7．1电子的自旋
许多实验事实都证明电子具有自旋。下面叙述的斯特恩革拉赫（Stern—Gertach）实验就是其中的一个，实验示意图如下：
在上图中，K为基态氢原子源，氢原子自K射受狭缝BB的控制而成为扁平细束，然后通过不均匀磁场而射到照相底片PP上，实验结果是照相底片上出现两条分列的线。这说明了两个问题：（a）氢原子具有磁矩。由于实验中的氢原子处于基态（IS态），角量子数=0,即轨道角动量为零。而由第二章习题15可知，轨道磁矩为：
（7.1-1）
所以轨道磁矩也为零；同时原子核（质子）的固有磁矩应很小，所以氢原子中的电子具有固有磁矩，即自旋磁矩。
（6）电子的自旋矩在磁场中只有两种取向，也就是说是空间取向量子化的。如果没电子的自旋磁矩为 ，处磁场 同子轴正方向，则基态氢在处磁场中的势能为：
风基态氢原子在沿子轴方向所受的力为：
如果可取任何方向，则cosθ应当可能从+1到-1到连续变化，在照相底片上应该得到一条连续的带，但实验结果只有两条分立的线，时京应于cosθ=+1和-1，可见的空间取向是量子化的。
应用分辨率较高的分光镜或摄谱仪可以观察到钠原子光谱中2P→1S的谱线是由两条靠得很近的谱线组成的;其他原子光谱中也存在双重线或多重线结构，这种结构称为光谱线的精细结构，只有考虑了电子 的自旋，光谱线的精细结构才能得到解释。
鸟伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱（Goudsmit）为了解释上述现象，在1925年提出了下面的假设：
（1）每个电子具有旋角动量，它在任何方向（z轴）上的投影只能取两个值：
（7.1-2）
（2）每个电子具有自旋磁矩，它和的关系是：
=— （7.1-3）
其中-e为电子的电荷，m为电子的质量。在任何方向（z轴）上的投影只能取两个值：
（7.1-4）
其中MB为玻尔磁子。
根椐上述假设，电子的自旋磁矩与自旋角动量之比即电子自旋的回转磁比率为：
（7.1-5）
在（7.1-1）式中，为电子相对于原子核运动的轨道角动量，u为折合质量。但M≈m所以由（7.1-1）式得到电子轨道运动的回转磁比率为：
（7.1-6）
可见电子的自旋回转磁比率等于电子轨道运动回转磁比率的两倍。
7.2 角动量
在上一节中已看到，电子具有自旋角动量而且空间取向是量子化的。对于轨道角动量，设的本征值为，不能连续变化，所以轨道角动量的空间取向也是量子化的。除电子外，其他粒子也可能具有自旋角动量。粒子的自旋角动量也是一个力学量，在量子力学中应该象其他力学量一样也用一个算符来表示，设以表示。我们希望将轨道角动量算符推广为一般角动量算符，使既能代表，也能代表。轨道角动量算符最初是根据来定义的，但自旋角动量算符不可能表示为的形式，这是因为自旋角动量只是粒子内部状态的表征，而与粒子的位置和动量无关之故。为了获得一般角动量算符的性质，可以把轨道角动量算符的对易关系推广为一般角动量算符的对易关系。由§3.2可知，轨道角动量算符的基本对易关系由（3.2-15）式或（3.2-16）式给出，即
（7.2-1）
则一般角动量算符也应满足同样的对易关系，即
（7.2-2）
上式可作为角动量算符的定义式，即凡是满足上式的就称为角动量算符。应为密算符。令：
， （7.2-3）
则对应于（3.2-17）式，（3.2-18）式的对易关系为：
（7.2-4）
（7.2-5）
（7.2-6）
根据（7.2-2）式不难证明以上三式，其证明从略。
由（7.2-6）式可知，与是对易的，所以它们存在构成完备系的共同本征函数。设与的共同本征态为|jm〉，则
