一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（ ）
A．M∩N=∅ B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R
2．（5分）已知函数y=ex的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（ ）
A．f（2x）=e2x（x∈R） B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）
C．f（2x）=2ex（x∈R） D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）
3．（5分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（ ）
A． B．﹣4 C．4 D．
4．（5分）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
5．（5分）函数的单调增区间为（ ）
A． B．（kπ，（k+1）π），k∈Z
C． D．
6．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）
A．16π B．20π C．24π D．32π
8．（5分）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．3
9．（5分）设平面向量1、2、3的和1+2+3=0．如果向量1、2、3，满足|i|=2|i|，且i顺时针旋转30°后与i同向，其中i=1，2，3，则（ ）
A．﹣1+2+3=0 B．1﹣2+3=0 C．1+2﹣3=0 D．1+2+3=0
10．（5分）设{an}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（ ）
A．120 B．105 C．90 D．75
11．（5分）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（ ）
A． B． C． D．20cm2
12．（5分）设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）
A．50种 B．49种 C．48种 D．47种
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于 °．
14．（4分）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为 ．
15．（4分）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有 种（用数字作答）．
16．（4分）设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ= ．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．
18．（12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为．
（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；
（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．
19．（12分）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．
（Ⅰ）证明AC⊥NB；
（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量．求：
（Ⅰ）点M的轨迹方程；
（Ⅱ）的最小值．
21．（14分）已知函数．
（Ⅰ）设a＞0，讨论y=f（x）的单调性；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范围．
22．（12分）设数列{an}的前n项的和，n=1，2，3，…
（Ⅰ）求首项a1与通项an；
（Ⅱ）设，n=1，2，3，…，证明：．
2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）
参与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（ ）
A．M∩N=∅ B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R
【分析】M、N分别是二次不等式和绝对值不等式的解集，分别解出再求交集合并集．
【解答】解：集合M={x|x2﹣x＜0}={x|0＜x＜1}，N={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，∴M∩N=M，
故选：B．
2．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数y=ex的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（ ）
A．f（2x）=e2x（x∈R） B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）
C．f（2x）=2ex（x∈R） D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）
【分析】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法．
根据函数y=ex的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称可知f（x）是y=ex的反函数，由此可得f（x）的解析式，进而获得f（2x）．
【解答】解：函数y=ex的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，
所以f（x）是y=ex的反函数，即f（x）=lnx，
∴f（2x）=ln2x=lnx+ln2（x＞0），
选D．
3．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（ ）
A． B．﹣4 C．4 D．
【分析】由双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，可求出该双曲线的方程，从而求出m的值．
【解答】解：双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，
∴m＜0，且双曲线方程为，
∴m=，
故选：A．
4．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
【分析】注意到复数a+bi（a∈R，b∈R）为实数的充要条件是b=0
【解答】解：复数（m2+i）（1+mi）=（m2﹣m）+（1+m3）i是实数，
∴1+m3=0，m=﹣1，
选B．
5．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）函数的单调增区间为（ ）
A． B．（kπ，（k+1）π），k∈Z
C． D．
【分析】先利用正切函数的单调性求出函数单调增时x+的范围i，进而求得x的范围．
【解答】解：函数的单调增区间满足，
∴单调增区间为，
故选C
6．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．
【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，
由c=2a，则b=a，
=，
故选B．
7．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）
A．16π B．20π C．24π D．32π
【分析】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积．
【解答】解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，
正四棱柱的对角线长即球的直径为2，
∴球的半径为，球的表面积是24π，
故选C．
8．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．3
【分析】设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，由此能够得到所求距离的最小值．
