一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（﹣2）3的计算结果是（ ）
A．6 B．﹣6 C．﹣8 D．8
2．下列根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．不等式2x+4≤0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．对某班学生“你最喜欢的体育项目是什么？”的问题进行了调查，每位同学都选择了其中的一项，现把所得的数据绘制成频数分布直方图（如图）．如图中的信息可知，该班学生最喜欢足球的频率是（ ）
A．12 B．0.3 C．0.4 D．40
5．如图所示的尺规作图的痕迹表示的是（ ）
A．尺规作线段的垂直平分线
B．尺规作一条线段等于已知线段
C．尺规作一个角等于已知角
D．尺规作角的平分线
6．下列命题中，正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．四角相等的四边形是正方形
C．对角线垂直的平行四边形是正方形
D．对角线相等的菱形是正方形
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．当a=1时，|a﹣3|的值为 ．
8．方程的解为 ．
9．已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
10．试写出一个二元二次方程，使该方程有一个解是，你写的这个方程是 （写出一个符合条件的即可）．
11．函数y=的定义域是 ．
12．若A（﹣，y1）、B（，y2）是二次函数y=﹣（x﹣1）2+图象上的两点，则y1 y2（填“＞”或“＜”或“=”）．
13．一个不透明纸箱中装有形状、大小、质地等完全相同的7个小球，分别标有数字1、2、3、4、5、6、7，从中任意摸出一个小球，这个小球上的数字是奇数的概率是 ．
14．已知某班学生理化实验操作测试成绩的统计结果如下表：
| 成绩（分） | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 人数 | 1 | 2 | 2 | 6 | 9 | 11 | 9 |
15．如图，在梯形△ABCD中，E、F分别为腰AD、BC的中点，若=， =，则向量= （结果用表示）．
16．若两圆的半径分别为1cm和5cm，圆心距为4cm，则这两圆的位置关系是 ．
17．设正n边形的半径为R，边心距为r，如果我们将的值称为正n边形的“接近度”，那么正六边形的“接近度”是 （结果保留根号）．
18．已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6（如图所示），将△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应．若以点A、D、E为顶点的三角形是等腰三角形，且AE为腰，则m的值是 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．先化简，再求值：，其中x=8．
20．已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣1）、B（1，5）、C（﹣1，﹣3）三点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）用配方法把这个函数的解析式化为y=a（x+m）2+k的形式．
21．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sinB=，tanA=，BC=2，求边AB的长和cos∠CDB的值．
22．社区敬老院需要600个环保包装盒，原计划由初三（1）班全体同学制作完成．但在实际制作时，有10名同学因为参加学校跳绳比赛而没有参加制作．这样，该班实际参加制作的同学人均制作的数量比原计划多5个，那么这个班级共有多少名同学？
23．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E、F为对角线BD上两点，且BE=DF，AF∥EC．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）延长AF，交边DC于点G，交边BC的延长线于点H，求证：AD•DC=BH•DG．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2．
（1）求直线AB的表达式；
（2）反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB时，求k1的值；
（3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=的图象于点F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE时，请直接写出满足条件的所有k2的值．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2．点D、E分别在边BC、AB上，ED⊥BC，以AE为半径的⊙A交DE的延长线于点F．
（1）当D为边BC中点时（如图1），求弦EF的长；
（2）设，EF=y，求y关于x的函数解析式及定义域；（不用写出定义域）；
（3）若DE过△ABC的重心，分别联结BF、AF、CE，当∠AFB=90°时（如图2），求的值．
2016年上海市虹口区中考数学二模试卷
参与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（﹣2）3的计算结果是（ ）
