邵德芳

一．考纲要求（原文）

　　6．统计

　　（1）随机抽样

　　① 理解随机抽样的必要性和重要性．

　　② 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法．

　　（2）总体估计

　　① 了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．

　　② 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．

　　③ 能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释．

　　④ 会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．

　　⑤ 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．

　　（3）变量的相关性

　　① 会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．

　　② 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．

7．概率

（1）事件与概率

　　① 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．

　　② 了解两个互斥事件的概率加法公式．

（2）古典概型

　　①理解古典概型及其概率计算公式．

　　②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．

　　（3）随机数与几何概型

　　①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．

　　②了解几何概型的意义．

　21．概率与统计

　（1）概率

　① 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．

　② 理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．

　③ 了解条件概率和两个事件相互的概念，理解n次重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．

　④ 理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．

　⑤ 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

　（2）统计案例

　了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题．

　（1）性检验

　了解性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用．

　（2）回归分析

　了解回归的基本思想、方法及其简单应用．

二、考点分布

1.随机事件及其概率

2.古典概型

3.几何概型

4.离散型随机变量的分布列

5.均值与方差

6.二项分布及其应用

7.抽样方法

8.频率分布直方图与茎叶图

9.样本的数字特征

10.变量间的相关性

11.性检验

三、考纲解读

1.掌握随机事件及概率的有关概念，能以生活中的实例为背景，用频率估计随机事件发生的概率．

2.理解古典概型的意义及概率计算公式，能用列举法列举出所有的基本事件并求某一事件的概率．

3.了解几何概型的意义，会解与几何概型相交汇的线性规划、圆及其他图形的概率．

4.确定离散型随机变量的取值；会求实际问题的分布列，能利用分布列解决有关问题．

5.能计算简单随机问题的均值、方差，能利用它们解决一些实际问题．

6.理解条件概率、相互事件的概率、 次重复试验中事件 恰好发生 次的概率，能利用上述概率公式计算有关事件的概率．

7. 了解随机抽样的意义，会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；会根据分层抽样比计算总体或样本中的个体数．

8.会画频率分布直方图、茎叶图，能从中读取相关信息，会用样本频率分布估计总体分布．

9.了解众数、中位数、平均数、标准差，会用样本的数字特征估计总体的数字特征．

10.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．

11.了解性检验（只要求 列联表）的基本思想、方法及简单应用，能通过计算判断两个变量的相关程度．

四、“概率与统计”高考试题研究

（一）山东卷理科试题研究

 山东卷试题分布（2008-2012）

1.“概率与统计”试题的题量大致为3道题；分值约占全卷总分的14.7%或18%，试题难度为中等偏易或中等.

2. “概率与统计”试题通常是对课本试题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题.这样的试题体现了数学试卷新的设计理念.尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神和数学的应用意识.

3.概率统计试题主要考察基本概念和基本公式，如古典概型、几何概型、互斥事件的概率、事件的概率、条件概率、事件在n次重复试验中恰发生k次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望、方差、二项分布、频率分布、茎叶图、抽样方法、正态分布等内容.

4.概率统计试题在试卷中的题型变化不大，近年都是两道或三道选择题和一道解答题，由此可以看出，试题逐步稳定，并成为高考卷中的主流应用题.

（二）近几年新课标卷统计与概率试题的命题特点

3.1 有机融合

★统计与概率的融合

统计与概率本来就是一体，试题将体现这种关系.

示例（2012广东理数17）(本小题满分12分)

17.（概率统计）（本小题满分13分）

某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：、、、、、.

（Ⅰ）求图中的值；

（Ⅱ）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望.

解析：（Ⅰ）由，解得.

（Ⅱ）分数在、的人数分别是人、人.所以的取值为0、1、2.

，，，所以的数学期望是.

示例（2011陕西理数20）（本小题满分13分）

20．（本小题满分13分）

如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：

（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？

（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X的分布列和数学期望。

★统计与算法的结合

算法是新增内容，它的思想在各个知识中均有渗透，统计与算法结合，不仅要理解统计的一些原理，而且要掌握算法的流程图.

示例（2008年江苏卷）7.某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查。下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表。

序号

【解析】本小题考查统计与算法知识。

答案6.42

【解析】本小题考查统计与算法知识。由算法流程图可知S为5组数据中的组中值（）与对应频率（）之积的和.

.