【解答】解：设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），
该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，
分析可得，当m=时，取得最小值为，
故选B．
9．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设平面向量1、2、3的和1+2+3=0．如果向量1、2、3，满足|i|=2|i|，且i顺时针旋转30°后与i同向，其中i=1，2，3，则（ ）
A．﹣1+2+3=0 B．1﹣2+3=0 C．1+2﹣3=0 D．1+2+3=0
【分析】三个向量的和为零向量，在这三个向量前都乘以相同的系数，我们可以把系数提出公因式，括号中各项的和仍是题目已知中和为零向量的三个向量，当三个向量都按相同的方向和角度旋转时，相对关系不变．
【解答】解：向量1、2、3的和1+2+3=0，
向量1、2、3顺时针旋转30°后与1、2、3同向，
且|i|=2|i|，
∴1+2+3=0，
故选D．
10．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设{an}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（ ）
A．120 B．105 C．90 D．75
【分析】先由等差数列的性质求得a2，再由a1a2a3=80求得d即可．
【解答】解：{an}是公差为正数的等差数列，
∵a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，
∴a2=5，
∴a1a3=（5﹣d）（5+d）=16，
∴d=3，a12=a2+10d=35
∴a11+a12+a13=105
故选B．
11．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（ ）
A． B． C． D．20cm2
【分析】设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10．海式S=≤=故排除C，D，由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，推测当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，进而得到答案．
【解答】解：设三角形的三边分别为a，b，c，
令p=，则p=10．由海式S=
知S=≤=＜20＜3
由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，
∴S＜20＜3．
排除C，D．
由以上不等式推测，当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，此时三边长为7，7，6，用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为7组成三角形，此三角形面积最大，面积为，
故选B．
12．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）
A．50种 B．49种 C．48种 D．47种
【分析】解法一，根据题意，按A、B的元素数目不同，分9种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案；
解法二，根据题意，B中最小的数大于A中最大的数，则集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，按A、B中元素数目这和的情况，分4种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案．
【解答】解：
解法一，若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有C52=10种；
若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C53=10种；
若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C54=5种；
若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有C55=1种；
若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C53=10种；
若集合A中有两个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C54=5种；
若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C55=1种；
若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C54=5种；
若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C55=1种；
若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C55=1种；
总计有49种，选B．
解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，
从5个元素中选出2个元素，有C52=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；
从5个元素中选出3个元素，有C53=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；
从5个元素中选出4个元素，有C54=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；
从5个元素中选出5个元素，有C55=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1=4种方法；
总计为10+20+15+4=49种方法．选B．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于 60 °．
【分析】先根据底面对角线长求出边长，从而求出底面积，再由体积求出正四棱锥的高，求出侧面与底面所成的二面角的平面角的正切值即可．
【解答】解：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，底面边长为2，底面积为12，
所以正四棱锥的高为3，
则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=，
∴二面角等于60°，
故答案为60°
14．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为 11 ．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2y﹣x表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．
【解答】解：，在坐标系中画出图象，
三条线的交点分别是A（0，1），B（7，1），C（3，7），
在△ABC中满足z=2y﹣x的最大值是点C，代入得最大值等于11．
故填：11．
15．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有 2400 种（用数字作答）．
【分析】本题是一个分步计数问题，先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52种排法，其余5人再进行排列，有A55种排法，根据分步计数原理得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，
首先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52=20种排法，
其余5人再进行排列，有A55=120种排法，
∴根据分步计数原理知共有20×120=2400种安排方法．
故答案为：2400
16．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ= ．
【分析】对函数求导结合两角差的正弦公式，代入整理可得，，根据奇函数的性质可得x=0时函数值为0，代入可求φ的值
