教材知识探究

过山车是一项富有刺激性的娱乐工具.那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.过山车的运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理.如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言.一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)，几个循环路径.

问题　(1)函数y＝sin x与y＝cos x也像过山车一样“爬升”，“滑落”，这是y＝sin x，y＝cos x的哪些性质？

(2)过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，然后再爬升，对应y＝sin x，y＝cos x的哪些性质？y＝sin x，y＝cos x在什么位置取得最大(小)值？

提示　(1)单调性.　(2)最值，波峰，波谷.

正弦函数、余弦函数的图象和性质(表中k∈Z)

[微判断]

1.正弦函数、余弦函数在定义域内是单调函数.(×)

提示　正弦函数、余弦函数在定义域内不单调.

2.存在实数x，使得cos x＝.(×)

提示　余弦函数最大值为1.

3.余弦函数y＝cos x在[0，π]上是减函数.(√)

[微训练]

1.y＝2＋cos 的值域为________.

解析　∵cos∈[－1，1]，∴2＋cos∈[1，3].

答案　[1，3]

2.函数y＝2－sin x取得最大值时x的值为________.

解析　当sin x＝－1，即x＝－＋2kπ(k∈Z)时，函数y＝2－sin x的最大值为3.

答案　－＋2kπ(k∈Z)

3.比较sin 250°与sin 260°的大小.

解　∵sin 250°＝sin (180°＋70°)＝－sin 70°，sin 260°＝sin (180°＋80°)＝－sin 80°，而sin 70°－sin 80°.∴sin 250°>sin 260°.

[微思考]

正弦函数y＝sin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心.

(1)除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是多少？

(2)正弦函数是轴对称图形吗？如果是，对称轴的方程是什么？

(3)余弦函数y＝cos x呢？有以上的性质吗？

提示　(1)y＝sin x还有其他对称中心，它们为点(kπ，0)(k∈Z).

(2)y＝sin x是轴对称图形，对称轴的方程为x＝kπ＋(k∈Z).

(3)y＝cos x既是中心对称图形，又是轴对称图形.

对称中心的坐标为(k∈Z)，对称轴方程为x＝kπ(k∈Z).

题型一　正弦、余弦函数的单调区间

【例1】　求函数y＝1＋sin，x∈[－4π，4π]的单调递减区间.　

整体代换是关键

解　y＝1＋sin＝－sin＋1.

由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z).

解得4kπ－≤x≤4kπ＋π(k∈Z).

又∵x∈[－4π，4π]，

∴函数y＝1＋sin(－x＋)的单调递减区间为

[－4π，－]，[－，]，[，4π].

规律方法　用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式.

【训练1】　求函数f(x)＝2cos(2x－)的单调递增区间.

解　令－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z，

解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

所以函数f(x)的单调增区间是[－＋kπ，＋kπ](k∈Z).

题型二　利用正弦、余弦函数的单调性比较大小  

【例2】　利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.

 (1)sin 与cos ；

(2)cos与cos.

解　(1)sin ＝sin(π＋)＝－sin ，

cos ＝cos(π－)＝－cos ＝－sin ，

∵0<<<，且y＝sin x在[0，]上是增函数

∴sin 从而－sin >－sin ，

即sin >cos .

(2)cos＝cos π＝cos(4π＋π)＝cos π，

cos＝cos π＝cos＝cos .

∵0<<π<π，且y＝cos x在[0，π]上是减函数，

∴cos π规律方法　用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小.

【训练2】　比较下列各组数的大小：

(1)sin与sin；

(2)cos 与sin .

解　(1)sin＝sin＝sin，

sin＝sin＝sin ，

∵y＝sin x在上是增函数，

∴sin(2)cos ＝cos(4π＋)＝cos ，sin ＝sin(4π＋)＝sin ＝sin(＋)＝cos ，

∵0<<<π，且y＝cos x在[0，π]上是减函数，

∴cos >cos ，即cos >sin .

题型三　正弦函数、余弦函数的最值问题

【例3】　已知函数f(x)＝2asin＋b的定义域为，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值.

解　∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，

∴－≤sin≤1.

若a>0，则

解得

若a<0，则

解得

规律方法　求三角函数值域或最值的常用方法

(1)形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sin t的最值(值域).

(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin x，将函数y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值).

(3)对于形如y＝asin x(或y＝acos x)的函数的最值还要注意对a的讨论.

【训练3】　若函数y＝a－bcos x(b>0)的最大值为，最小值为－，求函数y＝－4acos bx的最值和最小正周期.

解　∵y＝a－bcos x(b>0)，

∴ymax＝a＋b＝，ymin＝a－b＝－.

由解得

∴y＝－4acos bx＝－2cos x，

所以函数y＝－4acos bx的最大值为2，最小值为－2，最小正周期为2π.

一、素养落地

1.通过本节课的学习，重点提升直观想象、数学抽象、逻辑推理、数算素养.

2.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法

把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋ (k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递减区间.若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间.

3.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断.

4.求三角函数值域或最值的常用方法：

将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.

通过上述问题，不断提高学生的数算、逻辑推理的素养.

二、素养训练

1.y＝2sin(3x＋)的值域是(　　)

A.[－2，2]         B.[0，2]

C.[－2，0]      D.[－1，1]

解析　因为sin(3x＋)∈[－1，1]，

所以y∈[－2，2].

