数学试题

一，单项选择题（共8小题,每小题5分,共40分）.

1．设i是虚数单位,则复数z＝2i（1﹣i）地虚部是（　　）

A．1B．2C．﹣1D．﹣2

【结果】B

【思路】z＝2i（1﹣i）＝2+2i,其虚部为2,故选：B．

2．要得到函数y＝cos（2x+3）地图象,只要将函数y＝cos2x地图象（　　）

A．向左平移个单位B．向左平移3个单位

C．向右平移3个单位D．向右平移个单位

【结果】A

【思路】将函数y＝cos2x地图象象左平移个单位,可得函数y＝cos（2x+3）地图象,

故选：A．

3．棉花地纤维长度是棉花质量地重要指标,在一批棉花中随机抽到了60根棉花地纤维长度（单位：mm）,按从小到大排序结果如下：

25 28 33 50 52 58 59 60 61 62 82 86 113 115 140 143 146 170 175 195

202 206 233 236 238 255 260 263 2 265 293 293 294 296 301 302 303

305 305 306 321 323 325 326 328 340 343 346 348 350 352 355 357 357

358 360 370 380 383 385．请你估算这批棉花地第75百分位数是（　　）

A．334B．327C．328D．329

【结果】A

【思路】因为60×0.75＝45,且第45个数据为328,第46个数据为340,所以第75百分位数为

．故选：A．

4．在四边形ABCD中,若,则（　　）

A．四边形ABCD是矩形B．四边形ABCD是菱形

C．四边形ABCD是正方形D．四边形ABCD是平行四边形

【结果】D

【思路】∵

,＝+,∴＝,∴AB DC ,∴四边形ABCD 是平行四边形．故选：D ．

5．若函数地最大值为1,则实数m ＝（　　）

A ．1

B ．﹣1

C ．3

D ．﹣3【结果】B

【思路】

＝

＝＝+m ,当

（k ∈Z ）,函数地最大值为2+m ＝1,解得m ＝﹣1．故选：B ．

6．平面向量

,已知＝（4,3）,＝（3,18）,则夹角地余弦值等于（　　）

A ．

B ．

C ．

D ．【结果】C

【思路】设＝（x ,y ）,∵a ＝（4,3）,2a +b ＝（3,18）,∴

∴cosθ＝

＝,故选：C ．7．△ABC 中,

,,则cos A ＝（　　）

A ．

B ．

C ．

D ．﹣或【结果】A

【思路】∵,又∵C ∈（0,π）,∴

＝,∵sin C ＞sin B ,∴B 必为锐角,即,

∴＝

,∴cos A ＝cos[π﹣（B +C ）]＝﹣cos （B +C ）＝﹣cos B cos C +sin B sin C ＝

．

故选：A ．

8．设函数f （x ）＝cos （ωx +）在[﹣π,π]地图象大约如图,则f （x ）地最小正周期为（　　）

A．B．C．D．

【结果】C

【思路】由图象可得最小正周期小于π﹣（﹣）＝,大于2×（）＝

,排除A,D。

由图象可得f（﹣）＝cos（﹣ω+）＝0,

即为﹣ω+＝kπ+,k∈Z,（*）

若选B,即有ω＝＝,由﹣×+＝2kπ+,可得k不为整数,排除B。

若选C,即有ω＝＝,由﹣×+＝kπ+,可得k＝﹣1,成立．故选：C．

二，多项选择题（本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出地四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对地得5分,选对但不全得2分,有选错地得0分）．

9．某城市为促进家庭节约用电,计划制定阶梯电价,阶梯电价按年月均用电量从低到高分为一，二，三，四档,属于第一档电价地家庭约占10%,属于第二档电价地家庭约占40%．属于第三档电价地家庭约占30%,属于第四档电价地家庭约占20%．为确定各档之间地界限,从该市地家庭中抽查了部分家庭,调查了他们上一年度地年月均用电量（单位：千瓦时）,由调查结果得下面地直方图．由此直方图可以做出地正确判断是（　　）

A．年月均用电量不超过80千瓦时地家庭属于第一档

B．年均用电量低于200千瓦时,且超过80千瓦时地家庭属于第二档C．年月均用电量超过240千瓦时地家庭属于第四档

D．该市家庭地年月均用电量地平均数大于年月均用电量地中位数

【思路】对于A,年月均用电量不超过80千瓦时地家庭地频率为0.0025×40＝0.1,属于第一档,故选项A正确。

对于B,年均用电量低于200千瓦时,且超过80千瓦时地家庭地频率为0.0040×40+0.0060×40+0.0045×40＝0.58＞0.50,不属于第二档,故选项B错误。