（7.2-7）
其中，j(j+1)h2和mh分别为和的本征值，且j≥0。不妨设| jm〉已归一化，即〈jm|jm〉=1。下面讨论j与m的可能值以及作用于| jm〉的性质，由（7.2-6）式可得：，则
由上式可知，若存在（即不为零），则也是的本征态，其本征值也为j(j+1)h2。由（7.2-5）式得：，则
由上式可知，若存在，则是对应本征值（m+1）h的本征态，是对应本征值（m-1）h的本征态。可见，与在态中的本征值与在之间只能相差一个常数因子，即
（7.2-8）
（7.2-9）
≥0
在（7.2-8）式中，C+≠0而|jm〉≠0而C+=0，由于上式中不论|jm〉是否存在都已取代〈jm+1|jm+1〉=1，所以当C+=0时实际上所表示的是|jm〉=0，即当C+=0时将表示|jm〉与|jm〉都不存在。在任意标积中有：
=
则得：
=≥0 （ 7.2-10）
设当j确定后m的最大值为mmax，由上式可知：
mmax=j （7.2-11）
在（7.2-10）式中取C+为实数得：
将上式代入（7.2-8）式得：
（7.2-12）
同理，从（7.2-9）式出发，由类似的推导可得：
≥0 （7.2-13）
设当j确定后m的最小值为mmin，由上式可知：
mmin=-j （7.2-14）
从（7.2-13）式求出代入（7.2-9）式可得：
（7.2-15）
（7.2-12）式与（7.2-15）式反映了作用于|jm〉态的性质。的作用使态中的m变为m+1，所以被称为升算符，的作用使态中m变为m-1，所以被称为降算符。从|jmmin〉出发经过的多次作用应能得到|jmmax〉，从|jmmax〉出发经过的多次作用应能得到|jmmin〉，所以（mmax－mmin）等于整数，即：2j=0，1，2，……
则得：
（7.2-16）
利用（7.2-12）式与（7.2-15）式可求出J2、Jz的共同表象中与的矩阵表示，其矩阵元的表示式为：
=
（7.2-17）
=
（7.2-18）
当时，，与m都只能取两个值，而只有当时才可能不为零，所以在与相乘的因子中可取；同理，在与相乘的因子中可取，则（7.2-17）式与（7.2-18）式化为：
而
矩阵的行角标与列角标m通常都采用由大到小的排序，即排序为，则在Jz表象中可得：
（7.2-19）
7.3自旋算符
1、自旋算符及其矩阵表示
在上一节中讨论了一般角动量算符的性质。在这一节中以，S，mS分别代替上一节中的，j，m，其中为自旋角动量算符，S（S+1）h2为的本征值，为的本征值。S称为自旋量子数，S=0，，1，……；mS称为自旋磁量子数。自旋为零（即S=0）的粒子有α粒子，п介子等。自旋为（即）的粒子有电子、质子、中子等。自旋为1（S=1）的粒子有光子，P介子等……。下面只讨论自旋为的粒子。设
（7.3-1）
其中称为自旋算符。根据（7.2-2）式与（7.2-6）式可得：
（7.3-2）
（7.3-3）
由上一节可知，当S=时，（以及，）的本征值只能为[这与乌伦贝克——哥德斯密脱关于电子自旋的假设是一致的]。所以（以及，）的本征值只能为1。
以代替后，（7.2-19）式便是自旋角动量算符，，在SZ表象中的矩阵表示，则自旋算符，，在SZ表象中的矩阵表示为：
，， （7.3-4）
这三个矩阵称为泡利（Pauli）自旋矩阵。定义算符（或其矩阵表示），的反对易括号为：
（7.3-5）
若，即，则称与反对易。根据（7.3-4）式可证：
（7.3-6）
上式又可合写为：
（7.3-7）