★统计与函数的结合

示例（2008上海高考题）9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是      

解：由中位数为10.5得 ，进一步求的平均数为10，所以，方差

由二次函数的知识的只需且必须  时，总体方差最小；

答案： 

评注：运算求解能力是思维能力和运算技能的结合，本题很好的考察了这两个面，在学习过程中要注意对分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式确定运算方法。

★概率统计与不等式牵手

示例 （2010年福建理）

16．（本小题满分13分）

设是不等式的解集，整数。

（Ⅰ）记“使得成立的有序数组”为事件，试列举包含的基本事件；

（Ⅱ）设，求的分布列及其数学期望。

【命题意图】本小题主要考察概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想。

【解析】（Ⅰ）由得，即，

由于整数且，所以包含的基本事件为

。

（Ⅱ）由于的所有不同取值为-2，-1，0，1，2，3，所以的所有不同取值为0，1，4，9，且有，，，，

故的分布列为

★概率统计与新定义同行

示例（2010安徽理数21）（本小题满分13分）

（21）（本小题满分13分）

品酒师需要定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.

现设n=4，分别以表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令

则X是对两次排序的偏离程度的一种描述.

   （I）写出X的可能值集合；

   （II）假设等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的分布列；

   （III）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，

        （i）试按（II）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互）；

        （ii）你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由.

（21）（本小题满分13分）

本题考查离散型随机变量及其分布列，考查在复杂场合下进行计数的能力，能过设置密切贴近生产、生活实际的问题情境，考查概率思想在现实生活中的应用，考查抽象概括能力、应用与创新意识.

解：（I）X的可能值集合为{0，2，4，6，8}.

在1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，所以中的奇数个数等于中的偶数个数，因此的奇偶性相同，

从而必为偶数.

X的值非负，且易知其值不大于8.

容易举出使得X的值等于0，2，4，6，8各值的排列的例子.

   （II）可用列表或树状图列出1，2，3，4的一共24种排列，计算每种排列下的X值，在等可能的假定下，得到

   （ii）由于是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测.

★几何概型与其它知识交汇

示例（2010陕西理数13）13.从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x,y）,则点M取自阴影部分的概率为.

解析：长方形区域的面积为3，阴影部分部分的面积为，所以点M取自阴影部分部分的概率为

3.2概率与统计的考查深度和广度在加大

示例（2008宁夏理16）16．从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：

甲品种：271　273　280　285　285  287　292　294　295　301　303　303　307

        308　310　314　319　323　325　325  328　331　334　337　352

乙品种：284　292　295　304　306　307　312　313　315　315　316　318　318

        320　322　322　324　327　329　331　333　336　337　343　356

由以上数据设计了如下茎叶图

根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维

长度作比较，写出两个统计结论：

①　　　　　　　　　　　　　　　；

②　　　　　　　　　　　　　　　．

根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：

①　　　　　　　　　　　　　　　；②　　　　　　　　　　　　　　　．

【解】1．乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）．

2．甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）．

3．甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm．

4．乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀．

3.3关注应用，背景多彩

以2011年新课标卷理科“概率与统计”背景词为例：等级-性价比（福建）；核辐射（安徽）；植树（北京）；进货（湖南）；火车站（陕西）；招聘测试（江西）；产品质量-微量元素（广东）；农场-新作物（辽宁）；游戏项目（天津）；围棋比赛（山东）；质量指标（全国）．

3.4对考生的运算能力和数据处理能力有很高的要求

示例（2007海南宁夏11．） 

11．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表

Ａ．        Ｂ． 

Ｃ．        Ｄ． 

五、理科命题趋势探讨

近五年来的命题规律：选择、填空题以基本概念、基本方法为主，其计算难度不很大，问题背景多联系生活实际，在知识网络的交汇处设计试题；解答题以随机变量分布列问题为载体，考查学生对多种形式的概率的掌握程度、相关思想方法的灵活应用能力.着力体现：概率问题与其他知识的精彩交汇；概率与统计模型生活化.

5.1 随机事件的概论试题，理科主要考查基本概率和基本公式，集中在古典概率、几何概型、互斥事件的概率、对立事件的概率、相互事件的概率、重复试验、条件概率等基本概率类型进行了考查，试题为选择题或解答题的一部分.值得注意的是高考试题设计背景在稳定中探求创新性.