A．6 B．﹣6 C．﹣8 D．8
【考点】有理数的乘方．
【分析】根据有理数的乘方的定义进行计算即可得解．
【解答】解：（﹣2）3=﹣8．
故选C．
【点评】本题考查了有理数的乘方的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2．下列根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】同类二次根式．
【分析】运用化简根式的方法化简每个选项．
【解答】解：A、=2，故A选项不是；
B、=2，故B选项是；
C、=，故C选项不是；
D、=3，故D选项不是．
故选：B．
【点评】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是熟记化简根式的方法．
3．不等式2x+4≤0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：移项得，2x≤﹣4，
系数化为1得，x≤﹣2．
在数轴上表示为：
．
故选C．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．
4．对某班学生“你最喜欢的体育项目是什么？”的问题进行了调查，每位同学都选择了其中的一项，现把所得的数据绘制成频数分布直方图（如图）．如图中的信息可知，该班学生最喜欢足球的频率是（ ）
A．12 B．0.3 C．0.4 D．40
【考点】频数（率）分布直方图．
【分析】由频数之和等于数据总数计算出学生总数，再由频率=计算最喜欢足球的频率．
【解答】解：读图可知：共有（6+5+12+8+7+2）=40人，
最喜欢足球的频数为12，是最喜欢篮球的频率是=0.3，
故选：B．
【点评】此题考查频数（率）分布直方图，熟知计算公式：频率=是解题的关键．
5．如图所示的尺规作图的痕迹表示的是（ ）
A．尺规作线段的垂直平分线
B．尺规作一条线段等于已知线段
C．尺规作一个角等于已知角
D．尺规作角的平分线
【考点】作图—基本作图．
【分析】利用线段垂直平分线的作法进而判断得出答案．
【解答】解：如图所示：可得尺规作图的痕迹表示的是尺规作线段的垂直平分线．
故选：A．
【点评】此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．
6．下列命题中，正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．四角相等的四边形是正方形
C．对角线垂直的平行四边形是正方形
D．对角线相等的菱形是正方形
【考点】正方形的判定．
【专题】证明题．
【分析】根据正方形的判定：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，对各个选项进行分析．
【解答】解：A，错误，四边相等的四边形也可能是菱形；
B，错误，矩形的四角相等，但不是正方形；
C，错误，对角线垂直的平行四边形是菱形；
D，正确，符合正方形的判定；
故选D．
【点评】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．当a=1时，|a﹣3|的值为 2 ．
【考点】绝对值．
【分析】直接将a的值代入化简求出答案．
【解答】解：当a=1时，|a﹣3|=|1﹣3|=2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键．
8．方程的解为 3 ．
【考点】无理方程．
【分析】首先把方程两边分别平方，然后解一元二次方程即可求出x的值．
【解答】解：两边平方得：2x+3=x2
∴x2﹣2x﹣3=0，
解方程得：x1=3，x2=﹣1，
检验：当x1=3时，方程的左边=右边，所以x1=3为原方程的解，
当x2=﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x2=﹣1不是原方程的解．
故答案为3．
【点评】本题主要考查解无理方程，关键在于首先把方程的两边平方，注意最后要把x的值代入原方程进行检验．
9．已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＜1 ．
【考点】根的判别式．
【专题】推理填空题．
【分析】关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于m的不等式，从而求得m的范围．
【解答】解：∵a=1，b=﹣2，c=m，
∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×m=4﹣4m＞0，
解得：m＜1．
故答案为m＜1．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
10．试写出一个二元二次方程，使该方程有一个解是，你写的这个方程是 x2+y2=5 （写出一个符合条件的即可）．
【考点】高次方程．
【专题】开放型．
【分析】根据（﹣1）2+22=5列出方程即可．
【解答】解：∵（﹣1）2+22=5，
∴x2+y2=5，
故答案为：x2+y2=5．
【点评】此题考查高次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边成立的未知数的值，根据解写方程应先列算式再列方程是关键．
11．函数y=的定义域是 x≠ ．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于0，故分母2x﹣1≠0，解得x的范围．
【解答】解：根据题意得：2x﹣1≠0，
解得：x≠．
故答案为：x≠．