算符与矩阵具有相同的性质（与也没有必要严格区分开来），即
（7.3-8）
因，则
，
将（7.3-2）式与（7.3-8）式相加再除以2得；
（7.3-9）
由上式可得：
（7.3-10）
2、在自身表象中的本征函数
当时，由§4.1“4”的讨论可知，在自身表象中（）对应本征值的本征函数为，为函数表示，其对应的矩阵表示为：
（7.3-11）
求解矩阵 的本征方程同样可得到上式。
3、与的共同表象
（以及）为自旋空间中的算符。通常采用SZ表象中的矩阵表示。Sz表象为分立谱表象，当时，的各分量在Sz表象中用二行二列的矩阵表示。当采用矩阵表示时，可将改写为。将自旋空间的一般算符记为，可展开为的泰勒级数，所以在Sz表象中也将用二行二列的矩阵表示。以及▽等为位置空间中的算符。位置空间也就是的自身表象空间。表象为连续谱表象，将表象中的一般算符记为（），（）通常采用算符表示。与总是对易的。
在与的共同表象中，自旋空间中的一般算符应改写为，其中为表象中的单位算符，但通常可省去不写，即=1。表象中的一般算符，其中为Sz表象中的单位算符，由于自旋空间中的算符采用矩阵表示，所以也应采用矩阵表示，当时，为二行二列的单位矩阵，使得化为。通常中的也可省去不写，只要将理解为即可。在与的共同表象中，一般算符可记为，可代表，，，（其中，为绕单位矢量的旋转角）等。当时，可用二行二列的矩阵表示。即
（7.3-12）
例如：
7.4 自旋为的粒子的波函数
在与的共同表象中，粒子具有位置坐标x、y、z和自旋坐标Sz四个变量（粒子具有四个自由度），所以粒子的波函数应表示为：
（7.4-1）
可对的本征函数组展开，当的本征函数采用矩阵表示时，展开式为：
=
= （7.4-2）
对归一化时，必须同时对自旋空间求和和对位置空间积分，即归一化条件为：
= （7.4-3）
其中dI为位置空间的体积元。由归一化波函数所得到的几率密度为：
W表示在t时刻在（x，y，z）点处单位体积内找到粒子的几率。而W1和W2分别表示在t时刻在（x，y，z）点处单位体积内找到和的粒子的几率。将W1和W2对整个位置空间积分后就得到在整个位置空间找到或的几率。
由（7.4-2）式可知，不含时的定态波函数可写为：
（7.4-5）
如果体系的哈密顿算符可以写为的形式，其中只与有关，而只是的函数，则对应的定态 定谔方程可以用分离变量法求解：
（7.4-6）
其中X(Sz)称为自旋波函数。将上式中的与（7.4-5）式比较，相当于：
（7.4-7）
其中C1、C2为常数。可见与除相差一个常数因子外，其函数形式是相同的。上式中X的表示式可视为对的本征函数组的展开式[自旋波函数也可以对或的本征函数组展开，这时，自旋空间中的变量应改为或]。如果ψ在位置空间是归一化的，则由的归一化条件得：
（7.4-8）
ψ与X应满足（7.4-6）式。在一般情况下，粒子的自旋运动和轨道运动之间有相互作用，不能表示为的形式，这时，与将是x、y、z的不同函数。
在与SZ的共同表象中，任意算符都可用（7.3-12）表示，即：，作表象变换时应注意使与的作用对象处在同一表象之中。如果（7.4-2）式中的、是对或的本征函数组的开系数，则也应采用在或表象中的矩阵表示。同理，算符、、、与、也应处在同一表象之中，例如可同处在表象或同处在表象之中。算符在已归一化态中对自旋水平均的结果为：
= （7.4-9）
算符在已归一化态中对应的平均值为：
（7.4-10）
7.5 带电粒子在电磁场中的运动
1、最小电磁作用原理