答案　A

2.下列关系式中正确的是(　　)

A.sin 11°B.sin 168°C.sin 11°D.sin 168°解析　因为sin 168°＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°，由正弦函数的单调性得sin 11°答案　C

3.函数f(x)＝sin在上的单调递增区间是(　　)

A.         B.

C.      D.

解析　令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，又0≤x≤，所以f(x)在上的单调递增区间是.

答案　C

4.函数f(x)＝cos(2x－)的单调递减区间是________.

解析　令2kπ≤2x－≤π＋2kπ，k∈Z，

得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

即f(x)的单调递减区间是

[＋kπ，＋kπ](k∈Z).

答案　[＋kπ，＋kπ](k∈Z)

5.函数y＝cos(x＋)，x∈[0，]的值域是________.

解析　∵0≤x≤，∴≤x＋≤，

∴cos≤cos(x＋)≤cos.

∴－≤y≤，即值域为[－，].

答案　[－，]

基础达标

一、选择题

1.函数y＝sin 2x的单调递减区间是(　　)

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

解析　令＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，

得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

则y＝sin 2x的单调递减区间是[＋kπ，＋kπ](k∈Z).

答案　B

2.下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是(　　)

A.y＝sin         B.y＝cos

C.y＝sin      D.y＝cos

解析　因为函数周期为π，所以排除C，D.又因为y＝cos＝－sin 2x在上为增函数，故B不符合.故选A.

答案　A

3.函数f(x)＝sin在区间上的最小值是(　　)

A.－1         B.－  

C.      D.0

解析　∵x∈[0，]，∴2x－∈，

∴sin∈，∴f(x)min＝－.

答案　B

4.函数f(x)＝－2sin2x＋2cos x的最大值和最小值分别是(　　)

A.2，－2         B.2，－

C.2，－      D.，－2

解析　f(x)＝－2sin2x＋2cos x＝－2×(1－cos2x)＋2cos x＝2cos2x＋2cos x－2＝2×＝2－，

∵－1≤cos x≤1，∴f(x)min＝－，f(x)max＝2.故选B.

答案　B

5.函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为[－1，]，则b－a的最大值和最小值之和等于(　　)

A.         B.  

C.2π      D.4π

解析　如图所示，当x∈[a1，b]时，值域为，且b－a最大为.当x∈[a2，b]时，值域为[－1，]，且b－a最小为.∴最大值与最小值之和为(b－a1)＋(b－a2)＝2b－(a1＋a2)＝＋＝2π.

答案　C

二、填空题

6.函数y＝sin(－)取最大值时自变量的取值集合是________.

解析　当－＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋4kπ，k∈Z时，函数取最大值.

答案　{x|x＝＋4kπ，k∈Z}

7.sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为________________________.

解析　∵1<<2<3<π，

sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.

y＝sin x在上是增函数，且0<π－3<1<π－2<，

∴sin(π－3)即sin 3答案　sin 38.若f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值是，则ω＝________.

解析　∵x∈，即0≤x≤，且0<ω<1，

∴0≤ωx≤<.

∵f(x)max＝2sin＝，

∴sin＝，＝，

即ω＝.

答案　

三、解答题

9.求下列函数的单调递增区间.

(1)y＝1－sin ；(2)y＝logsin.

解　(1)由2kπ＋≤≤2kπ＋π，k∈Z，

得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π，k∈Z.

∴y＝1－sin的单调递增区间为

[4kπ＋π，4kπ＋3π](k∈Z).

(2)要求函数y＝logsin的单调递增区间，

即求使y＝sin>0且单调递减的区间.

∴2kπ＋≤－<2kπ＋π，k∈Z，

整理得4kπ＋≤x<4kπ＋，k∈Z.

∴函数y＝logsin的单调递增区间为，k∈Z.

10.求下列函数的最大值和最小值.

(1)f(x)＝sin，x∈；

(2)f(x)＝－2cos2x＋2sin x＋3，x∈.

解　(1)当x∈时，

2x－∈，由函数图象知，

f(x)＝sin∈＝.

所以，f(x)在上的最大值和最小值分别为1，－.

(2)f(x)＝－2(1－sin2x)＋2sin x＋3

＝2sin2x＋2sin x＋1＝2＋.

因为x∈，所以≤sin x≤1.

当sin x＝1时，ymax＝5；

当sin x＝时，ymin＝.

所以，f(x)在上的最大值和最小值分别为5，.

能力提升

11.求函数y＝3－2sin x的最值及取到最值时的自变量x的集合.

解　∵－1≤sin x≤1，

∴当sin x＝－1，x＝2kπ－，k∈Z，

即x＝4kπ－π，k∈Z时，ymax＝5，

此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ－π，k∈Z}；

当sin x＝1，x＝2kπ＋，k∈Z，

即x＝4kπ＋π，k∈Z时，ymin＝1，

此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}.

12.已知函数f(x)＝cos(2x－)，x∈R.

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值.

解　(1)因为f(x)＝cos，x∈R，所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.

由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，

故函数f(x)的单调递增区间为

(k∈Z).

(2)因为x∈，所以2x－∈，

所以当2x－＝0，

即x＝时，f(x)max＝f＝，

当2x－＝，即x＝时，f(x)min＝f＝－1.

所以函数f(x)在区间上的最大值为，

此时x＝；最小值为－1，此时x＝.下载本文