sin（2kπ＋α）＝sinα （k∈Z）     cos（2kπ＋α）＝cosα （k∈Z） 

　　tan（2kπ＋α）＝tanα （k∈Z）     cot（2kπ＋α）＝cotα （k∈Z） 

　　公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 

　　sin（π＋α）＝－sinα  cos（π＋α）＝－cosα  tan（π＋α）＝tanα  cot（π＋α）＝cotα 

　　公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 

　　sin（－α）＝－sinα    cos（－α）＝cosα   tan（－α）＝－tanα   cot（－α）＝－cotα 

　　公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 

　　sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα  tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 

　　公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 

　　sin（2π－α）＝－sinα   cos（2π－α）＝cosα

　　tan（2π－α）＝－tanα     cot（2π－α）＝－cotα 

　　公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 

　　sin（π/2＋α）＝cosα         　cos（π/2＋α）＝－sinα

　　tan（π/2＋α）＝－cotα   　    cot（π/2＋α）＝－tanα

　　sin（π/2－α）＝cosα           cos（π/2－α）＝sinα

　　tan（π/2－α）＝cotα           cot（π/2－α）＝tanα

　　sin（3π/2＋α）＝－cosα   　   cos（3π/2＋α）＝sinα

　　tan（3π/2＋α）＝－cotα   　   cot（3π/2＋α）＝－tanα

　　sin（3π/2－α）＝－cosα         cos（3π/2－α）＝－sinα

　　tan（3π/2－α）＝cotα          cot（3π/2－α）＝tanα 

　　（以上k∈Z）  

　　※规律总结※ 

　　上面这些诱导公式可以概括为：　对于π/2*k ±α（k∈Z）的三角函数值， 

　　①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变； 

　　②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos；cos→sin；tan→cot，cot→→tan. 

　　（奇变偶不变） 

　　然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。 

　　（符号看象限） 

　　例如： sin（2π－α）＝sin（4·π/2－α），k＝4为偶数，所以取sinα。 

　　当α是锐角时，2π－α∈（270°，360°），sin（2π－α）＜0，符号为“－”。 

　　所以sin（2π－α）＝－sinα 

　　上述的记忆口诀是： 

　　奇变偶不变，符号看象限。 

　　公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α 

　　所在象限的原三角函数值的符号可记忆 

　　水平诱导名不变；符号看象限。 

两角和与差的三角函数公式 

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ    sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ 

　　cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ 　　cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ 

　　tan（α＋β）＝（tanα+tanβ）／（1-tanαtanβ） 

　　tan（α－β）＝（tanα－tanβ）／（1＋tanα·tanβ） 

　　二倍角公式 

　　二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式） 

　　sin2α＝2sinαcosα 

　　cos2α＝cos^2（α）－sin^2（α）＝2cos^2（α）－1＝1－2sin^2（α） 

　　tan2α＝2tanα/[1－tan^2（α）] 

　　半角公式 

　　半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式） 

　　sin^2（α/2）＝（1－cosα）／2        cos^2（α/2）＝（1＋cosα）／2 

　　tan^2（α/2）＝（1－cosα）／（1＋cosα） 

　　另也有tan（α/2）=（1－cosα）/sinα=sinα/（1+cosα）  

　　三角函数的和差化积公式 

　　sinα＋sinβ＝2sin[（α＋β）/2]·cos[（α－β）/2] 

　　sinα－sinβ＝2cos[（α＋β）/2]·sin[（α－β）/2] 

　　cosα＋cosβ＝2cos[（α＋β）/2]·cos[（α－β）/2] 

　　cosα－cosβ＝－2sin[（α＋β）/2]·sin[（α－β）/2] 

　　积化和差公式 

　　三角函数的积化和差公式 

　　sinα·cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）] 

　　cosα·sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）] 

　　cosα·cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）] 

　　sinα·sinβ＝－0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）] 