对于C,年月均用电量超过240千瓦时地家庭地频率为0.0020×40+0.0010×40×3＝0.20,属于第四档,故选项C正确。

对于D,由频率分布直方图可知,该组数据多集中在200以前地小数据,所以中位数应该较小,平均数因受极大值地影响,平均数应该大于中位数,故选项D正确．

故选：ACD．

10．已知m,n是互不重合地直线,α,β是互不重合地平面,下面四个命题中正确地是（　　）A．若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β

B．若m∥α,m∥β,α∩β＝n,则m∥n

C．若m⊥α,m⊥n,α∥β,则n∥β

D．若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β

【思路】对于A,若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α与β相交或平行,故A错误。

对于B,若m∥α,m∥β,α∩β＝n,则由线面平行地性质得m∥n,故B正确。

对于C,若m⊥α,m⊥n,α∥β,则n∥β或n⊂β,故C正确。

对于D,若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则由面面垂直地判定定理得α⊥β,故D正确．

故选：BD．

11．如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,下面命题正确地是（　　）

A．AB与B1D所成地角为30°

B．BA1与B1D1所成地角为60°

C．A1B与平面A1DC所成地角为30°D．平面A1BD与平面ACC1A1所成地二面角是直二面角

【思路】不妨设,正方体地边长为1,

对于A,

因为AB∥A1B1,所以AB与B1D所成地角,即A1B1与B1D所成地角,即∠A1B1D,又,故A错误。对于B,

因为BD∥B1D1,所以BA1与B1D1所成地角,即BA1与BD所成地角,即∠DBA1,

又△BDA1是等边三角形,所以∠DBA1＝60°,故B正确。

对于C,

因为A1D∥B1C,所以A1,D,B1,C四点共面,连接BC1交CB1于点M,所以BC1⊥CB1,因为A1B1⊥平面BCC1B1且BC1⊂平面BCC1B1,所以A1B1⊥BC1,

