一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）

1．（4分）下列各数：﹣4，﹣2.8，0，|﹣4|（　　）

A．﹣4    B．|﹣4|    C．0    D．﹣2.8

2．（4分）下列运算正确的是（　　）

A．2x2+3x3＝5x5    B．（﹣2x）3＝﹣6x3    

C．（x+y）2＝x2+y2    D．（3x+2）（2﹣3x）＝4﹣9x2

3．（4分）如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（　　）

A．    B．    C．    D．

4．（4分）如图，直线m∥n，三角尺的直角顶点在直线m上，若∠1＝60°，则下列结论错误的是（　　）

A．∠2＝75°    B．∠3＝45°    C．∠4＝105°    D．∠5＝130°

5．（4分）为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，则所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为（　　）

A．7h，7h    B．8h，7.5h    C．7h，7.5h    D．8h，8h

6．（4分）如图，在△ABC中，AB＝6，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，点F是优弧GE上一点，∠CDE＝18°（　　）

A．50°    B．48°    C．45°    D．36°

7．（4分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）

A．k＞﹣    B．k＜    C．k＞﹣且k≠0    D．k＜且k≠0

8．（4分）将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（　　）

A．（﹣2，2）    B．（﹣1，1）    C．（0，6）    D．（1，﹣3）

9．（4分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，AB＝2，CD＝1（　　）

A．2﹣2    B．3﹣    C．4﹣    D．2

10．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，E是BD的中点

①AM＝CN；

②若MD＝AM，∠A＝90°，则BM＝CM；

③若MD＝2AM，则S△MNC＝S△BNE；

④若AB＝MN，则△MFN与△DFC全等．

其中正确结论的个数为（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

11．（4分）如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据（参考数据：≈1.732）（　　）

A．136.6米    B．86.7米    C．186.7米    D．86.6米

12．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ（　　）

A．    B．    C．    D．3

二、填空题（本大题共6小题，满分18分。只要求填写最后结果，每小题填对得4分）

13．（3分）2021年5月15日7时18分，天问一号着陆巡视器成功着陆于火星，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功．探测器距离地球约3.2亿千米．数据3.2亿千米用科学记数法可以表示为 　        　千米．

14．（3分）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50的钱给乙，则乙的钱数也为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，根据题意，可列方程组为　                　．

15．（3分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，图象过点（3，0），对称轴为直线x＝1；②a﹣b+c＝0；③y的最大值为32+bx+c+1＝0有实数根．其中正确的为 　   　（将所有正确结论的序号都填入）．

16．（3分）若△ABC为直角三角形，AC＝BC＝4，以BC为直径画半圆如图所示　 　．

17．（3分）如图，将矩形纸片ABCD折叠（AD＞AB），使AB落在AD上，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，使点B落在AE上的点G处，连接DE，CE＝2，则AD的长为 　              　．

18．（3分）如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过点B1作B1A1⊥l，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3，延长B4C3交x轴于点A4；…；照这个规律进行下去，则第n个正方形AnBnBn+1∁n的边长为 　                　（结果用含正整数n的代数式表示）．

三、解答题（本大题共7小题，满分78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）

19．（10分）（1）先化简，再求值：，其中a＝；

（2）解不等式：1﹣．

20．（10分）为庆祝中国党成立100周年，落实教育部《关于在中小学组织开展“从小学党史，永远跟党走”主题教育活动的通知》要求，随机调查了部分学生的竞赛成绩，绘制成两幅不完整的统计图表．根据统计图表提供的信息

