］及参
一、填空题（每小题3分，共36分）
1. 1 .
2.函数由方程确定，则 .
3.设函数，则它在点处的方向导数的最大值为.
4.设函数在点处取得极值，则常数.
5.空间曲线在点处的切线方程为 .
6.改变积分次序： .
7.设平面曲线为下半圆周，则 .
8.设为曲面在的部分，则 .
9.设则其以为周期的傅里叶级数在处收敛于 .
10.设是微分方程的三个不同的解，且常数，则微分方程的通解为 .
11.函数展开为的幂级数的形式为.
12.微分方程的通解为 .
二、计算下列各题（每小题6分，共18分）
1.设，，其中均为一阶可微函数，求.
解：
2.求曲面与平面所围立体的体积.
解：所围立体在面的投影域，所围立体的体积
3.在曲面上第一卦限部分求一点，使该点的切平面与已知平面平行.
解：设曲面在第一卦限的切点的坐标为，令
，
则切平面的法向量
,
已知平面的法向量
依题意，即
代入曲面方程中解的，即切点坐标为.
三、计算下列各题（每小题6分，共18分）
1.设是由锥面与半球面围成的空间区域，是的整个边界的外侧，求曲面积分.
解：已知，，，由高斯公式有
2.写出级数的通项，判别该级数的敛散性.若级数收敛时，试求其和.
解：该数项级数的通项为；级数为正项级数，由于
，
由比值审敛法知该级数收敛.令
，
则
，
于是
，
又
，
所以
，
于是
.
3.求微分方程的通解.
解：微分方程对应的齐次线性微分方程的特征方程的特征根为，的为特征方程的单根，则原方程的特解为，代入原方程中得,齐次线性微分方程的通解为,所以原方程的通解为
.
四、计算下列各题（每小题6分，共18分）
1.求函数的极值.
解：由于，，令得驻点
又，，，及，
则点位极大值点，极大值为
.
2.求幂级数的收敛半径及收敛域.
解：令，则，由于
，
则收敛半径.又当时，级数收敛，当时，级数发散，所以，即级数的收敛域为.
3.设，其中具有二阶偏导数，求.
解： ，
五、（本题5分）求函数在椭圆域上的最大值和最小值.
解：由于，，令在内求得驻点.
在的边界上，设
，
得
当，由（1）得，代入（2）得，在代入（3）得；同理当得；由于
， ， ，
所以最大值为，最小值为.
六、（本题5分）设在上半平面内，函数具有连续偏导数，且对任意的都有，证明对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线，都有.
解：由格林公式，对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线，.
（*）
由于函数具有连续偏导数，且对任意的都有，即
上式两端对求导有
特取得
由（*）式既有下载本文
