图形的变换是新课标下的初中数学中的重要内容，在复习二次函数时，可将它的图象--抛物线进行平移、关于x轴、y轴成轴对称或关于原点O(或它的顶点)成中心对称等变换，求对应的抛物线的解析式。

　　解决这类问题的关键是能正确求出变换后的抛物线的顶点坐标及确定抛物线的开口方向。 

　　例：已知；抛物线y=-x2+2x+3，回答下列问题， 

　　(1)分别写出此抛物线的顶点P，与x轴的两个交点A、B(A点在B点的左侧)，与y轴的交点c的坐标。

　　答：P(1，4)，A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)

　　(2)求抛物线y=-x2+2x+3关于y轴对称的抛物线的解析式。 

　　解：y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，因为此抛物线的顶点P(1，4)关于y轴的对称点为P1(-1，4)，

　　所以，所求抛物线的解析式为y=-(x+1)2+4，即y=-x2-2x+3。

　　(在这个变换过程中，点C(0，3)是不动点)

　　(2)求抛物线y=-x2+2x+3关于x轴对称的抛物线的解析式。

　　解：若以抛物线y=-x2+2x+3的顶点入手， 

　　∵点P(1，4)关于x轴的对称点为P2(1，-4)，而且原抛物线y=-x2+2x+3在关于x轴对称的变换过程中，开口方向由向下变为向上，

　　∴所求抛物线的解析式为

　　y=(x-1)2-4，即y=x2-2x-3

　　(在这个变换过程中，点A(-1，0)，B(3，0)是不动点)

　　若以函数值的正、负入手，抛物线y=-x2+2x+3关于x轴对称的抛物线的解析式为y=-(-x2+2x+3)=x2-2x-3。

　　(3)求抛物线y=-x2+2x+3关于原点O对称的抛物线的解析式

　　解：∵点P(1，4)关于原点O的对称点为P3(-1，-4)，而且抛物线y=-x2+2x+3关于原点O对称的过程中开口方向由向下变为向上，

　　∴所求抛物线的解析式为y=(x+1)2-4，即y=x2+2x-3。

　　(在这个变换过程中，原抛物线y=-x2+2x+3上的点，都绕原点O旋转180°)

　　(4)求抛物线y=-x2+2x+3关于顶点P对称的抛物线的解析式。 

　　解：∵抛物线y=-x2+2x+3关于顶点P对称的抛物线与原抛物线的顶点相同，开口方向相反， 

　　∴所求抛物线的解析式为y=(x-1)2+4，即y=x2-2x+5

　　(5)若将抛物线y=-x2+2x+3向左平移2个单位长度，且向下平移3个单位长度，求所得抛物线的解析式。 

　　解：当抛物线y=-x2+2x+3向左平移2个单位长度，且向下平移3个单位长度时，原抛物线的顶点P(1，4)移至P5(-1，1)点，

　　∴所求抛物线的解析式为

　　y=-(x+1)2+1，即y=-x2-2x

　　研究思考题： 

　　1. 已知：函数y=x2-2x-3，试分别画下列函数的图象。 

　　(1)y=|x2-2x-3| 

　　(2)y=|x|2-2|x|-3

　　参考解答： 

　　(1)解：y=x2-2x-3=(x+1)(x-3) 

　　(2)解：

　　函数的图象关于y轴对称

　　二、依据已知条件，正确求出二次函数的解析式 

　　二次函数的解析式是研究二次函数性质的基本依据，因此，有关二次函数的综合题，往往要求考生能依据已知条件，正确求出相应的函数解析式，这是解决问题的第一步。

　　例2. 已知：如图，抛物线y=-2x2+mx+m与x轴的一个交点为A，与y轴的交点为C，且OA=OC，求m的值。

　　分析：解题的关键是，如何利用C点的坐标(0，m)以及OA=OC这个条件，正确表示出A点的坐标。 

　　解：由已知，抛物线y=-2x2+mx+m与y轴的交点C的坐标为(0，m)

　　∵OA=OC，A点在x轴的负半轴上，

　　∴xA=-m，即A点的坐标为(-m，0)

　　又∵点A在抛物线y=-2x2+mx+m上，

　　∴-2m2-m2+m=0即3m2-m=0

　　解得m=0或

　　∵抛物线y=-2x2+mx+m与x轴有两个公共点，

　　∴△=m2+8m>0

　　∴m=0舍去

　　，即此抛物线的解析式为

　　研究思考题： 

　　若抛物线y=-2x2+mx+m与x轴交于A、B两点(A点在B点的左侧)，其顶点为P，且∠APB=90°，求m的值。

　　参考解答 

　　解：令y=-2x2+mx+m=0，设A、B两点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，则x1，x2是方程-2x2+mx+m=0的两个根，由求根公式，不难得出

