（4） 256（5）33
2.（1）19998（2）29997（3） 39996（4） 69993（5）991
口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？
2，口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。其中红球3个、黄球5个、蓝球10个。现在一次从中任意取出n个，为保证这n个小球至少有5个同色，n的最小值是多少？
3，一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。问：在乐乐之前已就座的最少有几人？
4，一把钥匙只能开一把锁，现有10把钥匙和10把锁，最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配？
5，在一副扑克牌中，最少要取出多少张，才能保证取出的牌中四种花色都有？
、123+234+345+456+567+678=
2、4999+499+49=
3、25×（877+872+871+876）＝
4、888×（99+25+1）＝
5、65×128+174×65－65×202＝
答 案
1.2403
2.5547
3.87400
4.111000
5.6500
、31+46+32+47+33+48+34+49＝
2、125×7×÷8＝
3、1+2-3+4+5-6+7+8-9+10+11-12+……+58+59-60＝
4、90÷（9÷8）÷（8÷7）÷（7÷6）÷（6÷5）＝
答 案
1、320
2、7000
3、570
4、50
（1） 5678+1999=
（2） 8765-1998=
2，（81+82+83+81+83+8638+8639）÷7=
3，（1）99999×22222+33333×33334=
（2）66666×10001+66666×6666=
4，（1）2+4+6+8+10+12+…………+96+98+100=
（2）1000+999-998+997+996-995+…………+106+105-104+103+102-101=
5，在19和91之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列，写出插入的5个数。
6，判断：12+13+14+……+86+87的和是一个奇数还是一个偶数
7，19991999×19991998-19992000×19991997=
8，19981999×19991998-19981998×19991999=
答 案
1计算 （1）5678+1999=5678+（2000-1）=5678+2000-1 =7677
（2） 8765-1998
=8765-(2000-2)
=8765-2000+2
=6768
2，（81+82+83+81+83+8638+8639）÷7
=(80+1+80+2+80+3+80+1+80+3+80-2+80-1) ÷7
=(80 ×7+7) ÷7
=81×7÷7
=81
3，（1）99999×22222+33333×33334
=33333×66666+33333×33334
=33333×(66666+33334)
=33333 ×100000
=3333300000
（2）66666×10001+66666×6666
=11111×（6×10001+6×6666）
=11111×100002
=1111122222
4，（1）2+4+6+8+10+12+…………+96+98+100
=(2+100) ×50÷2
=2550
（2）1000+999-998+997+996-995+…………+106+105-104+103+102-101
=165750(把3个数看成一组 计算出结果 结果是一个等差数列)
5，在19和91之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列，写出插入的5个数。
答案：31 43 55 67 79
6，判断：12+13+14+……+86+87的和是一个奇数还是一个偶数
答案：偶数 把数分为2组 一组奇 一组偶 发现奇有38个 偶数有37个 加起来还是偶数
7，19991999×19991998-19992000×19991997
=19991999×（19991999-1）-（19991999+1）×(19991999-2)
=2
8，19981999×19991998-19981998×19991999
=(19981998+1) ×(19991999-1)-19981998×19991999
=10000
例1 节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接3盏黄灯，然后又是5盏红灯、4盏蓝灯、3盏黄灯、……这样排下去。问：
（1）第100盏灯是什么颜色？
（2）前150盏彩灯中有多少盏蓝灯？
分析与解：这是一个周期变化问题。彩灯按照5红、4蓝、3黄，每12盏灯一个周期循环出现。
（1）100÷12＝8……4，所以第100盏灯是第9个周期的第4盏灯，是红灯。
（2）150÷12=12……6，前150盏灯共有12个周期零6盏灯，12个周期中有蓝灯4×12＝48（盏），最后的6盏灯中有1盏蓝灯，所以共有蓝灯48＋1=49（盏）。
例2 有一串数，任何相邻的四个数之和都等于25。已知第1个数是3，第6个数是6，第11个数是7。问：这串数中第24个数是几？前77个数的和是多少？
分析与解：因为第1，2，3，4个数的和等于第2，3，4，5个数的和，所以第1个数与第5个数相同。进一步可推知，第1，5，9，13，…个数都相同。
同理，第2，6，10，14，…个数都相同，第3，7，11，15，…个数都相同，第4，8，12，16…个数都相同。
也就是说，这串数是按照每四个数为一个周期循环出现的。所以，第2个数等于第6个数，是6；第3个数等于第11个数，是7。前三个数依次是3，6，7，第四个数是
25-（3+6+7）=9。
这串数按照3，6，7，9的顺序循环出现。第24个数与第4个数相同，是9。由77÷4＝9……1知，前77个数是19个周期零1个数，其和为25×19+3=478。
例3 下面这串数的规律是：从第3个数起，每个数都是它前面两个数之和的个位数。问：这串数中第88个数是几？
6280880448…
分析与解：这串数看起来没有什么规律，但是如果其中有两个相邻数字与前面的某两个相邻数字相同，那么根据这串数的构成规律，这两个相邻数字后面的数字必然与前面那两个相邻数字后面的数字相同，也就是说将出现周期性变化。我们试着将这串数再多写出几位：