【解答】解：，
则f（x）+f′（x）=，为奇函数，
令g（x）=f（x）+f′（x），即函数g（x）为奇函数，
g（0）=0⇒2sin（φ）=0，
∵0＜φ＜π，
∴φ=．
故答案为：．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．
【分析】利用三角形中内角和为π，将三角函数变成只含角A，再利用三角函数的二倍角公式将函数化为只含角，利用二次函数的最值求出最大值
【解答】解：由A+B+C=π，得=﹣，
所以有cos=sin．
cosA+2cos=cosA+2sin=1﹣2sin2+2sin
=﹣2（sin﹣）2+
当sin=，即A=时，cosA+2cos取得最大值为
故最大值为
18．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为．
（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；
（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．
【分析】（1）由题意知本题是一个重复试验，根据所给的两种药物对小白鼠有效的概率，计算出小白鼠有效的只数的概率，对两种药物有效的小白鼠进行比较，得到甲类组的概率．
（2）由题意知本试验是一个甲类组的概率不变，实验的条件不变，可以看做是一个重复试验，所以变量服从二项分布，根据二项分布的性质写出分布列和期望．
【解答】解：（1）设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，
Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，
依题意有：P（A1）=2××=，P（A2）=×=．P（B0）=×=，
P（B1）=2××=，所求概率为：
P=P（B0•A1）+P（B0•A2）+P（B1•A2）
=×+×+×=
（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ～B（3，）．
P（ξ=0）=（）3=，
P（ξ=1）=C31××（）2=，
P（ξ=2）=C32×（）2×=，
P（ξ=3）=（）3=
∴ξ的分布列为：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P |
19．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．
（Ⅰ）证明AC⊥NB；
（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．
【分析】（1）欲证AC⊥NB，可先证BN⊥面ACN，根据线面垂直的判定定理只需证AN⊥BN，CN⊥BN即可；
（2）易证N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角，在Rt△NHB中求出此角即可．
【解答】解：（Ⅰ）由已知l2⊥MN，l2⊥l1，MN∩l1=M，可得l2⊥平面ABN．
由已知MN⊥l1，AM=MB=MN，
可知AN=NB且AN⊥NB．
又AN为AC在平面ABN内的射影．
∴AC⊥NB
（Ⅱ）∵AM=MB=MN，MN是它们的公垂线段，
由中垂线的性质可得AN=BN，
∴Rt△CAN≌Rt△CNB，
∴AC=BC，又已知∠ACB=60°，
因此△ABC为正三角形．
∵Rt△ANB≌Rt△CNB，
∴NC=NA=NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，
连接BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角．
在Rt△NHB中，cos∠NBH===．
20．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量．求：
（Ⅰ）点M的轨迹方程；
（Ⅱ）的最小值．
【分析】（1）利用相关点法求轨迹方程，设P（x0，y0），M（x，y），利用点M的坐标来表示点P的坐标，最后根据x0，y0满足C的方程即可求得；
（2）先将用含点M的坐标的函数来表示，再利用基本不等式求此函数的最小值即可．
【解答】解：（I）椭圆方程可写为：+=1式中a＞b＞0，且得a2=4，b2=1，
所以曲线C的方程为：x2+=1（x＞0，y＞0）．y=2（0＜x＜1）y'=﹣
设P（x0，y0），因P在C上，有0＜x0＜1，y0=2，y'|x=x0=﹣，得切线AB的方程为：
y=﹣（x﹣x0）+y0．
设A（x，0）和B（0，y），由切线方程得x=，y=．
由=+得M的坐标为（x，y），由x0，y0满足C的方程，得点M的轨迹方程为：
+=1（x＞1，y＞2）
（Ⅱ）||2=x2+y2，y2==4+，
∴||2=x2﹣1++5≥4+5=9．
且当x2﹣1=，即x=＞1时，上式取等号．
故||的最小值为3．
21．（14分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数．
（Ⅰ）设a＞0，讨论y=f（x）的单调性；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）根据分母不为0得到f（x）的定义域，求出f'（x），利用a的范围得到导函数的正负讨论函数的增减性即可得到f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1即要讨论当0＜a≤2时，当a＞2时，当a≤0时三种情况讨论得到a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞）．对f（x）求导数得f'（x）=e﹣ax．
（ⅰ）当a=2时，f'（x）=e﹣2x，f'（x）在（﹣∞，0），（0，1）和（1，+∞）均大于0，
所以f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）为增函数．
（ⅱ）当0＜a＜2时，f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）为增函数．
（ⅲ）当a＞2时，0＜＜1，令f'（x）=0，
解得x1=，x2=．
当x变化时，f′（x）和f（x）的变化情况如下表：
| x | （1，+∞） | |||
| f′（x） | + | ﹣ | + | + |
| f（x） | ↑ | ↓ | ↑ | ↑ |
（Ⅱ）（ⅰ）当0＜a≤2时，由（Ⅰ）知：对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞f（0）=1．
（ⅱ）当a＞2时，取x0=∈（0，1），则由（Ⅰ）知f（x0）＜f（0）=1
（ⅲ）当a≤0时，对任意x∈（0，1），恒有＞1且e﹣ax≥1，得f（x）=e﹣ax≥＞1．
综上当且仅当a∈（﹣∞，2]时，对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1．
22．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）设数列{an}的前n项的和，n=1，2，3，…
（Ⅰ）求首项a1与通项an；
（Ⅱ）设，n=1，2，3，…，证明：．
【分析】对于（Ⅰ）首先由数列{an}的前n项的和求首项a1与通项an，可先求出Sn﹣1，然后有an=Sn﹣Sn﹣1，公比为4的等比数列，从而求解；
对于（Ⅱ）已知，n=1，2，3，…，将an=4n﹣2n代入Sn=an﹣×2n+1+，n=1，2，3，得Sn=×（4n﹣2n）﹣×2n+1+=×（2n+1﹣1）（2n+1﹣2）
然后再利用求和公式进行求解．
【解答】解：（Ⅰ）由Sn=an﹣×2n+1+，n=1，2，3，①得a1=S1=a1﹣×4+
所以a1=2．
再由①有Sn﹣1=an﹣1﹣×2n+，n=2，3，4，
将①和②相减得：an=Sn﹣Sn﹣1=（an﹣an﹣1）﹣×（2n+1﹣2n），n=2，3，
整理得：an+2n=4（an﹣1+2n﹣1），n=2，3，
因而数列{an+2n}是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，即：an+2n=4×4n﹣1=4n，n=1，2，3，
因而an=4n﹣2n，n=1，2，3，
（Ⅱ）将an=4n﹣2n代入①得Sn=×（4n﹣2n）﹣×2n+1+=×（2n+1﹣1）（2n+1﹣2）
=×（2n+1﹣1）（2n﹣1）
Tn==×=×（﹣）
所以，=﹣）=×（﹣）＜（1﹣）
