第二十一章 一元二次方程 单元检测

一、单选题（共10题；共20分）

1.方程：① ，② ，③ ，④ 中，一元二次方程是（    ）．            

A. ①和②     B. ②和③     C. ③和④      D. ①和③

2.将一元二次方程 x²-8x-5=0化成（x+a）²=b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（   ）            

A. -4，21     B. -4，11     C. 4，21     D. -8，69

3.把一元二次方程（x+3）2＝x（3x﹣1）化成一般形式，正确的是（   ）            

A. 2x2﹣7x﹣9＝0          B. 2x2﹣5x﹣9＝0 

C. 4x2+7x+9＝0                    D. 2x2﹣6x﹣10＝0

4.是方程 的两根， 的值是（   ）            

A. 2017      B. 2018    C. 2019     D. 2020

5.已知 是一元二次方程 的一个根，则m的值为（   ）            

A. -1或2  B. -1   C. 2  D. 0

6.是关于x的一元二次方程 的一个根，则a=（    ）            

A. -1   B. 2   C. -1或2    D. 不存在

7.若关于x的方程x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1，则另一个根为（　　）            

A. ﹣3  B. ﹣1  C. 1  D. 3

8.已知x1  ， x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根，则x1+x2﹣x1x2的值为（　　）            

A. 1  B. 2  C. 3  D. 4

9.关于x的一元二次方程x2-4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2  ， 且x1+3x2＝5，则m的值为（   ）            

A.     B.   C.   D. 0 

10.受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为x，则可列方程（    ）            

A. 300(1－x)2＝260          B. 300(1－x2)＝260          

C. 300(1－2x)＝260          D. 300(1＋x)2＝260

二、填空题（共8题；共8分）

11.将方程x（x﹣2）＝x+3化成一般形式后，二次项系数为________.    

12.若m是方程2x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2m﹣4m2的值为________.    

13.当x=________时，代数式 与x-1的值相等.    

14.将一元二次方程 ，化为 = ，则m为________．    

15.抛物线 （ 为常数）与x轴交点的个数是________．    

16.已知x1  ， x2是关于的一元二次方程x2﹣3x+a＝0的两个实数根，x12﹣3x1x2+x22＝4，则a＝________.    

17.若关于x的一元二次方程 的一个根是-1，则另一个根是________．    

18.已知实数m、n满足 ，则 的值________.    

三、计算题（共1题；共10分）

19.解方程：    

（1）2(x-2)²=18.               （2）2x(x+3)-x-3=0    

四、解答题（共5题；共25分）

20.已知关于x的一元二次方程kx2－（2k＋1）x＋k＋3= 0有解，求k的取值范围.    

21.定理：若 、 是关于 的一元二次方程 的两实根，则有 ， ，请用这一定理解决问题：已知 、 是关于 的一元二次方程 的两实根，且 ，求 的值.    

22.如图，在宽为20m，长为27m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为450 ，求道路的宽．   

23.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9.如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，求原来的两位数.    

24.根据扬州市某风景区的旅游信息， 公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社 元.  公司参加这次旅游的员工有多少人？  

扬州市某风景区旅游信息表

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】 C   

【考点】一元二次方程的定义及相关的量    

【解析】【解答】解：① 不是一元二次方程； 

② 不是一元二次方程；

③ 是一元二次方程；

④ 是一元二次方程．

综上：一元二次方程是③和④

故答案为：C．

【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐一判断即可．

2.【答案】 A   

【考点】配方法解一元二次方程    

【解析】【解答】解： 

移项得 ，

配方得 ，

即 ，

∴a=-4，b=21．

故答案为：A

【分析】根据配方法步骤解题即可．

3.【答案】 A   

【考点】一元二次方程的定义及相关的量    

【解析】【解答】解：由原方程，得 

x2+6x+9＝3x2﹣x，

即2x2﹣7x﹣9＝0，

故答案为：A.

【分析】方程左边利用完全平方公式将原方程的左边展开，右边按照整式乘法展开，然后通过合并同类项将原方程化为一般形式.