（1）本次共调查了 　   　名学生；C组所在扇形的圆心角为 　   　度；

（2）该校共有学生1600人，若90分以上为优秀，估计该校优秀学生人数为多少？

（3）若E组14名学生中有4人满分，设这4名学生为E1，E2，E4，从其中抽取2名学生代表学校参加上一级比赛，E2的概率．

竞赛成绩统计表（成绩满分100分）

21．（10分）如图，点P为函数y＝x+1与函数y＝（x＞0），点P的纵坐标为4，PB⊥x轴

（1）求m的值；

（2）点M是函数y＝（x＞0）图象上一动点，过点M作MD⊥BP于点D，求点M的坐标．

22．（10分）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变

（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？

（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务

23．（11分）四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．

（1）若AC＝EC，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；

（2）若AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，如图2，求证：△DGF是等腰直角三角形．

24．（13分）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，连接BP、AC，交于点Q

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式；

（3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标

25．（14分）如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且＝，与BD的延长线相交于点E．

（1）求证：CD＝ED；

（2）AD与OC，BC分别交于点F，H．

①若CF＝CH，如图2，求证：CF•AF＝FO•AH；

②若圆的半径为2，BD＝1，如图3

答案与卡片

一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）

1．参解：∵|﹣4|＝4，

∴﹣5＜﹣3＜﹣2.5＜0＜|﹣4|，

∴其中比﹣7小的数是﹣4．

故选：A．

2．参解：A选项，2x2与3x3不是同类项，不能合并，不符合题意；

B选项，原式＝﹣8x7，故该选项计算错误，不符合题意；

C选项，原式＝x2+2xy+y2，故该选项计算错误，不符合题意；

D选项，原式＝22﹣（8x）2＝4﹣7x2，故该选项计算正确，符合题意；

故选：D．

3．参解：从左边看从左到右第一列是两个小正方形，第二列有4个小正方形，

故选：B．

4．参解：如图，

∵三角尺的直角被直线m平分，

∴∠6＝∠7＝45°，

∴∠4＝∠1+∠6＝45°+60°＝105°，

∵m∥n，

∴∠2＝∠7＝45°，∠2＝180°﹣∠5＝75°，

∴∠5＝180°﹣∠3＝180°﹣45°＝135°，

故选项A、B、C正确，

故选：D．

5．参解：∵7h出现了19次，出现的次数最多，

∴所调查学生睡眠时间的众数是7h；

∵共有50名学生，中位数是第25，

∴所调查学生睡眠时间的中位数是＝6.5（h）．

故选：C．

6．参解：连接AD，∵BC与⊙A相切于点D，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∵AB＝6,AG＝AD＝3，

∴AD＝AB，

∴∠B＝30°，

∴∠GAD＝60°，

∵∠CDE＝18°，

∴∠ADE＝90°﹣18°＝72°，

∵AD＝AE，

∴∠AED＝∠ADE＝72°，

∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣72°﹣72°＝36°，

∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+36°＝96°，

∴∠GFE＝GAE＝，

故选：B．

7．参解：根据题意得k≠0且△＝（2k﹣4）2﹣4k•（k﹣7）＞0，

解得k＞﹣且k≠0．

故选：C．

8．参解：y＝﹣x2﹣2x+2

＝﹣（x2+2x）+7

＝﹣[（x+1）2﹣6]+3

＝﹣（x+1）3+4，

∵将抛物线y＝﹣x2﹣5x+3的图象向右平移1个单位，再向下平移7个单位，

∴得到的抛物线解析式为：y＝﹣x2+2，

当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2+3＝﹣4+2＝﹣8，故（﹣2，故A选项不合题意；

当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣3）2+2＝﹣5+2＝1，故（﹣8，故B选项符合题意；

