一、选择题

1．下列代数式中属于分式的是（　　）

A．    B．    C．    D．a

2．下列图案中，不是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

3．反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣2），则k的值为（　　）

A．6    B．5    C．﹣5    D．﹣6

4．如果把的x与y都扩大10倍，那么这个代数式的值（　　）

A．不变    B．扩大50倍    

C．扩大10倍    D．缩小到原来的

5．下列分式是最简分式的（　　）

A．    B．    

C．    D．

6．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）

A．对角线互相平分    

B．对角线相等    

C．每一条对角线平分一组对角    

D．对角线互相垂直

7．对于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（　　）

A．图象经过点（1，﹣4）    

B．它的图象在第一、三象限    

C．当x＞0时，y随x的增大而增大    

D．图象关于原点中心对称

8．每年4月23日是“世界读书日”，为了了解某校八年级500名学生对“世界读书日”的知晓情况，从中随机抽取了50名学生进行调查．在这次调查中，样本是（　　）

A．500名学生    

B．所抽取的50名学生对“世界读书日”的知晓情况    

C．50名学生    

D．每一名学生对“世界读书日”的知晓情况

9．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为（　　）

A．32    B．16    C．8    D．4

10．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝CF，连接BF、DE交于点M，延长ED到H使DH＝BM，连接AM，AH，则以下四个结论：

①△BDF≌△DCE；②∠BMD＝120°；③△AMH是等边三角形；④S四边形ABMD＝AM2．

其中正确结论的个数是（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卷相对应位置上．）

11．“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是　   　事件（从“必然”、“随机”、“不可能”中选一个）．

12．当x＝　   　时，分式无意义．

13．已知点A（1，a），B（3，b）都在反比例函数y＝的图象上，则a，b的大小关系为　   　．（用“＜”连接）

14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为　   　．

15．如图，面积为3的矩形OABC的一个顶点B在反比例函数y＝的图象上，另三点在坐标轴上，则k＝　   　．

16．当m＝　   　时，解分式方程＝会出现增根．

17．如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为　   　cm．

18．如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于两点A、B，与x轴交于点C，且点B是AC的中点，分别过两点A、B作x轴的平行线，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于两点D、E，连接DE，则四边形ABED的面积为　   　．

三、解答题（本大题共10小题，共76分．把解答过程写在答题卷相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．）

19．化简：1﹣÷．

20．解方程：＝1．

21．已知反比例函数y＝（m为常数，且m≠5）．

（1）若在其图象的每个分支上，y随x的增大而增大，求m的取值范围；

（2）若其图象与一次函数y＝﹣x+1图象的一个交点的纵坐标是3，求m的值．

22．某校课外兴趣小组在本校学生中开展“感动中国2019年度人物”先进事迹知晓情况专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为A、B、C、D四类，被调查者只能选择一类．其中，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”，划分类别后的数据整理如表：

（1）表中的a＝　   　，b＝　   　；

（2）根据表中数据，求扇形统计图中类别为B的学生数所对应的扇形圆心角的度数；

（3）若该校有学生1000名，根据调查结果估计该校学生中类别为C的人数约为多少？

23．如图所示，AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线EF分别交AD，BC于点E，F．

（1）求证：△AOE≌△COF；

（2）连接AF和CE，当EF⊥AC时，判断四边形AFCE的形状，并说明理由

24．某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．那么第一批饮料进货单价为多少元？

25．如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A＝∠F，∠1＝∠2．

（1）求证：四边形BCED是平行四边形；

（2）已知DE＝2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．

26．如图，A（4，3）是反比例函数y＝在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB＝OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y＝的图象于点P．

（1）求反比例函数y＝的表达式；

（2）求点B的坐标；

（3）求△OAP的面积．

27．阅读下面材料：

在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图①，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？

小敏在思考问题，有如下思路：连接AC．

结合小敏的思路作答．

（1）若只改变图①中四边形ABCD的形状（如图②），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；（参考小敏思考问题方法）

