2017--2018 学年第 二 学期 使用班级 2017级
学院 班级 学号 姓名
| 题号 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 七 | 八 | 总分 |
| 得分 |
1、交换积分次序。
2、，则。
3、设，则。
4、设某二阶常系数齐次线性微分方程以。
二、选择题（本题共3小题，每小题3分，满分9分，每小题给出四个选项，把正确答案填在题后的括号内）
1、设常数，则级数 [ ]
绝对收敛； 条件收敛；
发散； 敛散性与的取值有关。
2、函数在原点处 [ ]
连续，偏导数存在； 连续，但偏导数不存在；
不连续，但偏导数存在； 不连续，偏导数也不存在。
3、设，则为 [ ]
； ；
； 。
三、计算（每小题6分，共30分）
1、设，其中具有二阶连续的导数，求。
2、计算，其中是由圆围成的平面区域。
3、求，其中为圆周上从点到点的一段弧。
4、求曲面在点处的切平面及法线方程。
5、求幂级数的收敛域与和函数。
四、解答下列各题（本题共4小题，每小题每题6分，共24分）
1、设函数由确定，求。
2、求函数在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点的方向的方向导数。
3、设满足方程，且其图形在点与曲线相切，求函数。
4、将函数展开成以2为周期的傅立叶级数。
五、（本题满分8分）求函数在区域上的最大值与最小值。
六、（本题满分9分）已知曲线积分与路径无关，且。
（1）求； （2）计算的值。
七、（本题满分8分）计算，其中为下半球面的下侧，为大于零的常数。
南京工业大学高等数学（下）期末试卷（A）
参
一、填空题：
1、； 2、；
3、； 4、。
二、选择题：
1、； 2、； 3、
三、计算：
1、解：
（3分）
。 （3分）
2、解：
根据对称性，， （2分）
作极坐标变换，则， （2分）
原式
。 （2分）
3、解：
添加直线段，则
原式 （4分）
。 （2分）
4、解：
,则
，， （4分）
所以所求切平面为 。 （1分）
所求的法线方程为 。 （1分）
5、解：
因为所以幂级数的收敛半径为，
又因为当时级数发散，所以该幂级数的收敛域为。 （2分）
。 （4分）
四、解答下列各题：
1、解：
设
， （3分）
故。 （3分）
2、解：
， （1分）
， (2分)
，， （2分）
函数在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点的方向的方向导数为
（2分）
3、解：
由条件知满足。 （1分）
由特征方程,
对应齐次方程的通解。 （2分）
设特解为，代入方程，得，则特解为
从而得通解, （2分）
代入初始条件得，
则。 （1分）
4、解：
所给函数在上满足收敛定理条件，将其延拓成以2为周期的函数时，它在整个实轴上均连续，因此其付立叶级数在内收敛于函数本身。
，
，
。 （4分）
。 （2分）
五、解：
由，得驻点，但该驻点不在区域内，所以最值只能在达到。 （3分）
设 ，
由，得， （3分）
代入目标函数，比较得最小值。 （2分）
六、解：
由得
则
因为，所以，
则 （5分）
故
. （4分）
七、解：
取为面上的圆盘，方向取上侧，则
， （4分）
。 （4分）下载本文