又A1B1,CB1⊂平面BCC1B1且A1B1∩CB1＝B1,所以BC1⊥平面A1DCB1,

即BM⊥平面A1DCB1,所以直线BA1与平面A1DC所成地角,即∠BA1M,又A1M⊂平面BCC1B1,所以BM⊥A1M,

因为,又∠BA1M为锐角,所以∠BA1M＝30°,故C正确．

对于D,

因为AA1⊥平面ABCD,又BD⊂平面ABCD,所以AA1⊥BD,

又BD⊥AC,且AA1,AC⊂平面ACC1A1,AA1∩AC＝A,

所以BD⊥平面ACC1A1,又BD⊂平面A1BD,

依据面面垂直地判定定理可得平面A1BD⊥平面ACC1A1,故D正确．

故选：BCD．

12．设有下面4个命题,正确地是（　　）

A．若复数z满足,则z∈R B．若复数z满足z2∈R,则z∈R

C．若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1＝D．若复数z满足z∈R,则∈R

【思路】依据题意,依次思路选项：

对于A,设z＝a+bi,则＝＝（a﹣bi）,若,必有b＝0,则z∈R,A正确。对于B,若z＝i,则z2＝i2＝﹣1∈R,B错误。

对于C,若z1＝i,z2＝﹣2i,则z1z2＝2∈R,C错误。

对于D,设z＝a+bi,若复数z满足z∈R,则b＝0,则＝a,必有∈R,D正确。

故选：AD．

三，填空题（本题共4小题,征小题5分,共20分）

13．一个正方体地顶点都在半径为R地球面上,则该正方体地体积为　　．

【结果】

【思路】设正方体地棱长为a,

所以a2+a2+a2＝（2R）2,则,所以,

所以．故结果为：．

14．农场种植地甲,乙两种水稻,在面积相等地两块稻田中连续6年地产量如表：

品种第1年第2年第3年第4年第5年第6年

甲/kg800820800750810820

乙/kg790860850750760790

那种水稻地产量比较稳定地是　　（填甲或乙）．

【结果】甲

【思路】由表中地数据,可得甲地平均产量＝,甲地方差•••+（820﹣800）2]≈566.67,

乙地平均产量,

乙地方差+••••+（790﹣800）2≈1733.33,

甲乙地平均产量相等,甲地方差比乙地小,依据方差地定义,甲地产量波动小,甲稳定．

故结果为：甲．

15．写出一个最小正周期为π地奇函数f（x）＝　　．（写一个即可）

【结果】sin2x

【思路】写出一个最小正周期为π地奇函数为f（x）＝sin2x,故结果为：sin2x．

16．如图,菱形ABCD地边长为1,∠BAD＝60°,E是AB地中点,F是BC边上靠近点B地三等分点,AF与DE交于点M,则＝　　,∠EMF地余弦值为　　．

【结果】﹣

【思路】依据题意,菱形ABCD地边长为1,∠BAD＝60°,则∠ABC＝120°,

F是BC边上靠近点B地三等分点,则＝,

则＝+＝+,则||2＝2+•+2＝,

故||＝,

设∠EMF＝θ,即和地夹角为θ,即和地夹角为θ,

E是AB地中点,则＝,＝﹣＝﹣,

则||2＝|﹣|2＝2﹣•+2＝,则||＝。

•＝（﹣）•（+）＝（﹣）•（+）

＝×2﹣×2﹣•＝﹣,

则cosθ＝＝＝﹣,

即∠EMF地余弦值为﹣。故结果为：,﹣．

四，解答题（本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）

17．在款件：①a cos C+a sin C﹣b﹣c＝0,②（c﹣b）2＝a2﹣bc,③＝（a,b）,＝

（cos A,sin B）,且∥。这三个款件中任选一个,补充在下面问题中：△ABC中,内角A,B,C 所对边长分别是a,b,c,若b＝2,c＝,____．求△ABC地面积．

【解】选择款件①：

由正弦定理知,,

∵a cos C+a sin C﹣b﹣c＝0,

∴sin A cos C+sin A sin C﹣sin B﹣sin C＝0,

∵sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C,

∴sin A cos C+sin A sin C﹣sin C＝sin A cos C+cos A sin C,

化简得,sin A sin C﹣sin C＝cos A sin C,

∵sin C≠0,∴sin A﹣1＝cos A,即2sin（A﹣）＝1,

∵A∈（0,π）,∴A﹣＝,即A＝,∴sin A＝,

∴△ABC地面积S＝bc sin A＝×2××＝．

选择款件②：∵（c﹣b）2＝a2﹣bc,∴b2+c2﹣a2＝bc,

由余弦定理知,cos A＝＝＝,∵A∈（0,π）,∴sin A＝,

∴△ABC地面积S＝bc sin A＝×2××＝．

选择款件③：∵∥,∴a sin B＝b cos A,

由正弦定理知,＝,∴sin A sin B＝sin B cos A,

∵sin B≠0,∴sin A＝cos A,即tan A＝＝,

∵A∈（0,π）,∴A＝,sin A＝,

∴△ABC地面积S＝bc sin A＝×2××＝．

18．一木块如图所示,点P在平面VAC内,过点P将木块锯开．

（Ⅰ）使直线VB和VC平行于截面,在木块表面应该怎样画线（保留作图痕迹,简要说明）．

（Ⅱ）若P是△VAC地重心,在款件（Ⅰ）下求锯开地两个多面体地体积之比,

【解】（Ⅰ）过平面VAC内一点P作直线DE∥VC,交VA于D,交AC于E。

过平面VBA内一点D作直线DF∥VB,交AB于F,

则DE,DF所确定地截面DEF为所求,如图所示：

（Ⅱ）若P是△VAC地重心,则△DEF与△VCB地相似比为,

所以三棱锥A﹣DEF与三棱锥A﹣VCB地体积比为＝,

所以锯开地两个多面体地体积之比：（1﹣）＝8：19．

19．在一个文艺比赛中,10名专业评委和10名观众代表各组成一个评委小组．给参赛选手甲,乙打分如下：（用小组A,小组B代表两个打分组）

小组A：

甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 8.2 8.3 8.4 9.5

乙：7.0 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 8.3 8.3 8.5 8.5

小组B：

甲：7.4 7.5 7.5 7.6 8.0 8.0 8.2 8.9 9.0 9.0

乙：6.9 7.5 7.6 7.8 7.8 8.0 8.0 8.5 9.0 9.9

（Ⅰ）选择一个可以度量打分相似性地量,并对每组评委地打分计算度量值,依据这个值判断小组A与小组B那个更专业？

（Ⅱ）依据（Ⅰ）地判断结果,计算专业评委打分地参赛选手甲，乙地平均分。

（Ⅲ）若用专业评委打分地数据．选手地最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后．剩下8个评委评分地平均分．那么,这两位选手地最后得分是多少？若直接用10位评委评分地平均数作为选手地得分,两位选手地排名有变化吗？你认为哪种评分办法更好？（只判断不说明）．（以上计算结果保留两位小数）

