一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．（5分）定义集合运算：A⊗B={z|z=xy，x∈A，y∈B}，设A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊗B的所有元素之和为（）
A． 0 B． 4 C． 5 D． 6
2．（5分）若f（x+2）=2x+3，则f（x）等于（）
A． 2x+1 B． 2x﹣1 C． 2x﹣3 D． 2x+7
3．（5分）设集合，，则下列关系中正确的是（）
A． A=B B． A⊆B C． B⊆A D． A∩B= C． （﹣1，+∞） D． B． （﹣∞，0] C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）学校运动会上，某班所有的同学都参加了篮球或排球比赛．已知该班共有22人参加了排球赛，共有26人参加了篮球赛，既参加篮球赛又参加排球赛的有4人，则该班的学生数是 ．
12．（5分）函数y=﹣的定义域是，则其值域是．
13．（5分）集合A={富强，民主，文明，和谐}，B={自由，平等，公正，法治}，C={爱国，敬业，诚信，友善}，则集合（A∪B）∩C的真子集的个数是．
14．（5分）函数f（x）=的单调递增区间是．
15．（5分）已知函数f（x）=，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的取值集合是．
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
16．（12分）已知全集U={不大于10的非负偶数}，A={0，2，4，6}，B={x|x∈A，且x＜4}，求集合∁UA及A∩（∁UB）．
17．（12分）若集合A={x|x2+ax+1=0}，集合B={x|x2﹣3x+2=0}，且A⊆B，求实数a的取值范围．
18．（12分）函数f（x）=．
（I）若f（a）=1，求a的值；
（Ⅱ）确定函数f（x）在区间（﹣∞，0）上的单调性，并用定义证明．
19．（12分）如图所示，直线l⊥x轴，从原点开始向右平行移动到x=8处停止，它截△AOB所得左侧图形的面积为S，它与x轴的交点为（x，0）．
（I）求函数S=f（x）的解析式；
（Ⅱ）解不等式f（x）＜14．
20．（13分）已知集合A={x|2x2﹣5x﹣3≤0}，函数f（x）=的定义域为集合B．
（I）若A∪B=（﹣1，3]，求实数a的值；
（Ⅱ）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．
21．（14分）对于函数f（x），若f（x）=x，则称x为f（x）的“不动点”，若f=x，则称x为f（x）的“稳定点”，函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x|f（x）=x}，B={x|f=x}．
（I）设f（x）=3x+4，求集合A和B；
（Ⅱ）若f（x）=，∅⊊A⊆B，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若f（x）=ax2，求证：A=B．
江西省南昌二中2014-2015学年高一上学期第一次考试数学试卷
参与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．（5分）定义集合运算：A⊗B={z|z=xy，x∈A，y∈B}，设A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊗B的所有元素之和为（）
A． 0 B． 4 C． 5 D． 6
考点： 元素与集合关系的判断．
专题： 计算题；集合．
分析： 先计算集合A⊗B，再计算其元素之和．
解答： 解：∵A⊗B={z|z=xy，x∈A，y∈B}．
又A={0，1}，B={2，3}，
∴A⊗B={0，2，3}
所以集合A*B的所有元素之和为0+2+3=5
故选：C．
点评： 本题主要考查了元素与集合关系的判断，只需理解好集合A⊗B的定义即可，较简单．
2．（5分）若f（x+2）=2x+3，则f（x）等于（）
A． 2x+1 B． 2x﹣1 C． 2x﹣3 D． 2x+7
考点： 函数解析式的求解及常用方法．
专题： 计算题；函数的性质及应用．
分析： 利用换元法求函数的解析式．
解答： 解：令x+2=t，则x=t﹣2，
则f（t）=2（t﹣2）+3
=2t﹣1．
故选B．
点评： 本题考查了函数解析式的求法，常用换元法，属于基础题．
3．（5分）设集合，，则下列关系中正确的是（）
A． A=B B． A⊆B C． B⊆A D． A∩B=∪ C． （﹣1，+∞） D．
∴M⊊P．
故选：A．
点评： 熟练掌握正整数的性质、集合间的关系是解题的关键．
10．（5分）若函数f（x）=x2+a|x﹣1|在 B． （﹣∞，0] C． D． ．
故选A．
点评： 考查含绝对值函数的单调性，二次函数的单调性及单调区间．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）学校运动会上，某班所有的同学都参加了篮球或排球比赛．已知该班共有22人参加了排球赛，共有26人参加了篮球赛，既参加篮球赛又参加排球赛的有4人，则该班的学生数是 44．