当写出第21，22位（竖线右面的两位）时就会发现，它们与第1，2位数相同，所以这串数按每20个数一个周期循环出现。由88÷20=4……8知，第88个数与第8个数相同，所以第88个数是4。
从例3看出，周期性规律有时并不明显，要找到它还真得动点脑筋。
例4 在下面的一串数中，从第五个数起，每个数都是它前面四个数之和的个位数字。那么在这串数中，能否出现相邻的四个数是“2000”？
135761939237134…
分析与解：无休止地将这串数写下去，显然不是聪明的做法。按照例3的方法找到一周期，因为这个周期很长，所以也不是好方法。那么怎么办呢？仔细观察会发现，这串数的前四个数都是奇数，按照“每个数都是它前面四个数之和的个位数字”，如果不看具体数，只看数的奇偶性，那么将这串数依次写出来，得到
奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇……
可以看出，这串数是按照四个奇数一个偶数的规律循环出现的，永远不会出现四个偶数连在一起的情况，即不会出现“2000”。
例5 A，B，C，D四个盒子中依次放有8，6，3，1个球。第1个小朋友找到放球最少的盒子，然后从其它盒子中各取一个球放入这个盒子；第2个小朋友也找到放球最少的盒子，然后也从其它盒子中各取一个球放入这个盒子……当100位小朋友放完后，A，B，C，D四个盒子中各放有几个球？
分析与解：按照题意，前六位小朋友放过后，A，B，C，D四个盒子中的球数如下表：
可以看出，第6人放过后与第2人放过后四个盒子中球的情况相同，所以从第2人放过后，每经过4人，四个盒子中球的情况重复出现一次。
（100-1）÷4＝24……3，
所以第100次后的情况与第4次（3＋1＝4）后的情况相同，A，B，C，D盒中依次有4，6，3，5个球。
练习7
1．有一串很长的珠子，它是按照5颗红珠、3颗白珠、4颗黄珠、2颗绿珠的顺序重复排列的。问：第100颗珠子是什么颜色？前200颗珠子中有多少颗红珠？
2．将1，2，3，4，…除以3的余数依次排列起来，得到一个数列。求这个数列前100个数的和。
3．有一串数，前两个数是9和7，从第三个数起，每个数是它前面两个数乘积的个位数。这串数中第100个数是几？前100个数之和是多少？
4．有一列数，第一个数是6，以后每一个数都是它前面一个数与7的和的个位数。这列数中第88个数是几？
5．小明按1～3报数，小红按1～4报数。两人以同样的速度同时开始报数，当两人都报了100个数时，有多少次两人报的数相同？
6．A，B，C，D四个盒子中依次放有9，6，3，0个小球。第1个小朋友找到放球最多的盒子，从中拿出3个球放到其它盒子中各1个球；第2个小朋友也找到放球最多的盒子，也从中拿出3个球放到其它盒子中各1个球……当100个小朋友放完后，A，B，C，D四个盒子中各放有几个球？
答 案
1.红；74颗。
2.100。 提示：数列是1，2，0，1，2，0，1，2，0，…，以1，2，0三个数为周期循环出现。
3.1；436。
提示：这串数按9，7，3，1，3，3六个数循环出现。
4.5。
提示：这列数按6，3，0，7，4，1，8，5，2，9循环出现。
5.27次。 提示：每报12个数有3个数相同。
6.5，6,，3，4。 提示：解法同例5。
，姐姐步行的速度是75米/分，妹妹步行的速度是65米/分.在妹妹出发20分钟后，姐姐出发去追赶妹妹.问：多少分钟后能追上？
2，小张和小王，分别从甲、乙两村同时出发步行，1小时15分后，小张走了甲、乙两村间的距离的一半还多0.75千米，此时与小王相遇.小王的速度是3.7千米/小时，那么小张的速度是多少？（单位用千米/小时）
3，小张从家到公园，原打算每分种走50米.为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75米.问家到公园多远？
4，一辆自行车在前面以固定的速度行进，有一辆汽车要去追赶.如果速度是30千米/小时，要1小时才能追上；如果速度是 35千米/小时，要 40分钟才能追上.问自行车的速度是多少？
5，小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地，每小时步行4千米.两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离.
答 案
1，解：妹妹出发后走了：65×20=1300米 姐姐每分钟比妹妹多走：75-65=10米
所以追1300米需要：1300÷（75－65）＝130分钟
2，解：当两人相遇的时候。花了1.25小时。小张比小王多走了0.75×2=1.5千米。
所以小张比小王每小时多行：1.5÷1.25=1.2千米 所以小张的速度=3.7+1.2=4.9千米/小时
3，解：假设另有一人，比小张早10分钟出发.考虑小张以75米/分钟速度去追赶，追上所需时间是
50 ×10÷（75- 50）＝ 20（分钟）·
因此，小张走的距离是
75× 20＝ 1500（米）.
4，解：自行车1小时走了30×1－已超前距离，自行车40分钟走了35×（40/60）－已超前距离，自行车多走了20分钟走了30－35×（40/60）
因此自行车的速度是[30－35×（40/60）÷（20/60）=（20千米/小时）
5，解：小张比小王每小时多走（5-4）千米，从出发到相遇所用的时间是
2÷（5-4）＝2（小时）.
因此，甲、乙两地的距离是
（5＋ 4）×2＝18（千米）.
，甲、乙二人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，问：二人几小时后相遇？
2，小丽家距学校3千米，晚上6点整的时候，小丽从学校回家，妈妈从家去学校，妈妈骑车每分钟行175米，小丽走路每分钟行75米，问两人什么时候会相遇呢？
3，王强开车从北京去天津，每小时60千米，李明开车从天津来北京，每小时50千米，两人同时出发，经过40分钟，在途中相遇，问：北京到天津距离多少千米？
4，甲乙两地相距150千米，两辆汽车同时从甲地开往乙地，第一辆汽车的速度为40千米/小时，第二辆汽车的速度为35千米/小时，第一辆车到达乙地后立刻返回甲地方，途中与第二辆车相遇。问：从他们出发到相遇经过了多长时间？
5，甲乙两车分别从A、B两城相向而行，甲车每小时行70千米，乙车每小时行65千米，两车相遇点距离全程中点20千米，求全程长多少千米 ?下载本文