4.【答案】 D   

【考点】一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系    

【解析】【解答】解：∵m，n是方程 的两根，代入得： 

∴ 

∴ 代入得：

∴ 

= 

将 代入得：

= 

根据韦达定理： 

故答案为：D

【分析】将m，n代入方程得到 从而得出

，再代入即可求解.

5.【答案】 B   

【考点】一元二次方程的根    

【解析】【解答】解：把x=1代入 得： 

=0，

，

解得：m1=2，m2=﹣1

∵ 是一元二次方程，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

故答案为：B.

【分析】首先把x=1代入 ，解方程可得m1=2，m2=-1，再结合一元二次方程定义可得m的值

6.【答案】 A   

【考点】一元二次方程的根    

【解析】【解答】解：把x=1代入方程得： 

解得 或 

又由于原方程二次项系数不为0

即a-2≠0，所以a≠2

所以a=-1

故答案为：A

【分析】把x=1代入方程，解关于a的一元二次方程， 或 ，因为原方程a-2≠0，所以 ．

7.【答案】 D   

【考点】一元二次方程的根与系数的关系    

【解析】【解答】解：设方程另一个根为x1  ，  

∴x1+（﹣1）＝2，

解得x1＝3．

故答案为：D ． 

【分析】设方程另一个根为x1  ， 根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+（-1）=2，解此方程即可．

8.【答案】 B   

【考点】一元二次方程的根与系数的关系    

【解析】【解答】解：∵x1  ， x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根， 

∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣3，

则原式＝﹣1﹣（﹣3）＝﹣1+3＝2.

故答案为：B.

【分析】根据韦一元二次方程根与系数的关系，由x1+x2＝=﹣1，x1x2＝=﹣3，代入计算可得.

9.【答案】 A   

【考点】一元二次方程的根与系数的关系    

【解析】【解答】 ∵ x 1 +x 2 ＝4，则  x 1 +3x 2 ＝5， 得  x 1 +x 2+2 x 2 ＝5，2 x 2=5-4=1， x 2=  ,

 代入原方程得：   

 故答案为A

【分析】根据二次方程根与系数的关系求出两根之和，再代入求x2,把x2代入原方程即可求出m.

10.【答案】 A   

【考点】一元二次方程的应用    

【解析】【解答】由题意可得，元月份为300万元，2月份为300（1-x），3月份为300（1-x）2=260 

故答案为：A

【分析】根据平均降低率与月份的关系可列出方程。

二、填空题

11.【答案】 1   

【考点】一元二次方程的定义及相关的量    

【解析】【解答】解：去括号得x2﹣2x＝x+3， 

移项得x2﹣2x﹣x﹣3＝0，

合并得x2﹣3x﹣3＝0，

所以二次项系数为1.

故答案为1.

【分析】先去括号、移项、合并，把方程化为一般式，从而得到二次项系数.

12.【答案】 ﹣2   

【考点】代数式求值，一元二次方程的根    

【解析】【解答】解：∵m是方程2x2﹣x﹣1＝0的一个根， 

∴把x＝m代入方程2x2﹣x﹣1＝0得：2m2﹣m﹣1＝0，

∴2m2﹣m＝1，

∴2m﹣4m2＝﹣2（2m2﹣m）＝﹣2×1＝﹣2，

故答案为：﹣2.

【分析】把x＝m代入方程2x2﹣x﹣1＝0求出2m2﹣m＝1把2m﹣4m2化成﹣2（2m2﹣m），代入求出即可.

13.【答案】 1   

【考点】配方法解一元二次方程    

【解析】【解答】解：根据题意得 =x-1， 

整理得： ，

∴ ，

解得：x=1

故答案为：1.

【分析】根据题意得出 =x-1，整理成一般式后利用配方法求解可得.

14.【答案】 

【考点】配方法解一元二次方程    

【解析】【解答】解：  ，

 ∴  ,

 ∴a(x2+x+)=-c+,

 ∴a(x+)2=,

 ∴(x+)2=.

 ∴m=-.

 故答案为：-. 

【分析】首先方程两边同时减去-c, 然后方程两边同时加上将方程的右边配方，最后和   = 比较即可得出m的值.