当x＝0时，y＝﹣03+2＝0+3＝2，故（0，故A选项不合题意；

当x＝7时，y＝﹣12+7＝﹣1+2＝8，故（1，故A选项不合题意；

故选：B．

9．参解：延长AD、BC交于E，

∵∠BCD＝120°，

∴∠A＝60°，

∵∠B＝90°，

∴∠ADC＝90°，∠E＝30°，

在Rt△ABE中，AE＝2AB＝4，

在Rt△CDE中，DE＝＝，

∴AD＝AE﹣DE＝4﹣，

故选：C．

10．参解：①∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴∠ADB＝∠CBD，

∵E是BD的中点，

∴BE＝DE，

在△MDE和△NBE中，

，

∴△MDE≌△NBE（ASA），

∴DM＝BN，

∴AM＝CN，

故①正确；

②若MD＝AM，∠A＝90°，

则平行四边形ABCD为矩形，

∴∠ADC＝∠A＝90°，

在△BAM和△CDM中，

,

∴△BAM≌△CDM（SAS），

∴BM＝CM，

故②正确；

③过点M作MG⊥BC，交BC于G，交BC于H，

由①可知四边形MBCD是平行四边形，E为BD中点，

∴MG＝2EH，

又∵MD＝2AM，BN＝MD，

∴S△MNC＝NC•MG＝•BN•EH＝S△BNE，

故③正确；

④∵AB＝MN，AB＝DC，

∴MN＝DC，

又∵AD∥BC,

∴四边形MNCD是等腰梯形或平行四边形，

如果四边形MNCD是等腰梯形，

∴∠MNC＝∠DCN，

在△MNC和△DCN中，

，

∴△MNC≌△DCN（SAS），

∴∠NMC＝∠CDN，

在△MFN和△DFC中，

，

∴△MFN≌△DFC（AAS），

如果是平行四边形，由平行四边形的性质可以得到△MFN≌△DFC，

故④正确．

∴正确的个数是4个，

故选：D．

11．参解：如图作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．

在Rt△ADH中，AD＝130米，

∴DH＝50（米），

∵四边形DHBF是矩形，

∴BF＝DH＝50（米），

在Rt△EFB中，∠BEF＝45°，

∴EF＝BF＝50米，

在Rt△EFC中，FC＝EF•tan60°，

∴CF＝50×≈86.6（米），

∴BC＝BF+CF＝136.8（米）．

故选：A．

12．参解：如图，以AB为边向右作等边△ABF,过点D作DH⊥QE于H．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABP＝∠BAE＝90°,

∵△ABF,△APQ都是等边三角形，

∴∠BAF＝∠PAQ＝60°,BA＝FA,

∴∠BAP＝∠FAQ,

在△BAP和△FAQ中，

,

∴△BAP≌△FAQ(SAS),

∴∠ABP＝∠AFQ＝90°,

∵∠FAE＝90°﹣60°＝30°,

∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°,

∵AB＝AF＝5,AE＝AF÷cos30°＝,

∴点Q在射线FE上运动,

∵AD＝BC＝5,

∴DE＝AD﹣AE＝,

∵DH⊥EF,∠DEH＝∠AEF＝60°,

∴DH＝DE•sin60°＝×＝,

根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，最小值为，

故选：A．

二、填空题（本大题共6小题，满分18分。只要求填写最后结果，每小题填对得4分）

13．参解：3.2亿＝320000000＝2.2×108，

故答案为：2.2×108．

14．参解：由题意可得，

，

故答案为：．

15．参解：∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵对称轴x＝﹣＝3，

∴b＝﹣2a＞0，

∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，

∴c＞6，

∴abc＜0，故①错误；

∵抛物线与x轴的交点（3，8），

∴抛物线x轴的另一个交点在（﹣1，0），

∴当x＝﹣4时，y＝a﹣b+c＝0；

由图象无法判断y的最大值，故③错误；

方程ax2+bx+c+3＝0的根的个数，可看作二次函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣8的交点个数，