【点评】本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义，必须满足分母不等于0．
12．若A（﹣，y1）、B（，y2）是二次函数y=﹣（x﹣1）2+图象上的两点，则y1 ＜ y2（填“＞”或“＜”或“=”）．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】计算题．
【分析】直接计算自变量为﹣和所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．
【解答】解：∵A（﹣，y1）、B（，y2）是二次函数y=﹣（x﹣1）2+图象上的两点，
∴y1=﹣（﹣﹣1）2+=﹣+，y2=﹣（﹣1）2+=﹣+，
∴y1＜y2．
故答案为＜．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点的坐标满足其解析式．解决本题的关键是把A点和B点坐标代入抛物线解析式求出y1和y2．
13．一个不透明纸箱中装有形状、大小、质地等完全相同的7个小球，分别标有数字1、2、3、4、5、6、7，从中任意摸出一个小球，这个小球上的数字是奇数的概率是 ．
【考点】概率公式．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：∵在一个不透明的口袋中装有7个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，6，7，
∴从中随机摸出一个小球，共有7中等可能结果，其中是奇数的有4种结果，
则其标号是奇数的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
14．已知某班学生理化实验操作测试成绩的统计结果如下表：
| 成绩（分） | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 人数 | 1 | 2 | 2 | 6 | 9 | 11 | 9 |
【考点】众数．
【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．依此即可求解．
【解答】解：∵在这一组数据中9分是出现次数最多的，
∴这些学生成绩的众数是9分．
故答案为：9．
【点评】考查了众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
15．如图，在梯形△ABCD中，E、F分别为腰AD、BC的中点，若=， =，则向量= 7 （结果用表示）．
【考点】*平面向量；梯形中位线定理．
【分析】由在梯形△ABCD中，E、F分别为腰AD、BC的中点，可得=（+），继而求得答案．
【解答】解：∵在梯形△ABCD中，E、F分别为腰AD、BC的中点，
∴=（+），
∵=， =，
∴=2﹣=10﹣3=7．
故答案为：7．
【点评】此题考查了平面向量的知识以及梯形的中位线的性质．注意梯形的中位线平行于上下底，且等于上底与下底和的一半．
16．若两圆的半径分别为1cm和5cm，圆心距为4cm，则这两圆的位置关系是 内切 ．
【考点】圆与圆的位置关系．
【专题】推理填空题．
【分析】只需将两圆的位置关系转化为圆心距与两圆半径之间的数量关系，就可解决问题．
【解答】解：∵4=5﹣1，即两圆的圆心距等于两圆的半径之差，
∴两圆内切．
故答案为内切．
【点评】本题主要考查了圆与圆的位置关系，设两圆的半径分别为R，r（其中R≥r），圆心距为d，则d＞R+r⇔两圆外离；d=R+r⇔两圆外切；R﹣r＜d＜R+r⇔两圆相交；d=R﹣r⇔两圆内切；0≤d＜R﹣r⇔两圆内含．
17．设正n边形的半径为R，边心距为r，如果我们将的值称为正n边形的“接近度”，那么正六边形的“接近度”是 （结果保留根号）．
【考点】正多边形和圆．
【专题】分类讨论．
【分析】求出正六边形的边心距（用R表示），根据“接近度”的定义即可解决问题．
【解答】解：∵正六边形的半径为R，
∴边心距r=R，
∴正六边形的“接近度”===．
故答案为．
【点评】本题考查正多边形与圆的共线，等边三角形高的计算，记住等边三角形的高h=a（a是等边三角形的边长），理解题意是解题的关键，属于中考常考题型．
18．已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6（如图所示），将△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应．若以点A、D、E为顶点的三角形是等腰三角形，且AE为腰，则m的值是 5或3或 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理．
【专题】分类讨论．
【分析】分三种情况讨论：①当m=AD=DE=5时，△ADE是等腰三角形；②当DE=AE时，△ADE是等腰三角形．作EM⊥AD，垂足为M，AN⊥BC于N，则四边形ANEM是平行四边形，列方程得到m的值，③当AD=AE=m时，△ADE是等腰三角形，得到四边形ABED是平行四边形，根据平行四边形的性质得到BE=AD=m，由勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：分三种情况讨论：
①当m=AD=DE=5时，△ADE是等腰三角形；
②当DE=AE时，△ADE是等腰三角形．
作EM⊥AD，垂足为M，AN⊥BC于N，则四边形ANEM是平行四边形，
∴AM=NE，AM=AD=m，CN=BC=3，
∴NE=3﹣m，
∴m=3﹣m，∴m=3，
③当AD=AE=m时，△ADE是等腰三角形，
∵将△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE=AD=m，
∴NE=m﹣3，