考点： 交集及其运算；并集及其运算．
专题： 计算题．
分析： 此类问题只进行空洞的分析，很难找到解决问题的切入点，但若能直观地将个部分人数用韦恩图展示出来，则问题将迎刃而解．
解答： 解：由条件知，每名同学至少参加两个比赛中的一个，
故不可能出现一名同学不参加篮球或排球比赛，
设参加篮球或排球比赛的人数构成的集合分别为A，B，
则card（A∩B）=4．card（A）=26，card（B）=22，
由公式card（A∪B）=card（A）+card（B）﹣card（A∩B）
知card（A∪B）=22+26﹣4=44
则该班的学生数是44人．
故答案为：44．
点评： 集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化，利用Venn图的直观性，可以深刻理解集合有关概念、运算公式，而且有助于显示集合间的关系．
12．（5分）函数y=﹣的定义域是，则其值域是．
考点： 函数的值域．
专题： 计算题；函数的性质及应用．
分析： 由观察法求函数的值域即可．
解答： 解：∵0≤x≤2，
∴1≤x+1≤3，
∴≤≤2，
∴函数y=﹣的值域是．
故答案为：．
点评： 本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．
13．（5分）集合A={富强，民主，文明，和谐}，B={自由，平等，公正，法治}，C={爱国，敬业，诚信，友善}，则集合（A∪B）∩C的真子集的个数是0．
考点： 交、并、补集的混合运算．
专题： 集合．
分析： 由A，B，以及C求出（A∪B）∩C，确定出其真子集的个数即可．
解答： 解：∵A={富强，民主，文明，和谐}，B={自由，平等，公正，法治}，C={爱国，敬业，诚信，友善}，
∴A∪B={富强，民主，文明，和谐，自由，平等，公正，法治}，
∴（A∪B）∩C=∅，
则集合（A∪B）∩C的真子集的个数是0，
故答案为：0
点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
14．（5分）函数f（x）=的单调递增区间是（﹣2，0）和（1，3）．
考点： 函数单调性的判断与证明．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 作图函数的图象观察图象可得．
解答： 解：做出函数的图象如图：
故函数的增区间为（﹣2，0）和（1，3）．
故答案为（﹣2，0）和（1，3）．
点评： 本题主要考查函数的单调性，求单调区间，可以用定义求解也可以作图观察．
15．（5分）已知函数f（x）=，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的取值集合是（﹣1﹣，0）．
考点： 函数单调性的性质．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据函数的表达式，得出函数的单调性，从而得出不等式组，解出即可．
解答： 解：由题意得：，
解得：﹣1﹣＜x＜0，
故答案为：（﹣1﹣，0）．
点评： 本题考查了函数的单调性问题，分段函数问题，二次函数的性质，是一道基础题．
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
16．（12分）已知全集U={不大于10的非负偶数}，A={0，2，4，6}，B={x|x∈A，且x＜4}，求集合∁UA及A∩（∁UB）．
考点： 交、并、补集的混合运算．
专题： 集合．
分析： 列举出全集U中的元素，找出A中小于4的元素确定出B，求出A的补集，找出A与B补集的交集即可．
解答： 解：∵全集U={不大于10的非负偶数}={0，2，4，6，8，10}，A={0，2，4，6}，B={x|x∈A，且x＜4}={0，2}，
∴∁UA={8，10}，∁UB={4，6，8，10}，
则A∩（∁UB）={4，6}．
点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
17．（12分）若集合A={x|x2+ax+1=0}，集合B={x|x2﹣3x+2=0}，且A⊆B，求实数a的取值范围．
考点： 集合的包含关系判断及应用．
专题： 计算题；集合．
分析： 根据题意，集合B={1，2}，且A⊆B，A是x2+ax+1=0的解集，分A为空集和不是空集讨论，A为空集时，只要二次方程的判别式小于0即可，不是空集时，分别把1和2代入二次方程求解a的范围，注意求出a后需要验证．
解答： 解：根据题意，B={x|x2﹣3x+2=0}={1，2}，A⊆B，分3种情况讨论：
（1）若A=∅，则△=a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2；
（2）若1∈A，则12+a+1=0，解得a=﹣2，此时A={1}，适合题意；
（3）若2∈A，则22+2a+1=0，解得a=﹣2.5，此时A={2，0.5}，不合题意；
综上所述，实数a的取值范围为
18．（12分）函数f（x）=．
（I）若f（a）=1，求a的值；