（2）如图 ②，在（1）的条件下，若连接AC，BD．

①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，写出结论并证明；

②当AC与BD满足　   　时，四边形EFGH是正方形．

28．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．

（1）观察猜想

如图1，当点D在线段BC上时，

①BC与CF的位置关系为：　   　．

②BC，CD，CF之间的数量关系为：　   　；（将结论直接写在横线上）

（2）数学思考

如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

（3）拓展延伸

如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB＝2，CD＝BC，请求出GE的长．

参

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填涂在答题卷相对应的位置上．）

1．下列代数式中属于分式的是（　　）

A．    B．    C．    D．a

【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，从而得出答案．

解：、、a的分母中不含有字母，属于整式．的分母中含有字母，属于分式．

故选：B．

2．下列图案中，不是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．

解：A、是中心对称图形，故此选项错误；

B、不是中心对称图形，故此选项正确；

C、是中心对称图形，故此选项错误；

D、是中心对称图形，故此选项错误；

故选：B．

3．反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣2），则k的值为（　　）

A．6    B．5    C．﹣5    D．﹣6

【分析】直接把点（3，﹣2）代入y＝，然后求出k即可．

解：把点（3，﹣2）代y＝得﹣2×3＝k，

∴k＝﹣6，

故选：D．

4．如果把的x与y都扩大10倍，那么这个代数式的值（　　）

A．不变    B．扩大50倍    

C．扩大10倍    D．缩小到原来的

【分析】依题意分别用10x和10y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．

解：分别用10x和10y去代换原分式中的x和y，得

＝＝，可见新分式与原分式的值相等；

故选：A．

5．下列分式是最简分式的（　　）

A．    B．    

C．    D．

【分析】根据分式的基本性质进行约分，画出最简分式即可进行判断．

解：A、＝，故本选项错误；

B、＝，故本选项错误；

C、，不能约分，故本选项正确；

D、＝＝，故本选项错误；

故选：C．

6．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）

A．对角线互相平分    

B．对角线相等    

C．每一条对角线平分一组对角    

D．对角线互相垂直

【分析】先逐一分析出矩形、菱形、正方形的对角的性质，再综合考虑矩形、菱形、正方形对角线的共同性质．

解：因为矩形的对角线互相平分且相等，

菱形的对角线互相平分且垂直且平分每一组对角，

正方形的对角线具有矩形和菱形所有的性质，

所有矩形、菱形和正方形的对角线都具有的性质是对角线互相平分．

故选：A．

7．对于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（　　）

A．图象经过点（1，﹣4）    

B．它的图象在第一、三象限    

C．当x＞0时，y随x的增大而增大    

D．图象关于原点中心对称

【分析】根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．

解：∵反比例函数y＝﹣，

∴当x＝1时，y＝﹣4，即图象经过点（1，﹣4），故选项A正确；

它的图象在第二、四象限，故选项B错误；

当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项C正确；

图象关于原点中心对称，故选项D正确；

故选：B．

8．每年4月23日是“世界读书日”，为了了解某校八年级500名学生对“世界读书日”的知晓情况，从中随机抽取了50名学生进行调查．在这次调查中，样本是（　　）

A．500名学生    

B．所抽取的50名学生对“世界读书日”的知晓情况    

C．50名学生    

D．每一名学生对“世界读书日”的知晓情况

【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，据此即可判断．

解：样本是所抽取的50名学生对“世界读书日”的知晓情况．

故选：B．

9．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为（　　）

A．32    B．16    C．8    D．4

【分析】根据三角形的中位线定理，在三角形中准确应用，并且求证E为CD的中点，再求证EF为△BCD的中位线，从而求得结论．

解：∵在△ACD中，∵AD＝AC，AE⊥CD，

∴E为CD的中点，

又∵F是CB的中点，

∴EF为△BCD的中位线，

∴EF∥BD，EF＝BD，

∵BD＝16，

∴EF＝8，

故选：C．

10．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝CF，连接BF、DE交于点M，延长ED到H使DH＝BM，连接AM，AH，则以下四个结论：