由图象可知，必然有2个交点2+bx+c+6＝0有2个不相等的实数根．

故④正确．

故答案为：②④．

16．参解：连接CD．

∵BC是直径，

∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB；

又∵△ABC为等腰直角三角形，

∴CD垂直平分斜边AB，

∴CD＝BD＝AD,

∴＝,

∴S弓形BD＝S弓形CD，

∴S阴影＝SRt△ABC﹣SRt△BCD；

∵△ABC为等腰直角三角形，CD是斜边AB的垂直平分线，

∴SRt△ABC＝2SRt△BCD；

又SRt△ABC＝×4×4＝6，

∴S阴影＝4；

故答案为：4．

17．参解：由翻折的性质可知，EB＝EB′,

在Rt△EBF和Rt△EB′D中，

,

∴Rt△EBF≌Rt△EB′D（HL）,

∴BF＝DB′,

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C＝∠CDB′＝∠EB′D＝90°,

∴四边形ECDB′是矩形，

∴DB′＝EC＝2,

∴BF＝EC＝2,

由翻折的性质可知，BF＝FG＝4,∠AGF＝∠B＝∠AGF＝90°,

∴AG＝FG＝2,

∴AF＝2．

∴AB＝AB′＝2+2,

∴AD＝AB′+DB′＝4+2,

故答案为：4+2．

18．参解：设直线y＝x与x轴夹角为α5作B1H⊥x轴于H，如图：

∵点B1的横坐标为4，点B1在直线l：y＝x上,

∴OH＝2，B1H＝3，OB1＝＝，

∴tanα＝＝,

Rt△A5B1O中，A1B2＝OB1•tanα＝，即第1个正方形边长是，

∴OB2＝OB1+B4B2＝+＝×3，

Rt△A2B6O中，A2B2＝OB5•tanα＝×8×＝××，

∴OB3＝OB7+B2B3＝×3+×＝×，

Rt△A3B2O中，A3B3＝OB7•tanα＝××＝×，即第3个正方形边长是×＝）2，

∴OB6＝OB3+B3B2＝×+×＝×，

Rt△A3B4O中，A4B4＝OB4•tanα＝＝××＝×，即第4个正方形边长是×＝)7，

.....．

观察规律可知：第n个正方形边长是×()n﹣1，

故答案为：×()n﹣1．

三、解答题（本大题共7小题，满分78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）

19．参解：（1）原式＝[]

＝

＝﹣，

当a＝+3时；

（2）去分母，得：8﹣（7x﹣8）＞2（3x﹣7），

去括号，得：8﹣7x+4＞6x﹣4，

移项，得：﹣5x﹣6x＞﹣4﹣5﹣8，

合并同类项，得：﹣13x＞﹣13，

系数化1，得：x＜2．

20．参解：（1）本次共调查的学生＝14÷28%＝50（人）；

C组的圆心角为360°×＝72°，

故答案为50；72；

（2）B组的人数为50×12%＝16（人），

则D组的人数为50﹣4﹣6﹣5﹣14＝16（人），

则优秀的人数为1600×＝960（人）；

（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到E1，

所以恰好抽到E1，E6的概率＝＝．

21．参解：∵点P为函数y＝x+7图象的点，

∴4＝x+1，

∴点P（6，4），

∵点P为函数y＝x+5与函数y＝，

∴4＝，

∴m＝24；

（2）设点M的坐标（x，y），

∵tan∠PMD＝，

∴＝，

①点M在点P右侧，如图，

∵点P（6，4），

∴PD＝6﹣y，DM＝x﹣6，

∴＝，

∵xy＝m＝24，

∴y＝，

∴4（4﹣）＝x﹣6，

∵点M在点P右侧，

∴x＝8，

∴y＝3，

∴点M的坐标为（8，2）；

②点M在点P左侧，

∵点P（6，4），

∴PD＝y﹣4，DM＝6﹣x，

∴＝，

∵xy＝m＝24，

∴y＝，

∴3（4﹣）＝x﹣6，

∵点M在点P左侧，

∴此种情况不存在；

∴点M的坐标为（3，3）．

22．参解：（1）设当前参加生产的工人有x人，由题意可得：

，

解得：x＝30，

经检验：x＝30是原分式方程的解，且符合题意，

∴当前参加生产的工人有30人；

（2）每人每小时完成的数量为：16÷8÷40＝6.05（万剂），

设还需要生产y天才能完成任务，由题意可得：

4×15+（30+10）×10×0.05y＝760，

解得：y＝35，

35+7＝39（天），

∴该厂共需要39天才能完成任务．

23．参证明：（1)∵四边形ABCD为矩形，

∴AB∥CD,AB＝CD,

又∵AC＝EC,

∴AB＝BE,

∴BE＝CD,BE∥CD,

∴四边形BECD为平行四边形；

(2)∵AB＝AD,

∴矩形ABCD是正方形，

∵EG⊥AC,

∴∠E＝∠GAE＝45°,

∴GE＝GA,

又∵AF＝BE,

∴AB＝FE,

∴FE＝AD,

在△EGF和△AGD中，

,

∴△EGF≌△AGD(SAS),

∴GF＝GD,∠DGA＝∠FGE,

∠DGF＝∠DGA+∠AGF＝∠EGF+∠AGF＝∠AGE＝90°,

∴△DGF是等腰直角三角形．

24．参解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4（a≠3）的图象经过点A（﹣4，0），8），