∵AN2+NE2=AE2，
∴42+（m﹣3）2=m2，
∴m=，
综上所述：当m=5或3或时，△ADE是等腰三角形．
故答案为：5或3或．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平移的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．先化简，再求值：，其中x=8．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先计算除法：将分母因式分解同时将除法转化为乘法，约分后即变为同分母分式相加可得，再将x=8代入计算即可．
【解答】解：原式=+
=+
=，
当x=8时，
原式=
=
=．
【点评】本题主要考查分式的化简求值能力，分式的混合运算需特别注意运算顺序及符号的处理，也需要对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握．
20．已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣1）、B（1，5）、C（﹣1，﹣3）三点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）用配方法把这个函数的解析式化为y=a（x+m）2+k的形式．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的三种形式．
【专题】计算题．
【分析】（1）设一般式y=ax2+bx+c，然后把点A、B、C三点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c的值即可得到抛物线解析式；
（2）利用配方法把一般式化为顶点式即可．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
根据题意得，解得，
所以抛物线的解析式为y=2x2+4x﹣1；
（2）y=2x2+4x﹣1=2（x2+2x+1﹣1）﹣1=2（x+1）2﹣3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
21．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sinB=，tanA=，BC=2，求边AB的长和cos∠CDB的值．
【考点】解直角三角形．
【分析】CE⊥AB于点E，分别解RT△BCE、RT△ACE求得BE、CE及AE的长，可得AB；根据中线结合BD的长可得DE，在RT△CDE中由勾股定理可得CD，继而计算得cos∠CDB．
【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，
在RT△BCE中，∵BC=2，sinB=，
∴CE=BC•sinB=2×=2，
∴BE===2，
在RT△ACE中，∵tanA=，
∴AE===4，
∴AB=AE+BE=4+2=6，
∵CD是边AB上的中线，
∴BD=AB=3，
∴DE=BD﹣BE=1，
在RT△CDE中，∵CD===，
∴cos∠CDB===．
故边AB的长为6，cos∠CDB=．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的能力，构建直角三角形是解题的前提，依据三角函数、勾股定理解直角三角形求出所需线段的长是解题的关键．
22．社区敬老院需要600个环保包装盒，原计划由初三（1）班全体同学制作完成．但在实际制作时，有10名同学因为参加学校跳绳比赛而没有参加制作．这样，该班实际参加制作的同学人均制作的数量比原计划多5个，那么这个班级共有多少名同学？
【考点】分式方程的应用．
【分析】设该班级共有x名同学，根据实际每个学生做的个数﹣原计划制作的个数=5，可列出关于x的分式方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：设该班级共有x名同学，
依题意得﹣=5，
解得：x=40，或x=﹣30（舍去）．
检验：将x=40代入原方程，方程左边=20﹣15=5=右边，
故x=40是原方程的解．
答：这个班级共有40名同学．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是根据数量关系列出关于x的分式方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程是关键．
23．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E、F为对角线BD上两点，且BE=DF，AF∥EC．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）延长AF，交边DC于点G，交边BC的延长线于点H，求证：AD•DC=BH•DG．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）通过证明△ABF≌△CDE得到AB=CD，加上AB∥CD，则可判断四边形ABCD是平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质得AD=BC，AD∥BC，再证明△CHG∽△DAG，利用相似比得到=，然后利用比例的性质和等线段代换即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AF∥EC，
∴∠AFB=∠CED，
∵BE=DF，
∴BE+EF=DF+EF，
即BF=DE，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE，