①△BDF≌△DCE；②∠BMD＝120°；③△AMH是等边三角形；④S四边形ABMD＝AM2．

其中正确结论的个数是（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

【分析】根据菱形的四条边都相等，先判定△ABD是等边三角形，再根据菱形的性质可得∠BDF＝∠C＝60°，再求出DF＝CE，然后利用“边角边”即可证明△BDF≌△DCE，从而判定①正确；根据全等三角形对应角相等可得∠DBF＝∠EDC，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可以求出∠DMF＝∠BDC＝60°，再根据平角等于180°即可求出∠BMD＝120°，从而判定②正确；根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及平行线的性质求出∠ABM＝∠ADH，再利用“边角边”证明△ABM和△ADH全等，根据全等三角形对应边相等可得AH＝AM，对应角相等可得∠BAM＝∠DAH，然后求出∠MAH＝∠BAD＝60°，从而判定出△AMH是等边三角形，判定出③正确；根据全等三角形的面积相等可得△AMH的面积等于四边形ABMD的面积，然后判定出④正确．

解：在菱形ABCD中，

∵AB＝BD，

∴AB＝BD＝AD，

∴△ABD是等边三角形，

∴根据菱形的性质可得∠BDF＝∠C＝60°，

∵BE＝CF，

∴BC﹣BE＝CD﹣CF，

即CE＝DF，

在△BDF和△DCE中，，

∴△BDF≌△DCE（SAS），故①小题正确；

∴∠DBF＝∠EDC，

∵∠DMF＝∠DBF+∠BDE＝∠EDC+∠BDE＝∠BDC＝60°，

∴∠BMD＝180°﹣∠DMF＝180°﹣60°＝120°，故②小题正确；

∵∠DEB＝∠EDC+∠C＝∠EDC+60°，∠ABM＝∠ABD+∠DBF＝∠DBF+60°，

∴∠DEB＝∠ABM，

又∵AD∥BC，

∴∠ADH＝∠DEB，

∴∠ADH＝∠ABM，

在△ABM和△ADH中，，

∴△ABM≌△ADH（SAS），

∴AH＝AM，∠BAM＝∠DAH，

∴∠MAH＝∠MAD+∠DAH＝∠MAD+∠BAM＝∠BAD＝60°，

∴△AMH是等边三角形，故③小题正确；

∵△ABM≌△ADH，

∴△AMH的面积等于四边形ABMD的面积，

又∵△AMH的面积＝AM•AM＝AM2，

∴S四边形ABMD＝AM2，故④小题正确，

综上所述，正确的是①②③④共4个．

故选：D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卷相对应位置上．）

11．“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是　随机　事件（从“必然”、“随机”、“不可能”中选一个）．

【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．

解：“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是 随机事件，

故答案为：随机．

12．当x＝　2　时，分式无意义．

【分析】根据分母等于0，分式无意义列式进行计算即可求解．

解：根据题意得，x﹣2＝0，

解得x＝2．

故答案为：2．

13．已知点A（1，a），B（3，b）都在反比例函数y＝的图象上，则a，b的大小关系为　b＜a　．（用“＜”连接）

【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．

解：∵反比例函数y＝中，k＝4＞0，

∴在每个象限内，y随x的增大而减小，

∵点A（1，a），B（3，b）都在反比例函数y＝的图象上，且3＞1，

∴b＜a，

故答案为：b＜a．

14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为　60°　．

【分析】根据矩形的性质，可得∠ABC的度数，OA与OB的关系，根据等边三角形的判定，可得答案．

解：由矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，得

∠ABC＝90°，

∠BAO＝90°﹣∠ACB＝60°．

由OA＝OB，得

△ABO是等边三角形，

∠AOB＝60°，

故答案为：60°

15．如图，面积为3的矩形OABC的一个顶点B在反比例函数y＝的图象上，另三点在坐标轴上，则k＝　﹣3　．

【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S＝|k|．

解：根据题意，知S＝|k|＝3，k＝±3，

又因为反比例函数位于第四象限，k＜0，

所以k＝﹣3，

16．当m＝　2　时，解分式方程＝会出现增根．

【分析】分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为0的未知数的值．

解：分式方程可化为：x﹣5＝﹣m，

由分母可知，分式方程的增根是3，

当x＝3时，3﹣5＝﹣m，解得m＝2，

故答案为：2．

17．如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为　13　cm．

【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可．

解：因为正方形AECF的面积为50cm2，

所以AC＝cm，

因为菱形ABCD的面积为120cm2，

所以BD＝cm，

所以菱形的边长＝cm．

故答案为：13．

18．如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于两点A、B，与x轴交于点C，且点B是AC的中点，分别过两点A、B作x轴的平行线，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于两点D、E，连接DE，则四边形ABED的面积为　　．