5.2 离散型随机变量分布列和数学期望、方差是理科数学高考的一大热点.2009、2010、2011、2012年高考理科试卷中解答题有分布列和数学期望相关问题.这类问题往往阅读量大，思维要求高，计算量大，得分率较低.2011年高考山东省理科解答题估计仍然以离散型随机变量分布列和数学期望形式出现.

5.3 统计试题主要考查抽样方法，茎叶图、平均数、方差、频率分布表和频率分布直方图、正态分布.抽样方法主要考查分布抽样，较为简单.频率分布直方图、茎叶图是高考的另一个热点，应引起重视.其他省的高考试题已经涉及变量的相关性、性检验，也应重视这一动向.

5.4 近几年理科高考中，对概率统计的考查逐步由注重基础知识和基本技能转向注重综合能力，重视在知识网络的交汇点设计试题，如与三角函数、数列、立体几何、不等式、函数、方程、定积分等知识的结合，在此基础上对分类与整合、函数与方程、转化与化归等数学思想进行考查，明年的高考会继续这一特点，加强试题的综合性，考查综合能力.

数学试题的走势，充分展示了新课标理念，突出了对创新能力的考查，主要表现在以下两个方面：

（1）探究性学习深入地走进了高考试题.探究性学习，已不再是初始阶段的在老师的指导下，考生从自然、社会和生活中选择某些内容为专题进行探究，并以类似科学研究的方式，主动地多渠道地获取知识，并灵活运用所学知识来分析解决问题的学习活动，而是倡导学生自主地发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的一系列数学活动过程.提高“数据处理能力”和“实践能力和创新意识” .

（2）数据的收集、整理、分析和综合应用，如统计与概率、线性规划等相关的应用问题.

六、备考指要

通过以上的研究考试大纲，研究试题，我们知道：概率与统计在高中数学教学中占据着不可替代的位置,是高考常考常新的内容之一；随着课标教材的逐步实施，概率与统计的考查深度和广度在加大. 2013年复习时应当注意这一变化趋势. 为此，特对概率统计的备考提出如下建议：

6.1 重视教材的基础作用

教材是学习数学基础知识，形成基本技能的“源泉”，是高考试题的重要知识载体.纵观高考试卷中的概率统计试题，大多数试题源于教材，特别是大多数客观题是从课本上的练习题或习题改编的，即使是解答题，也是由教材例、习题的组合、加工和拓展而成，充分表现出教材的基础作用.复习阶段应该按《考试说明》对本部分内容的要求，以课本的例、习题为素材，深入浅出、举一反三地加以类比、延伸和拓展，在“变式”上下功夫，力求对教材内容融会贯通，只有这样，才能“以不变应万变”，达到事半功倍的效果。当然，如果再做一些经典的高考试题，对考生的复习也是很有效的.

对于这部分知识，还应当重视概率统计的应用功能。它的实际应用性是备考时应当着力思考的.应用题的考查，加大了对学生阅读能力的要求，对题目的准确理解，找到数学模型，是解答题目的关键.应该把近几年各地高考及模拟题归类分析，强化训练.

6.2 重视数学思想方法的渗透

数学思想方法作为数学的精髓，历来是高考数学考查的重中之重.它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的全过程.在概率统计的内容中蕴含着丰富的数学思想方法，如分类讨论、函数与方程、转化与划归等。概率统计为人们处理现实数据信息，分析、把握随机事件，提供了强有力的工具（计算随机事件发生的概率、求随机变量的数学期望与方差）.也更加丰富、完善了中学数学思想方法，进一步拓宽了知识的应用空间.因此，合理选择解题方法是快速解答概率习题的有效手段.

6.3高三总复习阶段,如果能打破知识条块系统的,串点成线,寻找合适的知识载体,精心选编复习内容,在知识的交汇点,方法的多样性,思维的灵活性能力的综合性上讨论问题,将有利于提高学习效益概率知识与各章知识交汇的学科内综合问题,以其新颖性、综合性而“闪亮登场”.正好体现了新高考能力立意及在知识网络交结点处设计命题的精神. 统计部分：以选择题型考查的形式居多，很多情况下，会结合图表的阅读理解进行命题，着重考查的是对这部分内容的基本概念和思想方法.概率部分：考查时既可以是用选择题的形式，也可以是填空题和解答题的形式，但不管哪种形式，多数都是容易题，少数是中档题，到目前为止，还没有作为难题进行过考查.古典概型问题：要特别强调试验结果的有限性和等可能性，在计算基本事件数m和有利事件中的基本事件数n时，注意前后标准的一致性，着重训练用列举法计数的情形.几何概型是新课程中增加的内容，复习时应引起足够的重视，适当地挖掘加深.