由电动力学可知，如果在加入电磁场之前，粒子的动量为，能量为E，则在加入电磁场之后，应以（）代替，E应以（E-QAO）代替，即
， （7.5-1）
其中Q为粒子所带的电荷。AO为电磁场的标势，为电磁场的矢势。上式称为最小电磁作用原理，也称为最小电磁合原理[参看：曹昌琪，电动力学，§6.8 ]。电场强度和磁感应强度与A0和之间的关系为：
（7.5-2）
在量子力学中，设粒子的波函数为（，t），是最小电磁作用原理化为：
（7.5-3）
上式中的第一式可改写为：
（7.5-4）
上式取转置共轭得：
（7.5-5）
2、在薛定谔方程中引进自旋算符
在前面几章中，从薛定谔方程出发成功地解释了许多微观现象，但由于薛定谔方程中没有把粒子的自旋包含进去，所以不能解释与粒子自旋有关的现象，因此有必要在薛定谔方程中引进自旋算符。
设带电荷为Q质量为u的粒子在势场U（，t）中运动，则薛定谔方程为：
（7.5-6）
将此体系置于电磁场中，根据最小电磁作用原理（7.5-3）式得：
（7.5-7）
由于薛定谔方程没有把粒子的自旋包含进去，所以上方程只适用于自旋为零的粒子或者只适用于不考虑自旋的情况。对于电子，Q=-e。由（7.1-3）式可知，电子具有自旋磁矩，在=中应具有势能UB，
（7.5-8）
在（7.5-7）式中加入势能算符得：
（7.5-9）
上方程称为泡利方程。由于为二行二列的矩阵，所以上式中括号内的前三项应视为都含有二行二列的单位矩阵因子，应为具有两个元素的列矩阵。显然在上式中已引进了自旋算符。这种在薛定谔方程的势能算符中引进自旋算符的方法（例如引进自旋轨道稻合项等）是一种常用的方法。但对于带电粒子在电磁场中的运动，这种引进自旋算符的方法并不理想，这是因为：最小电磁作用原理已基于上被公认为是一种普适性原理，既然是看法性原理，则势能应该在应用最小电磁作用原理时自动出现。注意到（7.3-9）式可得：
=
上式中，对角标ij是反对称的，即；而对角标ij是对称的，即，所以，则得：
（7.5-10）
则（7.5-6）式可改写为：
（7.5-11）
上式相当于在薛定谔方程的动能算符中引进了自旋算符，上式中的也应为具有两个元素的列矩阵。对于电子，在加入电磁场之后，应用最小电磁作用原理得：
（7.5-12）
=
而
=
则（7.5-12）式化为（7.5-9）式。可见在（7.5-12）式能自动出现势能项。根据（7.5-11）式求得速度算符[见（3.5-3）式]和连续性方程为：
（7.5-13）
（7.5-14）
在加入电磁场之后，根据最小电磁作用原理可得：
（7.5-15）
（7.5-16）
对于电子，上两式中的Q=-e。上两式也可根据（7.5-9）式直接推出，其推导从略。
3、简单塞曼（Zeeman）效应
简单塞曼效应是指原子光谱线在较强的均匀外磁场中所产生的谱线现象，而复杂塞曼效应则是原子光谱线在较弱的均匀外磁场中所产生的谱给现象，下面只讨论简单塞曼效应。考虑氢原子或类氢原子（碱金属原子），这类原子可视为由一个价电子与一个原子实构成。由于原子核的质量比电子的质量大得多，所以在质心坐标系中可近似地将原子核视为位于质心位置，则只要考虑价电子在一固定势场中运动即可。原子实中各电子的自旋角动量之和和轨道动量之和都可视为零，则未加入外磁场时，价电子的势能可写为下述三项之和：
（1）价电子的电荷与原子实的电荷相互作用的电势能U（r）。对于氢原子，U（r）为点电荷之间的库仑势能。对于其他类氢原子，U（r）也近似地为有心力场，但由于原子实中电子的几率分布总有一部分处在价电子位置的半径之外，使得U（r）不能表示为点电荷之间库仑势能的形式。