【分析】根据点A、B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，可设出点B坐标为（，m），再根据B为线段AC的中点可用m表示出来A点的坐标，由AD∥x轴、BE∥x轴，即可用m表示出来点D、E的坐标，结合梯形的面积公式即可得出结论．

解：∵点A、B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，

设点B的坐标为（，m），

∵点B为线段AC的中点，且点C在x轴上，

∴点A的坐标为（，2m）．

∵AD∥x轴、BE∥x轴，且点D、E在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，

∴点D的坐标为（，2m），点E的坐标为（，m）．

∴S梯形ABED＝（+）×（2m﹣m）＝．

故答案为：．

三、解答题（本大题共10小题，共76分．把解答过程写在答题卷相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．）

19．化简：1﹣÷．

【分析】原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．

解：原式＝1﹣•

＝1﹣

＝．

20．解方程：＝1．

【分析】因为x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），所以可确定最简公分母（x+1）（x﹣1），然后方程两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程求解即可，注意检验．

解：方程两边同乘（x+1）（x﹣1），

得：x（x+1）﹣（2x﹣1）＝（x+1）（x﹣1），

解得：x＝2．

经检验：当x＝2时，（x+1）（x﹣1）≠0，

∴原分式方程的解为：x＝2．

21．已知反比例函数y＝（m为常数，且m≠5）．

（1）若在其图象的每个分支上，y随x的增大而增大，求m的取值范围；

（2）若其图象与一次函数y＝﹣x+1图象的一个交点的纵坐标是3，求m的值．

【分析】（1）由反比例函数y＝的性质：当k＜0时，在其图象的每个分支上，y随x的增大而增大，进而可得：m﹣5＜0，从而求出m的取值范围；

（2）先将交点的纵坐标y＝3代入一次函数y＝﹣x+1中求出交点的横坐标，然后将交点的坐标代入反比例函数y＝中，即可求出m的值．

解：（1）∵在反比例函数y＝图象的每个分支上，y随x的增大而增大，

∴m﹣5＜0，

解得：m＜5；

（2）将y＝3代入y＝﹣x+1中，得：x＝﹣2，

∴反比例函数y＝图象与一次函数y＝﹣x+1图象的交点坐标为：（﹣2，3）．

将（﹣2，3）代入y＝得：

3＝

解得：m＝﹣1．

22．某校课外兴趣小组在本校学生中开展“感动中国2019年度人物”先进事迹知晓情况专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为A、B、C、D四类，被调查者只能选择一类．其中，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”，划分类别后的数据整理如表：

（1）表中的a＝　0.3　，b＝　6　；

（2）根据表中数据，求扇形统计图中类别为B的学生数所对应的扇形圆心角的度数；

（3）若该校有学生1000名，根据调查结果估计该校学生中类别为C的人数约为多少？

【分析】（1）根据B类频数和频率求出总数，再根据频数、频率、总数之间的关系分布进行计算即可；

（2）用类别为B的学生数所占的百分比乘以360°，即可得出答案；

（3）用1000乘以类别为C的人数所占的百分比，即可求出该校学生中类别为C的人数．

解：（1）问卷调查的总人数是：＝100（名），

a＝＝0.3，b＝100×0.06＝6（名），

故答案为：0.3，6；

（2）类别为B的学生数所对应的扇形圆心角的度数是：360°×0.4＝144°；

（3）根据题意得：

1000×0.24＝240（名）．

答：调查结果估计该校学生中类别为C的人数约为240名．

23．如图所示，AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线EF分别交AD，BC于点E，F．

（1）求证：△AOE≌△COF；

（2）连接AF和CE，当EF⊥AC时，判断四边形AFCE的形状，并说明理由

【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠EAO＝∠FCO，由ASA即可得出结论；

（2）由△AOE≌△COF，得出对应边相等AE＝CF，证出四边形AFCE是平行四边形，再由对角线EF⊥AC，即可得出四边形AFCE是菱形．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠EAO＝∠FCO，