　　和差化积公式推导 

　　附推导： 

　　首先，我们知道sin（a+b）=sina*cosb+cosa*sinb，sin（a-b）=sina*cosb-cosa*sinb 

　　我们把两式相加就得到sin（a+b）+sin（a-b）=2sina*cosb 

　　所以，sina*cosb=（sin（a+b）+sin（a-b））/2 

　　同理，若把两式相减，就得到cosa*sinb=（sin（a+b）-sin（a-b））/2 

　　同样的，我们还知道cos（a+b）=cosa*cosb-sina*sinb，cos（a-b）=cosa*cosb+sina*sinb 

　　所以，把两式相加，我们就可以得到cos（a+b）+cos（a-b）=2cosa*cosb 

　　所以我们就得到，cosa*cosb=（cos（a+b）+cos（a-b））/2 

　　同理，两式相减我们就得到sina*sinb=-（cos（a+b）-cos（a-b））/2 

　　这样，我们就得到了积化和差的四个公式： 

　　sina*cosb=（sin（a+b）+sin（a-b））/2   　cosa*sinb=（sin（a+b）-sin（a-b））/2 

　　cosa*cosb=（cos（a+b）+cos（a-b））/2     sina*sinb=-（cos（a+b）-cos（a-b））/2 

　　有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式。 

　　我们把上述四个公式中的a+b设为x，a-b设为y，那么a=（x+y）/2，b=（x-y）/2 

　　把a，b分别用x，y表示就可以得到和差化积的四个公式： 

　　sinx+siny=2sin（（x+y）/2）*cos（（x-y）/2） 　 sinx-siny=2cos（（x+y）/2）*sin（（x-y）/2） 

　　cosx+cosy=2cos（（x+y）/2）*cos（（x-y）/2） 　　cosx-cosy=-2sin（（x+y）/2）*sin（（x-y）/2）

四．【典例解析】

题型1：象限角

例1．已知角；（1）在区间内找出所有与角有相同终边的角；（2）集合，那么两集合的关系是什么？

解析：（1）所有与角有相同终边的角可表示为：，

则令  ，

得 

解得 

从而或

代回或

（2）因为表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：。

点评：（1）从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角有相同终边的角，然后列出一个关于的不等式，找出相应的整数，代回求出所求解；（2）可对整数的奇、偶数情况展开讨论。

例2．若sinθcosθ＞0，则θ在（    ）

A．第一、二象限             B．第一、三象限    

C．第一、四象限             D．第二、四象限

解析：答案：B；∵sinθcosθ＞0，∴sinθ、cosθ同号。

当sinθ＞0，cosθ＞0时，θ在第一象限，当sinθ＜0，cosθ＜0时，θ在第三象限，因此，选B。

例3．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB－sinA，sinB－cosA）在（    ）

A.第一象限              B.第二象限           C.第三象限              D.第四象限

答案：B

解析：∵A、B是锐角三角形的两个内角，∴A＋B＞90°，∴B＞90°－A，∴cosB＜sinA，sinB＞cosA，故选B。

例4．已知“是第三象限角，则是第几象限角?

解法一：因为是第三象限角，所以，

∴，

∴当k=3m（m∈Z）时，为第一象限角；

当k= 3m＋1（m∈Z）时，为第三象限角，

当k= 3m＋2（m∈Z）时，为第四象限角，

故为第一、三、四象限角。

解法二：把各象限均分3等份，再从x轴的正向的上方起依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，则原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为的终边所在的区域。

由图可知，是第一、三、四象限角

点评：已知角的范围或所在的象限，求所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下：把各象限均分n等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则原来是第几象限的符号所表示的区域即为 (n∈N*)的终边所在的区域。

题型2：三角函数定义

例5．已知角的终边过点，求的四个三角函数值。

解析：因为过点，所以，。

当；

    ，。

当，；。

例6．已知角的终边上一点，且，求的值。

解析：由题设知，，所以，

得，

从而，

解得或。

当时，， ；

当时，， ；

当时，， 。

题型3：诱导公式

例7．（2009辽宁文，8）已知，则（    ） 

A.               B.             C.             D.

答案   D

例8．化简：

（1）；

（2）。

解析：（1）原式；

（2）①当时，原式。

②当时，原式。

点评：关键抓住题中的整数是表示的整数倍与公式一中的整数有区别，所以必须把分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论

题型4：同角三角函数的基本关系式

例9．已知，试确定使等式成立的角的集合。

解析：∵，

===。

又∵，

∴，  

即得或

所以，角的集合为：或。

例10．（1）证明：；

（2）求证：。

解析：（1）分析：证明此恒等式可采取常用方法，也可以运用分析法，即要证，只要证A·D=B·C,从而将分式化为整式

证法一：右边=

=

=

证法二：要证等式，即为

只要证 2（）（）=

即证：

，

即1=，显然成立，

故原式得证。

点评：在进行三角函数的化简和三角恒等式的证明时，需要仔细观察题目的特征，灵活、恰当地选择公式，利用倒数关系比常规的“化切为弦”要简洁得多。（2）同角三角函数的基本关系式有三种，即平方关系、商的关系、倒数关系

（2）证法一：由题义知，所以。

∴左边=右边。

∴原式成立。

证法二：由题义知，所以。

又∵，

∴。

证法三：由题义知，所以。

，

∴。

点评：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边（如例5的证法一）；（2）证明左右两边同等于同一个式子（如例6）；（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立

（以下来自2009年各地高考试题）

1.(2009海南宁夏理，5).有四个关于三角函数的命题：

：xR, +=     : x、yR, sin(x-y)=sinx-siny

: x,=sinx    : sinx=cosyx+y=

其中假命题的是

A．，        B.，        C.，        D.，

答案    A

2..（2009辽宁理，8）已知函数=Acos()的图象如图所示，，则=（    ）

A.        B.        C.-         D.  

答案   C

3.（2009全国I文，1）°的值为

A.            B.          C.         D. 

答案   A

4.（2009全国I文，4）已知tan=4,cot=,则tan(a+)=   （    ）

A.              B.          C.          D. 

答案   B

5.（2009全国II文，4） 已知中，， 则

    A.       B.           C.         D. 

解析：已知中，，.