（2）价电子的自旋磁矩与价电子的轨道磁矩的相互作用能。位于处，而可视为位于质心处。可表示为：
（7.5-17）
其中，为真空中的磁导率，光速，，q为半径为r的球内的电荷总量。对于氢原子，q=1。对于类氢离子，q=Z。对于类氢原子（包括氢原子），注意到：，而根据高斯（Gauss）定理得：，则得：
（7.5-18）
称为自旋轨道耦合项。当讨论原子光谱的精细结构以及讨论复杂塞曼效应时应考虑项。对于简单塞曼效应，与较强外磁场所引起的附加能量比较也可以忽略不计。
（3）价电子的自旋磁柜和轨道磁矩与原子核磁矩的相互作用能项。通常电子可视为点电荷，而原子核只能近似地视为点电荷，当考虑原子核中的电荷分布时，对原子光谱的超精细结构也有影响。
在上述三项中，当讨论简单塞曼效应时，只要考虑U（r）一项即可。对于沿z轴正方向的均匀磁场，可选取：
，，，AO=0 （7.5-19）
在（7.5-9）式中，当U=U（r）时，得定态薛定谔方程为：
（7.5-20）
=
=
则得：
上式中，。在原子中，（）的数量级为原子半径的平方，对于一般的强磁场而不是特别强的磁场而言，上式哈密顿算符中的最后一项与第三项比较是很小的，忽略这一项得：
（7.5-21）
上式中的哈密顿算符与、、彼此对易，所以它们有构成完备系的共同本征函数，因此可设：
（7.5-22）
其中，是与的共同本征函数。是对应本征值的本征函数，。将上式代入（7.5-21）式得径向方程为：
=ER（r） （7.5-33）
令：
（7.5-34）
则得：
（7.5-25）
上式相当于没有外磁场时的径向方程。讨论塞曼效应时只需考虑束缚态。对于氢原子，束缚态能量，其中n为主量子数。注意到（7.5-22）式中的mS可取两个值，所以能级En的简并度为2n2。对于类氢原子（碱金属原子），束缚态能量，其中n为径向量子数，能级的简并度为2。将代入（7.5-24）式求出E得：
（7.5-26）
由上式可知，原来不同的m与不同的ms对应同一能量的简并现象被外磁场清除。此外，由于存在外磁场，使能量与mS有关。对于处在基态的氢原子，，m=0，原来的能级在外磁场中为两个能级，所以可解释斯特恩——革位赫实验。当类氢原子在磁场中由一个能级跃适到另一个能级且保持自旋状态不变时[在电偶极跃迁中，与自旋无关，所以自旋状态必保持不变]，其谱线对应的角频率为：
（7.5-27）
W0是没有外磁场时的跃迁角频率。由§5.9可知，电偶极跃迁时△m的选择定则为：
所以W可以取三个值：
， （7.5-28）
可见在没有外磁场时的一条谱线在较强的均匀外磁场中将为三条，这就是简单塞曼效应。
7.6两个角动量的相加
两个角动量的相加也称为两个角动量的耦合。设：
（7.6-1）
其中可以是一个粒子的轨道角动量和自旋角动量，也 以是两个粒子的轨道角动量或两个粒子的自旋角动量等。是彼此的，因而的各分量是对易的，则
= （7.6-2）
所以也是角动量。算符、、是彼此对易的。其中明显对易的有：和对易，与对易，与、对易。因为，所以与，也是对易的。则，，，存在共同的本征态，设为。在态中，，，，的本征值分别为、、mh。当j确定后，m可取-j，-j+1，……，j共（2j+1）个值。另一方面，算符、、，也是对易的，它们也存在共同的本征态，设为。都构成完备系，以为基组的表象称为耦合表象，以为基组的表象称为无耦合表象。
下面讨论m与m1、m2的关系以及j与j1、j2的关系。由可知m的可能值为：
（7.6-3）
当确定后，j的取值应该是可变的，的最大值分别为，而j的最大值应等于m的最大值，所以得：