∴AB=CD，
而AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵CH∥AD，
∴△CHG∽△DAG，
∴=，
∴=，
即=，
∴AD•DC=BH•DG．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：两个三角形相似对应角相等，对应边的比相等．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．解决本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2．
（1）求直线AB的表达式；
（2）反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB时，求k1的值；
（3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=的图象于点F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE时，请直接写出满足条件的所有k2的值．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）先通过解直角三角形求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（2）作DE∥OA，根据题意得出==，求得DE=，即D的横坐标为，代入AB的解析式求得纵坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得k1；
（3）根据勾股定理求得AB、OE，进一步求得BE，然后根据相似三角形的性质求得EF的长，从而求得FM的长，得出F的坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得k2．
【解答】解：（1）∵B（0，m）（m＞0），
∴OB=m，
∵tan∠BAO==2，
∴OA=，
∴A（，0），
设直线AB的解析式为y=kx+m，
代入A（，0）得，0=k+m，
解得k=﹣2，
∴直线AB的解析式为y=﹣2x+m；
（2）如图1，∵AD=2DB，
∴=，
作DE∥OA，
∴==，
∴DE=OA==，
∴D的横坐标为，
代入y=﹣2x+m得，y=﹣+m=，
∴D（，），
∴k1=×=；
（3）如图2，∵A（，0），B（0，m），
∴E（，），AB==m，
∴OE==m，BE=m，
∵EM⊥x轴，
∴F的横坐标为，
∵△OEF∽△OBE，
∴=，
∴=，
∴EF=m，
∴FM=﹣m=m．
∴F（m， m），
∴k2=×=．
【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的性质以及勾股定理的应用，求得关键点的坐标是解题的关键．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2．点D、E分别在边BC、AB上，ED⊥BC，以AE为半径的⊙A交DE的延长线于点F．
（1）当D为边BC中点时（如图1），求弦EF的长；
（2）设，EF=y，求y关于x的函数解析式及定义域；（不用写出定义域）；
（3）若DE过△ABC的重心，分别联结BF、AF、CE，当∠AFB=90°时（如图2），求的值．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）如图1中，作AM⊥DF于M，只要证明△AEM≌△BED得ME=DE，再根据中位线定理、垂径定理即可解决．
（2）先证明四边形AMDC是矩形，再利用=即可解决问题．
（3））如图2中，因为点O是重心，所以AM、CN是中线，设DM=a，CD=2a，则BM=CM=3a，利用（2）的结论先求出ED、EF，由△BDE∽△FDB得=可以求出a，再求出AB、CE即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，作AM⊥DF于M．
∵AM⊥EF，
∴FM=ME，
∵DE⊥BC，
∴∠BDE=∠C=∠AME=90°，
∴AM∥BC，AC∥DF，
∵BD=DC，
∴BE=AE，
∴ED=AC=1，
在△AEM和△BED中，
，
∴△AEM≌△BED，
∴ME=ED=1，
∴EF=2ME=2．
（2）如图1中，∵ =x，
∴=1﹣x，
∵ED∥AC，
∴=，
∴DE=2（1﹣x），
∵AM∥CD，AC∥DM，
∴四边形AMDC是平行四边形，
∵∠C=90°，
∴四边形AMDC是矩形，
∴AM=CD，
∵=，
∴==，
∴=，
∴y=4x．
（3）如图2中，∵点O是重心，
∴AM、CN是中线，
∴BN=AN，BM=MC，
∵MN∥AC，MN=AC，
∴=，设DM=a，CD=2a，则BM=CM=3a，
由（2）可知x===，
∴EF=4y=，
∵===，
∴ED=，DF=，
∵DF∥AC，
∴∠FEA=∠EAC，
∵AE=AF，
∴∠AFE=∠AEF，
∴∠EAC=∠AFE，
∵∠AFE+∠BFE=90°，∠EAC+∠ABC=90°，
∴∠BFD=∠EBD，∵∠BDE=∠BDF，
∴△BDE∽△FDB，
∴=，
∴=，
∴a=（负根以及舍弃）．
∴BC=6a=2，
在RT△ABC中，AB===2，
在RT△ECD中，EC===，
∴==．
【点评】本题考查圆的有关知识、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、重心的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，知道重心把中线线段分成1：2两部分，属于中考压轴题．