【解】（Ⅰ）对于小组A,

＝（7.5+7.5+7.8+7.8+8.0+8.0+8.2+8.3+8.4+9.5）＝8.1,

＝[（7.5﹣8.1）2+（7.5﹣8.1）2+（7.8﹣8.1）2+（7.8﹣8.1）2+（8.0﹣8.1）2+（8.0﹣8.1）2+（8.2﹣8.1）2+（8.3﹣8.1）2+（8.4﹣8.1）2+（9.5﹣8.1）2]＝＝0.302．小组B：

＝（7.4+7.5+7.5+7.6+8.0+8.0+8.2+8.9+9.0+9.9）＝8.2,

＝[（7.4﹣8.2）2+（7.5﹣8.2）2+（7.5﹣8.2）2+（7.6﹣8.2）2+（8.0﹣8.2）2+（8.0﹣

8.2）2+（8.2﹣8.2）2+（8.9﹣8.2）2+（9.0﹣8.2）2+（9.9﹣8.2）2]＝,

∵0.302＜0.608,∴小组A是专业评委．

（Ⅱ）＝（7.5+7.5+7.8+7.8+8.0+8.0+8.2+8.3+8.4+9.5）＝8.1,

＝（7.0+7.8+7.8+7.8+8.0+8.0+8.3+8.3+8.5+8.5）＝8.0．

（Ⅲ）＝（7.5+7.8+7.8+8.0+8.0+8.2+8.3+8.4）＝8,

＝（7.8+7.8+7.8+8.0+8.0+8.3+8.3+8.5）＝8.06．

排名有变化,我认为去掉最高分和最低分地评分方式更好．

20．如图,在边长为2地正方形ABCD中（图1）．点E是AB中点,点F是BC中点,将△AED,△BEF,△DCF分别沿DE,EF,DF折起．使A,B,C三点重合于点P（图2）．

（Ⅰ）求证PD⊥EF。

（Ⅱ）设M是DF地中点,求直线PM与平面EFD所成角地正弦值．

【解】（1）由题可知,∵DP⊥PE,DP⊥PF,PE∩PF＝P,∴DP⊥平面PEF,

∵EF⊂平面PEF,∴DP⊥EF。

（2）如图,MC＝＝,即,设点P到平面DEF地距离为h,

∵V P﹣EFD＝V D﹣PEF,∴,

∴＝＝,直线PM与平面EFD所成角地正弦值为＝．

21．如图,已知直线m∥n,ED垂直于直线m,n,ED＝4．点A是ED地中点,B是n上一动点,作AC⊥AB,且使AC与直线m交于C,设∠ABD＝α．

（Ⅰ）写出△ABC地周长l有关角α地函数思路式l（α）。

（Ⅱ）求l（α）地最小值．

【解】（Ⅰ）因为ED垂直于直线n,所以在△ADB中,由AD＝ED＝2,且∠ABD＝α,所以AB ＝。而因为AC⊥AB,所以∠EAC＝∠ABD＝α,

所以在△AEC中,AC＝,

所以BC＝,

所以△ABC地周长l（α）＝,α∈（0,）．

（Ⅱ）l（α）＝＝,

令,则因为α∈（0,）,所以α+∈（,）,

所以t∈（1,,则sinα+cosα＝,

于是,l（α）＝≥,

所以l（α）地最小值为．

22．如图,要测量河对岸地塔高AB．请设计一个方案,包括：

（Ⅰ）指出需要测量地数据（用字母表示,并在图中标出）。

（Ⅱ）用文字和公式写出计算AB地长地步骤．

【解】（Ⅰ）选择与B在同一水平面内地两个观测点C，D,如图,

测出∠BCD，∠BDC地大小及CD地长度,并在C处测得建筑物顶端A地仰角∠ACB地大小,则可得到建筑物AB地高度。

（Ⅱ）（2）由（1）,∠CBD＝180°﹣（∠BCD+∠BDC）,

由正弦定理得,,

∴BC＝。

在△ABC中,∠ABC＝90°,

∴AB＝BC tan∠ACB＝．下载本文