1 研究下列函数的连续性 并画出函数的图形 

    (1) 

    解 已知多项式函数是连续函数 所以函数f(x)在[0 1)和(1 2]内是连续的 

    在x1处 因为f(1)1 并且

所以 从而函数f(x)在x1处是连续的 

    综上所述，函数f(x)在[0 2]上是连续函数 

    (2) 

    解 只需考察函数在x1和x1处的连续性 

    在x1处 因为f(1)1 并且

所以函数在x1处间断 但右连续 

    在x1处 因为f(1)1 并且

       f(1) f(1) 

所以函数在x1处连续 

    综合上述讨论 函数在(  1)和(1  )内连续 在x1处间断 但右连续       

    2 下列函数在指出的点处间断 说明这些间断点属于哪一类 如果是可去间断点 则补充或改变函数的定义使它连续 

    (1) x1 x2

    解  因为函数在x2和x1处无定义 所以x2和x1是函数的间断点 

    因为 所以x2是函数的第二类间断点 

    因为 所以x1是函数的第一类间断点 并且是可去间断点 在x1处 令y2 则函数在x1处成为连续的 

    (2) xk  (k0  1  2      )

    解 函数在点xk (k Z)和(k Z)处无定义 因而这些点都是函数的间断点 

    因(k 0) 故xk (k 0)是第二类间断点 

    因为 (k Z) 所以x0和(k Z) 是第一类间断点且是可去间断点 

    令y|x01 则函数在x0处成为连续的 

    令时 y0 则函数在处成为连续的 

    (3)  x0 

    解 因为函数在x0处无定义 所以x0是函数的间断点 又因为不存在 所以x0是函数的第二类间断点 

    (4) x 1

    解 因为   所以x1是函数的第一类不可去间断点 

    3 讨论函数的连续性 若有间断点 判别其类型    

    解   

    在分段点x1处 因为  所以x1为函数的第一类不可去间断点 

    在分段点x1处 因为  所以x1为函数的第一类不可去间断点 

    4 证明 若函数f(x)在点x0连续且f(x0) 0 则存在x0的某一邻域U(x0) 当x U(x0)时 f(x) 0

    证明 不妨设f(x0)>0 因为f(x)在x0连续 所以 由极限的局部保号性定理 存在x0的某一去心邻域 使当x 时f(x)>0 从而当x U(x0)时 f(x)>0 这就是说 则存在x0的某一邻域U(x0) 当x U(x0)时 f(x) 0 

    5 试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子 

    (1)x 0  1  2         n       是f(x)的所有间断点 且它们都是无穷间断点 

    解 函数在点x 0  1  2         n       处是间断的 

且这些点是函数的无穷间断点 

    (2)f(x)在R上处处不连续 但|f(x)|在R上处处连续 

    解 函数在R上处处不连续 但|f(x)| 1在R上处处连续 

    (3)f(x)在R上处处有定义 但仅在一点连续 

    解 函数在R上处处有定义 它只在x 0处连续 下载本文