15.【答案】 2   

【考点】一元二次方程根的判别式及应用    

【解析】【解答】解：∵∆=4(k-1)2+8k=4k2+4>0， 

∴抛物线与 轴有2个交点．

故答案为：2．

【分析】求出∆的值，根据∆的值判断即可．

16.【答案】 1   

【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系    

【解析】【解答】解：根据题意得△=（-3）2-4×a≥0，解得a≤ ， 

x1+x2=3，x1x2=a，

∵x12-3x1x2+x22=4，

∴（x1+x2）2-5x1x2=4，

∴9-5a=4，

∴a=1.

故答案为：1.

【分析】先根据判别式的意义得到a≤ ，再根据根与系数的关系列出方程，然后解方程即可求解.

17.【答案】 -2   

【考点】一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系    

【解析】【解答】设另一个根为 ，则 ，解得 

故答案为-2

【分析】根据根与系数的关系 计算即可．

18.【答案】 或2   

【考点】一元二次方程的根与系数的关系    

【解析】【解答】当 时， ； 

当 时，∵实数m、n满足 ，

， ，

，

故答案为： 或2.

【分析】根据一元二次方程的根的情况分当 时和当 时两种情况讨论即可.

三、计算题

19.【答案】 （1）解：(x-2)=±3 

x=2±3

x1=5，x2=-1

（2）解：(x+3)(2x-1)=0 

X1=-3，x2= 

【考点】直接开平方法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程    

【解析】【分析】 (1) 本题考查直接开方法解一元二次方程，方程两边先同时除以2，再开方即可；

 (2) 本题考查因式分解法解一元二次方程，将-x-3看成-（x+3），提公因式（x+3），再解方程即可.

四、解答题

20.【答案】 解：∵方程有实数根，   

∴k≠0且△=(2k+1)2-4k（k+3）≥0，

解得： 且 .

∴k的取值范围：k≤1且k≠0.

【考点】一元二次方程的定义及相关的量，一元二次方程根的判别式及应用    

【解析】【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围.还要注意二次项系数不为0；

21.【答案】 解：由已知定理得：x1x2=k2+2，x1+x2=2（k+1）. ∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1=k2+2+2（k+1）+1=8. 即k2+2k-3=0， 解得：k1=-3，k2=1. 又∵△=4（k+1）2-4（k2+2）≥0. 解得：k≥ ，故k=-3舍去. ∴k的值为1.   

【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系    

【解析】【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系知：x1+x2=2（k+1），x1x2=k2+2，代入（x1+1）（x2+1）=8，即x1x2+（x1+x2）+1=8代入即可得到关于k的方程，可求出k的值，再根据△与0的关系舍去不合理的k值.

22.【答案】 解：设道路的宽为x, 由题意得：

(20-x)(27-x)=450,

整理得x2-47x+90=0,

(x-45)(x-2)=0,

∴x=2或x=45(舍去)，

∴道路的宽为2m. 

【考点】一元二次方程的应用    

【解析】【分析】设道路的宽为x, 因为矩形的空白部分，正好能拼成一个矩形，则根据长方形的面积=长×宽，列出等式，再求解即可，注意舍去不合题意的解.

23.【答案】 解：设原两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为（x2－9）.   

∴10（x2－9）+x－10x－（x2－9）=27，

解得x1=4，x2=－3（不符合题意，舍去）.

∴x2－9=7，

∴原两位数为74

【考点】一元二次方程的应用    

【解析】【分析】由题意设原两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为（x2－9），根据相等关系原两位数-新两位数=27列方程可求解.

24.【答案】 解：设参加这次旅游的员工有x人.   

∵30×80=2400＜2800，∴x＞30.

根据题意得：x[80﹣（x﹣30）]=2800，解得：x1=40，x2=70.

当x=40时，80﹣（x﹣30）=70＞55，当x=70时，80﹣（x﹣30）=40＜55，舍去.

答：A公司参加这次旅游的员工有40人.

【考点】一元二次方程的应用    

【解析】【分析】设参加这次旅游的员工有x人，由30×80=2400＜2800可得出x＞30，根据总价=单价×人数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论.下载本文