∴，

解得：，

∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣3x+2；

（2）如图，设BP与y轴交于点E，

∵PD∥y轴，

∴∠DPB＝∠OEB，

∵∠DPB＝2∠BCO，

∴∠OEB＝2∠BCO，

∴∠ECB＝∠EBC，

∴BE＝CE，

设OE＝a，则CE＝8﹣a，

∴BE＝4﹣a，

在Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2＝OE2+OB2，

∴(4﹣a)2＝a2+12，

解得：a＝，

∴E(0，)，

设BE所在直线表达式为y＝kx+e(k≠0)，

∴，

解得：，

∴直线BP的表达式为y＝﹣x+；

（3）有最大值．

如图，设PD与AC交于点N，

过点B作y轴的平行线与AC相交于点M，

设直线AC表达式为y＝mx+n，

∵A(﹣4，0)，2)，

∴，

解得：，

∴直线AC表达式为y＝x+4，

∴M点的坐标为（1，6），

∴BM＝5，

∵BM∥PN，

∴△PNQ∽△BMQ，

∴＝＝，

设P(a5，﹣a02﹣6a0+4)(﹣4＜a0＜0)，则N(a5，a0+4)，

∴＝＝＝，

∴当a2＝﹣2时，有最大值，

此时，点P的坐标为(﹣2．

25．参（1）证明：如图1中，连接BC．

∵＝,

∴∠DCB＝∠DBC,

∵AB是直径，

∴∠ACB＝∠BCE＝90°,

∴∠E+∠DBC＝90°,∠ECD+∠DCB＝90°,

∴∠E＝∠DCE,

∴DE＝DC．

(2)①证明：如图2中，

∵CF＝CH,

∴∠CFH＝∠CHF,

∵∠AFO＝∠CFH,

∴∠AFO＝∠CHF,

∵＝,

∴∠CAD＝∠BAD,

∴△AFO∽△AHC,

∴＝,

∴＝,

∴CF•AF＝OF•AH．

②解：如图4中，连接CD交BC于G.设OG＝x．

∵＝,

∴∠COD＝∠BOD,

∵OC＝OB,

∴OD⊥BC,CG＝BG,

在Rt△OCG和Rt△BGD中，则有22﹣x6＝12﹣(3﹣x)2,

∴x＝,即OG＝,

∵OA＝OB,

∴OG是△ABC的中位线，

∴OG＝AC,

∴AC＝．

考点卡片

1．绝对值

（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．

①互为相反数的两个数绝对值相等；

②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．

③有理数的绝对值都是非负数． 

（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：

①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；

②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；

③当a是零时，a的绝对值是零．

即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）

2．有理数大小比较

（1）有理数的大小比较

比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．

（2）有理数大小比较的法则：

①正数都大于0； 

②负数都小于0； 

③正数大于一切负数； 

④两个负数，绝对值大的其值反而小．

【规律方法】有理数大小比较的三种方法

1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．

2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．

3．作差比较：

若a﹣b＞0，则a＞b；

若a﹣b＜0，则a＜b；

若a﹣b＝0，则a＝b．

3．科学记数法—表示较大的数

（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】

（2）规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． 

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．

4．合并同类项

（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．

（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．

（3）合并同类项时要注意以下三点：

①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；

②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；

③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．

5．幂的乘方与积的乘方

（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．

（am）n＝amn（m，n是正整数）

注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．

（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

（ab）n＝anbn（n是正整数）

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．

6．完全平方公式

（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．

可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．

（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．

（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．

7．平方差公式

（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．

（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2

（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：

①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；

②右边是相同项的平方减去相反项的平方；

③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；

④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．

8．分式的化简求值

先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．

在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．

【规律方法】分式化简求值时需注意的问题

1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．

2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．

9．由实际问题抽象出二元一次方程组

（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．

（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．

（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：

①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．

10．一元二次方程的定义

（1）一元二次方程的定义：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．

（2）概念解析：

一元二次方程必须同时满足三个条件：

①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数是2．

（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．

11．根的判别式

利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．

一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：

①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△＜0时，方程无实数根．

上面的结论反过来也成立．

12．分式方程的应用

1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．

必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．

2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间

等等．

列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．

13．解一元一次不等式

根据不等式的性质解一元一次不等式

基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．

以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．

注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．

14．规律型：点的坐标

规律型：点的坐标．

15．一次函数图象上点的坐标特征

一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．

直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．

16．反比例函数与一次函数的交点问题

反比例函数与一次函数的交点问题

（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．

（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：

①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；

②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．

17．二次函数图象与系数的关系

二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）

①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．

②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）

③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．

④抛物线与x轴交点个数．

△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

18．二次函数图象上点的坐标特征

二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．

①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．

②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．

③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．

19．二次函数图象与几何变换

由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

20．二次函数的最值

（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．

（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．

（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．

21．抛物线与x轴的交点

求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．

（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．

△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．

