理科数学参

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．，故选B．

2．在复平面内对应的点的坐标为，故选A．

3．，结束循环时，故条件可为，故选A．

4．如图1所示，所满足的可行域为图中阴影部分区域，

对于直线，显然经过点时截距取得最小值，

即取得最小值，此时，故选B．

5．易知，A、B、D选项分别对应的是俯视、正视、侧视时

的投影，故选C．

6．，得，即，．而，故的最小值在或处取得，故选C．

7．在中，，故．又为钝角三角形，显然钝角不为A，或，即或，将代入，最终解得或，故选C．

8．假如书给谁没有规定，一共有种分法，本来书给哪个同学都是等可能的，现在规定书只能给甲同学，所以一共有种分法，故选B．

9．，即，则点在以为圆心，1为半径的

圆上运动，如图2所示，连接，与此圆相交于点，显

然，由余弦定理可知，

，

所以，故选D．

10．如图3， 

，又为正三棱锥，

，，

，，

同理可得，所以两两垂直，且，所以外接球半径为，所以外接球表面积为，故选C．

11．，即方程有四个实数

根，即函数和函数的图象有四个

交点，分析得，的图象先增后减，在

图4

处取得最大值，如图4所示，设直线与

的图象相切时斜率为，则即可．设切点为，则，则切线方程为，又切线经过点，代入解得，故，故概率为，故选D．

12．如图5所示，设右焦点为，连接，

为圆的直径，，，

，，，

，又，，

故，又，

，即，

即，，所以双曲线方程为，故选A．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．展开式的通项公式，显然时得到常数项，此时，．

14．由题意．

15．当时，，此时为周期为6的周期函数，，．

16．①

，，，故①正确；

②的定义域为，周期不可能为，故②错；

③设点为函数图象上的点，则其关于对称的点为，而在函数图象上，故

，，故③正确．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）因为，． 

当时，，，又，

是以为首项，为公比的等比数列，

，，

又时，也满足，． …………………………（6分）

（Ⅱ），，

，

令，①

，②

①-②得：

，

得．              ……………………（12分）

18．（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：如图6所示，连接，交于点，因为为中点，故，

    ，又，

    ，，                        

    ，                                                       

    ，即．

    因为是沿着折叠的，故不改变， 

又，平面，

而平面，．            ……………………………………（6分）

（Ⅱ）解：（法一）如图7所示，，且为直二面角，

    平面，，

    过作，，

    ，平面，，

    为二面角的一个平面角，

    易求得，，，  

图7

    ，

故二面角的余弦值为．               …………………………（12分）

   （法二）已知，且为直二

面角，故知两两垂直，故可建立如图8所示

的空间直角坐标系，，，

图8

，，

，

    由（Ⅰ）知为平面的一个法向量，

设平面的一个法向量为，

则即有

从而取，则，

所以．

设二面角的大小为，

，

故二面角的余弦值为．                 ………………………（12分）

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设甲球员罚球命中数为，乙球员罚球命中数为，则应有，

，

，

，

．                  …………………………（6分）

（Ⅱ）若不犯规，则甲球员得分的期望，

若犯规，则甲球员得分可以的取值为，

，，

    ，，

    ，

，所以应该犯规．                      …………………………（12分）

20．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ），又菱形面积，易得：，

故椭圆C的方程为．                        …………………………（4分）

   （Ⅱ）设点，当切线与轴不垂直时，设切线方程为，

    联立得，

    ，

    ，

    化简得：，①

    因为直线与圆相切，故，

    即，将其代入①式得：

    ，令，

    则

， 

    当且仅当时等号成立，此时．

    当斜率不存在时，，代入算得，

    故当时，取得最大值，又，为定值，   

故取得最大值时，亦取得最大值，此时．     …………（12分）

21．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）若，，

则，恒成立，

    故知的单调递增区间为，单调递减区间为和．

                       ………………………………………………………………（4分）

   （Ⅱ）对任意的，恒成立，

    由于，时，任意都成立．

    当时，，故等价于恒成立，

    令，故等价于，

，

当时，知，

故易得当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

    ，；

    当时，，故等价于恒成立，

    令，故等价于，

同理可得，

当时，知，，

故，故单调递减，故，．

综上：．                                …………………………（12分）

22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】

（Ⅰ）证明：如图9，∵是切线，是弦，

    ∴．  

    又∵，   

    ∴．

    ，，

    ∴．    …………………………………………………………………（5分）

   （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，又∵，

    ∴∽，∴．  

    ∵，∴，∴．

    由三角形内角和定理可知，．

    ∵是圆的直径，∴，∴，

    ∴．

    在中，，即，

    ∴，∴．        ……………………………………………（10分）

23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】

解：（Ⅰ）圆的直角坐标方程为：，

    圆心坐标为， =，

圆心C在第二象限，，圆心极坐标为．    …………………………（5分）

（Ⅱ）圆C上的点到直线的最大距离等于圆心C到直线的距离和半径之和，的直角坐标方程为，

．    ……………………………………………（10分）

24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】

解：（Ⅰ）  

的解集为．       ……………………………………（5分）

    （Ⅱ），的解集为空集，则． …………（10分）下载本文