∵O是AC的中点，

∴OA＝OC，

在△AOE和△COF中，，

∴△AOE≌△COF（ASA）；

（2）EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形；理由如下：

∵△AOE≌△COF，

∴AE＝CF，

∵AE∥CF，

∴四边形AFCE是平行四边形，

∵EF⊥AC，

∴四边形AFCE是菱形．

24．某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．那么第一批饮料进货单价为多少元？

【分析】设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为（x+2）元，根据数量＝总价÷单价结合购进第二批饮料的数量是第一批的3倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．

解：设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为（x+2）元，

依题意，得：3×＝，

解得：x＝8，

经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意．

答：第一批饮料进货单价为8元．

25．如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A＝∠F，∠1＝∠2．

（1）求证：四边形BCED是平行四边形；

（2）已知DE＝2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．

【分析】（1）由已知角相等，利用对顶角相等，等量代换得到同位角相等，进而得出DB与EC平行，再由内错角相等两直线平行得到DE与BC平行，即可得证；

（2）由角平分线得到一对角相等，再由两直线平行内错角相等，等量代换得到一对角相等，再利用等角对等边得到CN＝BC，再由平行四边形对边相等即可确定出所求．

【解答】（1）证明：∵∠A＝∠F，

∴DE∥BC，

∵∠1＝∠2，且∠1＝∠DMF，

∴∠DMF＝∠2，

∴DB∥EC，

则四边形BCED为平行四边形；

（2）解：∵BN平分∠DBC，

∴∠DBN＝∠CBN，

∵EC∥DB，

∴∠CNB＝∠DBN，

∴∠CNB＝∠CBN，

∴CN＝BC＝DE＝2．

26．如图，A（4，3）是反比例函数y＝在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB＝OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y＝的图象于点P．

（1）求反比例函数y＝的表达式；

（2）求点B的坐标；

（3）求△OAP的面积．

【分析】（1）将点A的坐标代入解析式求解可得；

（2）利用勾股定理求得AB＝OA＝5，由AB∥x轴即可得点B的坐标；

（3）先根据点B坐标得出OB所在直线解析式，从而求得直线与双曲线交点P的坐标，再利用割补法求解可得．

解：（1）将点A（4，3）代入y＝，得：k＝12，

则反比例函数解析式为y＝；

（2）如图，过点A作AC⊥x轴于点C，

则OC＝4、AC＝3，

∴OA＝＝5，

∵AB∥x轴，且AB＝OA＝5，

∴点B的坐标为（9，3）；

（3）∵点B坐标为（9，3），

∴OB所在直线解析式为y＝x，

由可得点P坐标为（6，2），

过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，

则点E坐标为（6，3），

∴AE＝2、PE＝1、PD＝2，

则△OAP的面积＝×（2+6）×3﹣×6×2﹣×2×1＝5．

27．阅读下面材料：

在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图①，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？

小敏在思考问题，有如下思路：连接AC．

结合小敏的思路作答．

（1）若只改变图①中四边形ABCD的形状（如图②），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；（参考小敏思考问题方法）