△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；

△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；

△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．

22．二次函数综合题

（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题

解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．

（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．

（3）二次函数在实际生活中的应用题

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．

23．平行线的性质

1、平行线性质定理

   定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．

   定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 

   定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．

2、两条平行线之间的距离处处相等．

24．三角形的面积

（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．

（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．

25．全等三角形的判定

（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．

（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．

（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．

（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．

（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．

方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．

26．等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．

（2）等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】

（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．

27．勾股定理

（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．

（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．

（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．

（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．

28．等腰直角三角形

（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．

（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；

（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．

29．平行四边形的性质

（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．

（2）平行四边形的性质：

①边：平行四边形的对边相等．

②角：平行四边形的对角相等．

③对角线：平行四边形的对角线互相平分．

（3）平行线间的距离处处相等．

（4）平行四边形的面积：

①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．

②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．

30．平行四边形的判定与性质

平行四边形的判定与性质的作用

平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．

运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．

凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．

31．矩形的性质

（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．

（2）矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有；

②角：矩形的四个角都是直角；

③边：邻边垂直；

④对角线：矩形的对角线相等；

⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．

（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

32．圆周角定理

（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．

（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．

（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．

33．圆内接四边形的性质

（1）圆内接四边形的性质：

①圆内接四边形的对角互补．

②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．

（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．

34．切线的性质

（1）切线的性质

①圆的切线垂直于经过切点的半径．

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

（2）切线的性质可总结如下：

如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．

（3）切线性质的运用

由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．

35．圆的综合题

圆的综合题．

36．翻折变换（折叠问题）

1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．

2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．

首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．

37．旋转的性质

（1）旋转的性质：

　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．

38．解直角三角形的应用-坡度坡角问题

（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．

（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．

（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．

应用领域：①测量领域；②航空领域  ③航海领域：④工程领域等．

39．解直角三角形的应用-仰角俯角问题

（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．

（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．

40．简单组合体的三视图

（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．

（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．

（3）画物体的三视图的口诀为：

主、俯：长对正；

主、左：高平齐；

俯、左：宽相等．

41．由三视图判断几何体

（1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．

（2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：

①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；

②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；

③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；

④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．

42．用样本估计总体

用样本估计总体是统计的基本思想． 

1、用样本的频率分布估计总体分布：

从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况． 

2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．

一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．

43．频数（率）分布表

1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．

2、列频率分布表的步骤：

　　（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差． 

　　（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）． 

　　（3）将数据分组． 

　　（4）列频率分布表．

44．频数（率）分布直方图

画频率分布直方图的步骤：

（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图．

　　注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距×＝频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．

45．扇形统计图

（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．

（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．

（3）制作扇形图的步骤

①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°．　　②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；

④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．

46．中位数

（1）中位数：

将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．

如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．

（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．

47．众数

（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．

（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．

（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．

48．列表法与树状图法

（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．

（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．

（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．

（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．

（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．

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