    故选D.

6.（2009全国II文，9）若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为（     ） 

A.               B.               C.            D.       

答案   D

7.（2009北京文）“”是“”的

A．    充分而不必要条件            B．必要而不充分条件

C．    充分必要条件                 D．既不充分也不必要条件

答案  A

解析 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查.

当时，，反之，当时，，

或，故应选A. 

8.（2009北京理）“”是“”的                                  （    ）

A．充分而不必要条件                       B．必要而不充分条件

C．充分必要条件                           D．既不充分也不必要条件

答案  A

解析  本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查.

当时，

反之，当时，有，

 或，故应选A.

9.（2009全国卷Ⅱ文）已知△ABC中，，则

A.            B.            C.       D. 

答案：D

解析：本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA=知A为钝角，cosA<0排除A和B，再由选D

10.（2009四川卷文）已知函数，下面结论错误的是

 A. 函数的最小正周期为2          

 B. 函数在区间［0，］上是增函数

 C.函数的图象关于直线＝0对称      

D. 函数是奇函数

答案  D

解析∵，∴A、B、C均正确，故错误的是D

【易错提醒】利用诱导公式时，出现符号错误

11.（2009全国卷Ⅱ理）已知中，， 则（    ）

A.       B.       C.      D. 

解析：已知中，，.

    故选D.

答案  D

12.（2009湖北卷文）“sin=”是“”的 （     ）    

A.充分而不必要条件                B.必要而不充分条件

C.充要条件                        D.既不充分也不必要条件

答案 A

解析 由可得，故成立的充分不必要条件，故选A.

13.（2009重庆卷文）下列关系式中正确的是（    ）

A．        B．    

C．       D．

答案  C

解析  因为，由于正弦函数在区间上为递增函数，因此，即

二、填空题

14.（2009北京文）若，则          .

答案  

解析 本题主要考查简单的三角函数的运算.    属于基础知识、基本运算的考查.

由已知，在第三象限，∴，∴应填.

15.(2009湖北卷理)已知函数则的值为        .

答案  1

解析  因为所以

故

【命题意图】在课改区高考试题中，十分重视弘扬和发展学生的数学应用意识.新课标卷更注意数学应用意识和实践能力的考查，试题设计更加注意贴近生活实践.

16. 函数，给出下列4个命题：

①在区间上是减函数；    ②直线是函数图像的一条对称轴；

③函数f（x）的图像可由函数的图像向左平移而得到；

④若，则f（x）的值域是．

其中正确命题序号是                       。②

17. 已知边长为4的正三角形的中心为，一个半径为8，

中心角为的扇形的顶点与重合，当扇形绕着逆

时针旋转时，请说明：与扇形的重叠部分

的面积变化特征：                                          。      

18. 锐角△中，≥，且，则的最大值为           ．

19. 设则的值等于__     .

20. 在△ABC中，BC=1，，当△ABC的面积等于时，__      .

21. 若△的三个内角的正弦值分别等于△的三个内角的余弦值，则△的三个内角从大到小依次可以为　                　（写出满足题设的一组解）．

    ，另两角不惟一，但其和为

22. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，给出下列结论：

①若A＞B＞C，则；

②若；

③必存在A、B、C，使成立；

④若，则△ABC必有两解.

其中，真命题的编号为                      .（写出所有真命题的编号）①④

23. 若函数对任意的存在常数,使得恒成立,则的最小正值是:       

五．【思维总结】

1．几种终边在特殊位置时对应角的集合为：

若α终边在第一象限则终边在第一或第三象限；2α终边在第一或第二象限或y轴正半轴。

若α终边在第二象限则终边在第一或第三象限；2α终边在第三或第四象限或y轴负半轴。

若α终边在第三象限则终边在第二或第四象限；2α终边在第一或第二象限或y轴正半轴。

若α终边在第四象限则终边在第二或第四象限；2α终边在第三或第四象限或y轴负半轴。

3．任意角的概念的意义，任意角的三角函数的定义，同角间的三角函数基本关系、诱导公式由于本重点是任意角的三角函数角的基础，因而三学习本节内容时要注意如下几点：（1）熟练地掌握常用的方法与技巧，在使用三角代换求解有关问题时要注意有关范围的；（2）要注意差异分析，又要活用公式，要善于瞄准解题目标进行有效的变形，其解题一般思维模式为：发现差异，寻找联系，合理转化

只有这样才能在高考中夺得高分。三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,,。所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数

4．运用同角三角函数关系式化简、证明

  常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等，应用 “弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一个不为零的，得到一个只含的教简单的三角函数式。下载本文