（7.6-4）
由（7.6-3）式得：。当确定后，与都只能为整数，所以也只能为整数，推知也只能为整数。可见当（）为正整数时，j也只能为正整数；当（）为正的半奇数时，j也只能为正的半奇烽。当确定后，基矢的个数应等于基矢的个数。m1可取（）个值，m2可取（）个值，所以基矢共有（）（）个，而基矢的个数应为：
=
则得：
（7.6-5）
可见当确定后，j的可能取值为：
（7.6-6）
若将（7.6-1）式改为，也同样可得到上式。在一个三角形中，当两条边的长度确定后，另一边的最大可能值为这两边之和，而最小值为这两边差的绝对值，所以所满足的（7.6-6）式称为三角形关系，通常以表示，如下图所示：
基组中的每一个基矢都可以对基组展开：
（7.6-7）
其中
（7.6-8）
（7.6-7）式的左边含有量子数，所以在（7.6-7）式右边出现的以及是确定的，则在（7.6-7）式右边只能对m1（或m2）求和。可见在以及确定后的完备性条件为：
（7.6-9）
在（7.6-8）中，与都具有选定的相因子，以使得为确定后的实数。称为两个角动量的矢量耦合系数或称为克来布希——高登（Clebsch-Gordon）系数，简称为C-G系数。因为实数，则由（7.6-8）式的转置共轭得：
（7.6-10）
基组中的每一个基矢也都可以对基组展开，注意到上式得：
， （7.6-11）
在确定后的完备性条件为：
（7.6-12）
当确定后，基组的正交归一条件为：
，
在上式中插入完备性条件（7.6-12）式得：
， （7.6-13）
同理，当j1，j2与m确定后，基组的正交归一条件为：
在上式中插入完备性条件（7.6-9）式得：
（7.6-14）
（7.6-13）式与（.6-14）式反映了C-G系数的正交归一性。如果只有是确定的，则可视为（2j1+1）阶正交矩阵（实系正矩阵）C的第jm行第m1m2列矩阵元，，C的各行及各列都满足正交归一条件。
C-G系数的表示式的推导比较复杂[参看：Morton Hamermesh，“群论及其在物理问题中的应用”，第九章]，只将结果写出如下：
（7.6-15）
在上工中的求和号内，整数V的取值只限于使求和项内所有阶乘符号里的数不为负数。上式只有在以及满足三角形关系时，C-G系数才不为零。根据上式可推知C-G系数的对称性质，例如：
（7.6-16）
由（7.6-7）式可知，求C-G系数后，便可根据基组求出，，，的共同本征态。例如：当时，j可取和两个值；由可知，m1可取和两个值，利用（7.6-15）式求出C-G系数后再代入（7.6-7）式得：
（ 7.6-17）
如果为电子的自旋角动量（），为电子的轨道角动量（），则在与的共同表象中，化为，以表示（角标省去不写），则（7.6-17）式化为：
（7.6-18）
上式中，由（2.12-18）式给出，中的归一化系数由（2.12-30）式给出，中的相因子是确定的。
7.7 原子光谱的精细结构
考虑类氢原子或类氢离子，将原子核视为位于质心位置，当不考虑电子的自旋时，类氢原子或类氢离子可视为一个电子在有心力场中运动，势能为U（r）。随着量子力学由非相对论量子力学到相对论量子力学再到量子电动力学的发展，描写电子状态的精确程度也不断提高。在相对论量子力学中，描写的粒子的波动方程是狄拉克（Dirac）方程（其介绍从略）。对于在有心力场中运动的粒子，当狄拉克方程过渡到非相对论极限时，如果不考虑动能算符的相对论修正项，则可得定态薛定谔方程为：
（7.7-1）