（Ⅱ）确定函数f（x）在区间（﹣∞，0）上的单调性，并用定义证明．
考点： 函数单调性的判断与证明．
专题： 函数的性质及应用．
分析： （1）在各段上分别求a的值；
（2）利用函数的单调性的定义进行判断和证明．
解答： 解：（1）有题意可得：
或，
解得：a=﹣或a=1
（2）假设x1＜x2＜0，则
f（x1）﹣f（x2）
=
=2（﹣（x1﹣x2）
=（x2﹣x1）（）
因为x1＜x2＜0，
∴x2﹣x1＞0，＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，
∴f（x1）＞f（x2）
∴函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减．
点评： 本题主要考查函数的单调性的定义和已知函数值求自变量，属于基础题．
19．（12分）如图所示，直线l⊥x轴，从原点开始向右平行移动到x=8处停止，它截△AOB所得左侧图形的面积为S，它与x轴的交点为（x，0）．
（I）求函数S=f（x）的解析式；
（Ⅱ）解不等式f（x）＜14．
考点： 函数解析式的求解及常用方法．
专题： 计算题；函数的性质及应用．
分析： （1）由图分别三角形面积公式及梯形面积公式写出即可；
（2）讨论x，化简不等式f（x）＜14，从而解出x的范围．
解答： 解：（1）由图可知，
S=f（x）=．
（2）①当0≤x≤4时，＜14显然成立；
②当4＜x≤8时，
∵+8x﹣16＜14，
∴x2﹣16x+60＞0，
解得，x＜6．
综上所述，不等式的解集为，求实数a的值；
（Ⅱ）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．
考点： 子集与交集、并集运算的转换．
专题： 计算题；集合．
分析： （I）先化简A，B，利用A∪B=（﹣1，3]，分类讨论，即可求实数a的值；
（Ⅱ）若A∩B=∅，分类讨论，即可求实数a的取值范围．
解答： 解：A={x|2x2﹣5x﹣3≤0}=，B={x|＜0}且B≠∅
（I）由题意有：
①若2a+1=﹣1⇒a=﹣1，则B=（﹣2，﹣1），不符合题意；
②若a﹣1=﹣1⇒a=0，则B=（﹣1，1），符合题意；∴a=0
（Ⅱ）B≠∅⇒2a+1≠a﹣1⇒a≠﹣2
①若2a+1＜a﹣1⇒a＜﹣2时，或2a+1≥3或a≥1∴a＜﹣2
②若a﹣1＜2a+1⇒a＞﹣2时，或a﹣1≥3或a≥4∴或a≥4
综上，实数a的取值范围是或a≥4且a≠﹣2．
点评： 本题考查子集与交集、并集运算的转换，考查学生分析解决问题的能力，易错点忽视B≠∅．
21．（14分）对于函数f（x），若f（x）=x，则称x为f（x）的“不动点”，若f=x，则称x为f（x）的“稳定点”，函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x|f（x）=x}，B={x|f=x}．
（I）设f（x）=3x+4，求集合A和B；
（Ⅱ）若f（x）=，∅⊊A⊆B，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若f（x）=ax2，求证：A=B．
考点： 函数恒成立问题；集合的包含关系判断及应用．
专题： 综合题；压轴题；函数的性质及应用．
分析： （I）直接由f（x）=x，f=x求解方程组得集合A，B；
（Ⅱ）分a=0和a≠0讨论，当a≠0时，由题意有：f（x）=x，即=x，得到ax2﹣x+1=0，然后验证不是方程ax2﹣x+1=0的根求得集合A．由f=x，即，ax2﹣x+1=0．验证都不是方程ax2﹣x+1=0的根求得B={x|ax2﹣x+1=0}．最后根据∅⊊A⊆B得到方程ax2﹣x+1=0有解．列关于a的不等式组得答案；
（Ⅲ）分a=0和a≠0讨论，a≠0时由f=x得a3x4﹣x=0，即x（ax﹣1）（a2x2+ax+1）=0．
考虑方程a2x2+ax+1=0，由△=a2﹣4a2=﹣3a2＜0说明该方程无解，从而求出B={0，}．结论成立．
解答： （Ⅰ）解：由f（x）=x，得3x+4=x，解得x=﹣2；
由f=x，得3（3x+4）+4=x，解得x=﹣2．
∴集合A={﹣2}，B={﹣2}；
（Ⅱ）解：①若a=0，A=B={1}，符合题意；
②若a≠0，由题意有：f（x）=x，即=x，ax2﹣x+1=0．
注意：1﹣ax≠0，
∴x，验证得：不是方程ax2﹣x+1=0的根．
∴A={x|ax2﹣x+1=0}．
f=x，即，ax2﹣x+1=0．
注意：，得且x
验证得：都不是方程ax2﹣x+1=0的根．
∴B={x|ax2﹣x+1=0}．
∴A=B．
∵∅⊊A⊆B，
∴A≠∅．
∴方程ax2﹣x+1=0有解．
则，解得a且a≠0．
综上，实数a的取值范围是；
（Ⅲ）证明：若a=0，A=B={0}，结论成立；
若a≠0，则A={0，}．
∵f=x，
∴a3x4﹣x=0，即x（ax﹣1）（a2x2+ax+1）=0．
考虑方程a2x2+ax+1=0，
∵△=a2﹣4a2=﹣3a2＜0，方程无解，
∴B={0，}．
A=B，结论成立．
点评： 本题考查了函数恒成立问题，考查了集合的包含关系的判断与应用，考查了学生的逻辑思维能力，体现了分类讨论的数学思想方法，是压轴题．下载本文