（2）如图 ②，在（1）的条件下，若连接AC，BD．

①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，写出结论并证明；

②当AC与BD满足　AC⊥BD，且AC＝BD　时，四边形EFGH是正方形．

【分析】（1）连接AC，根据三角形中位线的性质得到EF∥AC，EF＝AC，然后根据平行四边形判定定理即可得到结论；

（2）①根据平行线的性质得到GH⊥BD，GH⊥GF，于是得到∠HGF＝90°，根据矩形的判定定理即可得到结论；

②结论：当AC⊥BD，且AC＝BD时，四边形EFGH为正方形．根据邻边相等的矩形是正方形即可证明．

解：（1）四边形EFGH是平行四边形，理由如下：

如答图1，连接AC，

∵E是AB的中点，F是BC的中点，

∴EF∥AC，EF＝AC，

同理HG∥AC，HG＝AC，

综上可得：EF∥HG，EF＝HG，

故四边形EFGH是平行四边形；

（2）如答图2，连接BD．

①当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；

理由如下：

同（1）得：四边形EFGH是平行四边形，

∵AC⊥BD，GH∥AC，

∴GH⊥BD，

∵GF∥BD，

∴GH⊥GF，

∴∠HGF＝90°，

∴四边形EFGH为矩形；

②结论：当AC⊥BD，且AC＝BD时，四边形EFGH为正方形．

理由：∵EH＝BD，EF＝AC，BD＝AC，

∴EH＝EF，

∵当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形，

∴四边形EFGH是正方形．

故答案是：AC⊥BD，且AC＝BD．

28．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．

（1）观察猜想

如图1，当点D在线段BC上时，

①BC与CF的位置关系为：　垂直　．

②BC，CD，CF之间的数量关系为：　BC＝CD+CF　；（将结论直接写在横线上）

（2）数学思考

如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

（3）拓展延伸

如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB＝2，CD＝BC，请求出GE的长．

【分析】（1）①根据正方形的性质得到∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF＝BD，∠ACF＝∠ABD，根据余角的性质即可得到结论；

（2）根据正方形的性质得到∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．

（3）根据等腰直角三角形的性质得到BC＝AB＝4，AH＝BC＝2，求得DH＝3，根据正方形的性质得到AD＝DE，∠ADE＝90°，根据矩形的性质得到NE＝CM，EM＝CN，由角的性质得到∠ADH＝∠DEM，根据全等三角形的性质得到EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，等量代换得到CN＝EM＝3，EN＝CM＝3，根据等腰直角三角形的性质得到CG＝BC＝4，根据勾股定理即可得到结论．

解：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF，

∵∠BAC＝∠DAF＝90°，

∴∠BAD＝∠CAF，

在△DAB与△FAC中，，

∴△DAB≌△FAC，

∴∠B＝∠ACF，

∴∠ACB+∠ACF＝90°，即BC⊥CF；

故答案为：垂直；

②△DAB≌△FAC，

∴CF＝BD，

∵BC＝BD+CD，

∴BC＝CF+CD；

故答案为：BC＝CF+CD；

（2）CF⊥BC成立；BC＝CD+CF不成立，CD＝CF+BC．

∵正方形ADEF中，AD＝AF，

∵∠BAC＝∠DAF＝90°，

∴∠BAD＝∠CAF，

在△DAB与△FAC中，，

∴△DAB≌△FAC，

∴∠ABD＝∠ACF，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠ACB＝∠ABC＝45°．

∴∠ABD＝180°﹣45°＝135°，

∴∠BCF＝∠ACF﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°，

∴CF⊥BC．

∵CD＝DB+BC，DB＝CF，

∴CD＝CF+BC．

（3）解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴BC＝AB＝4，AH＝BC＝2，

∴CD＝BC＝1，CH＝BC＝2，

∴DH＝3，

由（2）证得BC⊥CF，CF＝BD＝5，

∵四边形ADEF是正方形，

∴AD＝DE，∠ADE＝90°，

∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，

∴四边形CMEN是矩形，

∴NE＝CM，EM＝CN，

∵∠AHD＝∠ADE＝∠EMD＝90°，

∴∠ADH+∠EDM＝∠EDM+∠DEM＝90°，

∴∠ADH＝∠DEM，

在△ADH与△DEM中，，

∴△ADH≌△DEM，

∴EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，

∴CN＝EM＝3，EN＝CM＝3，

∵∠ABC＝45°，

∴∠BGC＝45°，

∴△BCG是等腰直角三角形，

∴CG＝BC＝4，

∴GN＝1，

∴EG＝＝．下载本文