上式中，与是势能算符中两个主要的相对论修正项。与的数量级基本相同。其中只与r有关，所以可将作为一般有心力场处理。为自旋轨道耦合项。（7.5-18）式中的表示式与上式中的表示式相同。上式中，哈密顿算符中的前三项与、对易，但中的最后一项与、不对易，则当时，在的本征态中，测量力学量Lz和Sz都不可能有确定值，或者说这时和都不是好量子数。由得：
，而
则得：
（7.7-2）
根据上式很易看出，彼此对易而可构成力学量的完全集合，则都是好量子数。
考虑束缚态，设（7.7-1）式中的为的共同本征态：
（7.7-3）
其中为径向量子数，为角动量耦合表象中的共同本征态。将上式代入（7.7-1）式并注意到（7.7-2）式得约化径向方程为：
（7.7-4）
由于径向方程无简并，所以上方程可以用非简并定态微扰论方法求解。令：
（7.7-5）
可视为微扰，在（7.7-4）工中去掉微扰项得：
（7.7-6）
上式中的也可视为微扰，但由于可视为一般有心力场而没有将作为微扰项处理。设由上方程求出的零级近似能量和零级近似径向波函数为：
（7.7-7）
只考虑能量的一级修正项时得：
（7.7-8）
对于类氢离子，，因为（7.7-6）式中的是小项，所以可近似地由（2.13-16）式给出，则可得：
（7.7-9）
上式中，为主量子数；为第一玻尔轨道半径；称为精细结构常数。由（7.7-8）式与（7.7-3）式可知，能量与m无关，而对应的本征池数与m有关，所以能级的简并度为（2j+1）。如果不考虑自旋轨道耦合项，则能级只与有关，考虑自旋轨道耦合项后，则能级与有关。当确定后，若，则j可取两个值：，即具有相同量子数，l的能级有两个，这两个能级相差很小，这就是产生原子光谱线精细结构的原因。此外，对类氢离子，可改写为，当n确定后，j可取, ,……，共n个值。这n条能级也相差很小。
对于除氢原子外的类氢原子，在非相对论量子力学中，当不考虑电子自旋时，求解束缚态径向方程将只出现径向量子数而不可能自动出现主量子数n，但仍可定义主量子数，使得仍可记为，也仍可记为。一般以表示n=3，l=1（p）项，的能级，p的左上角的2表示属于二重线的项。其他能级也都有类似的表示方法。
习题
1．当l=1时，求在表象中与的矩阵表示。
2．求在自然态中的测不准关系
3．根据泡利自旋矩阵求与的本征值及对应的本征函数。
4．求证：。其中和是与对易的矢量算符。
5．求证：
6．求电子的自旋角动量在单位矢量方向上投影的本征值和在表象中对应的本征函数，并求在这些本征态中测量的可能值及其几率。如果电子处在态中，求出该态中测量自旋角动量在方向上投影的可能值及其几率。
7．设在与表象中，电子在库仑势场中所处的状态为：
求总磁矩的平均值（用玻尔磁子表示）。
8．当坐标系绕单位矢量旋转角时，电子自旋波函数的变换算符为，试就下述三种情况求的矩阵表示U。
（1）沿方向
（2）绕z轴旋转r角，然后绕y轴旋转角，再绕z轴旋转角。
（3）将z轴转到单位矢量方向，在原坐标系中，沿方向。
9．求在下列状态中算符与的本征值
（1）
（2）
10．求证：
（1）当时，
（2）当时，
11.是彼此的自旋矢量算符，它们的自旋量子数都为1。设体系的哈密顿算符为：
求体系的能给及简并度。
12．试证明在存在磁场的情况下，带电荷 为Q的粒子的速度分量算符满足下述的对易关系：
13．电子在均匀磁场中运动，求能级。
14．带电荷为-e的电子在磁场中运动，随时间t的变化关系为：
其中为常量。设t=0时，自旋角动量在磁场方向上的分量为，求在t时刻测得自旋角动量在磁场方向上的分量为-的几率。下载本文