6.4 对《新课标》教材教学的几点启示

研究高考并非是研究应试.实际上高考命题是服从于教学大纲或课程标准的，命题内容很大程度上反映了教学大纲或课程标准的教学要求，引导对内容的教学认识.根据上述分析，可以对高中数学统计与概率的教学以下的启示.

（1） 教学重点内容

从上述命题分析可以看出，高中《新课标》教材统计与概率教学的重点内容有“等可能性事件的概率、互斥事件的概率、事件的概率、n次重复试验中恰好（或至少、或至多）发生k次的概率等常见的概率的计算；离散型随机变量的分布列、期望、方差、标准差的计算；正态分布、分层抽样、频率分布直方图，线性回归分析”等.

（2） 注意使学生体会用样本估计总体的思想

以数据进行推断的思考方法已成为现代社会普遍应用而且高效的思维模式，以样本推断总体是统计学最核心的思想方法.样本频率分布直方图不仅可以根据原始数据估计总体分布，而且在没有原始数据而仅有频率分布的情况下，也可以估计总体的分布特征.

教科书按照《新标准》的要求，主要介绍有关频率分布的列表和画图的方法.

在近几年高考试题中，新课标版省份将样本频率分布直方图作为重要部分，并且前年也有不少地区的试题涉及该内容.

因此，在教学中应当注意使学生掌握样本频率分布的列表和画直方图的方法，体会用样本估计总体的思想.

（3） 随机变量及其分布是重要基础

随机变量能够反映随机现象的共性，离散型随机变量的分布列能够全面的描述离散型随机变量的统计规律，离散型随机变量的分布列也是学生今后进一步学习研究连续型随机变量的基础.二项分布和超几何分布是两个应用非常广泛的概率模型.根据足以极限定理，当随机变量是大量的偶然因素作用之和，则它服从或近似服从正态分布，所以，在日常生活（如人体身高、体重）与生产实践中，正态分布是统计学中常用的统计模型.

教科书按照《新标准》的要求，在介绍事件的性、条件概率的基础上，以重复实验与二项分布作为研究离散型随机变量的分布列重要模型，进一步研究离散型随机变量的数字特征（均值与方差），再由二项分布的直方图的极限图形引入正态分布.

在近几年高考试题中，试卷都考了互斥事件、事件、Bernoulli概型和离散型随机变量的分布列的构造及数学期望.广东和山东考了正态分布，山东还考了样本方差.2013年大多数理科试题仍涉及这些内容.

所以，随机变量及其分布是高考的重要基础，将每年都出现在高考命题中.

（4） 重视性检验的应用

假设检验是统计学的一个常用的重要方法，而性检验是假设检验的一种特例。教科书按照《新标准》的要求，通过典型案例介绍了性检验的基本思想、方法以及简单应用.

在近几年的高考试题中，好几个省份新课标卷都考查了性检验的应用.

（5） 教学应注意联系生产和生活实践

如2010年高考统计与概率的试题都以联系生产、生活实践来设计。如：北京卷、陕西卷以学生身高为背景；四川卷以有奖购物为背景；湖南卷以城市居民用水量为背景；辽宁卷以药物实验为背景；安徽卷以酒师的酒味鉴别功能为背景；福建卷、山东卷以知识竞赛为背景；广东卷以食品检验为背景；江苏卷以产品质量与利润为背景；新课标卷以某地区老年人是否需要志愿者帮助为背景.

统计与概率的教学主要目的是使学生体会统计与概率的基本思想，处理数据、制定决策，培养学生“用数据说话”的理性思维.

所以，统计与概率教学应重视问题的背景及统计与概率在生产和生活实践以及科学领域中的应用.

（6）养成多角度思考的习惯

复习是要让学生通过自己的思维去掌握知识的产生，形成和发展过程，深刻理解和领会数学的思维方法.从新的课程标准和考试说明中可以看出，理性思考比理解更为重要，只有在思考过程中才能更深刻理解数学知识，要让学生多动脑，大胆探索，把理解和掌握基础知识建立在把握问题的实质和灵活处理问题上.要善于发现问题和提出问题，要对数学信息进行比较、联想、分析、抽象、概括、综合和归纳，特别是在平时的复习和检测中，能自己解决的一定要自己解决，养成多角度思考的习惯.下载本文