　　，其中m<-8或m>0，

　　又∵此抛物线的顶点P的坐标为

　　∴∠APB=90°时，由抛物线的对称性，得△APB是等腰直角三角形

　　，即

　　m2+8m-4=0

　　解得

　　例3. 已知：如图10，抛物线y=ax2+bx+c(a<0)交x轴于点A(-1，0)，B(3，0)，交y轴于点C，顶点为D，以BD为直径的⊙M恰好过点C。

　　(1)求抛物线的解析式； 

　　(2)抛物线上是否存在点P使△PBD为直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由。

　　解：(1)∵A(-1，0)，B(3，0)是抛物线y=ax2+bx=c(a<0)与x轴的两个交点

　　∴不难得出y=a(x+1)(x-3)(a<0)

　　=a(x2-2x-3)

　　=a(x-1)2-4a

　　∴点C(0，-3a)，D(1，-4a)(a<0)

　　如图11所示，作DE⊥y轴于点E，∴E(0，-4a)

　　∵C是⊙M上一点，BD为直径

　　∴∠DCB=90°

　　∴△DEC∽△COB

　　∴a2=1(a<0)解得a=-1

　　∴y=-(x2-2x-3)=-x2+2x+3为所求。

　　(2)符合条件的点P存在，且共有三个，理由如下

　　①∠DPB=90°，则点P与点C重合，即P1(0，3)为所求；

　　②若∠PBD=90°，如图12所示，作DH⊥x轴于点H，PF⊥x轴于点F，

　　则△PFB∽△BHD，

　　设点P的坐标为(p，-p2+2p+3)，其中p<0，则

　　PF=|-p2+2p+3|=p2-2p-3

　　FB=xB-xF=3-p，HB=2，HD=4，

　　2p2-4p-6=3-p

　　2p2-3p-9=0(p<0)

　　(2p+3)(p-3)=0

　　∵p<0，∴只有

　　③若∠PDB=90°，如图13所示，作PQ⊥DE于点Q

　　∵∠EDH=∠PDB=90°

　　∴∠QDP=∠HDB

　　∴△PQD∽△BHD

　　设P点的坐标为，其中0　　则QD=xD-xP=1-p

　　PQ=yD-yP=4-(-p2+2p+3)=p2-2p+1

　　由

　　2(p2-2p+1)=1-p

　　2p2-3p+1=0

　　(2p-1)(p-1)=0

　　∵0　　从而

　　综上所述，符合条件的点P的坐标分别为P1(0，3)，

　　研究思考题： 

　　已知：抛物线y=x2-(2m-1)x+m2-m-2与x轴交于A、B两点(A点在B点的左侧)，与y轴交于C点，若△ABC的面积为6，求此抛物线的解析式。

　　参考解答： 

　　解：令y=x2-(2m-1)x+(m2-m-2)=0

　　x2-(2m-1)x+(m-2)(m+1)=0

　　[x-(m-2)][x-(m+1)]=0

　　x-(m-2)=0或x-(m+1)=0

　　x=m-2或x=m+1

　　∵m-2　　∴xA=m-2，xB=m+1

　　∴A(m-2，0)，B(m+1，0)，且AB=3

　　由已知，C(0，m2-m-2)

　　若m2-m-2>0时，∵△ABC的面积=6

　　m2-m-6=0

　　(m-3)(m+2)=0

　　解得m=3或m=-2

　　当m=3时，y=x2-5x+4，

　　当m=-2时，y=x2+5x+4，

　　若m2-m-2<0时，∵△ABC的面积=6

　　即m2-m+2=0

　　∴△=1-8=-7<0

　　∴方程无实根，(即此种情况无解)

二次函数的解析式 

　　问题的提出：

　　改革开放后不少农村都用上了自动喷灌设备如图1所示，设水管AB高出地面1.5米，在B处有一个自动旋转的喷头，一瞬间，喷头的水流呈抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线与水平地面成45°角，水流的最高点C比喷头B高出2米，求水流的落地点D离A点的距离是多少米。

　　分析：在这个实际问题中，由于一瞬间，喷头喷出的水流呈开口向下，对称轴与地面垂直的抛物线，因此，欲求水流落地点D离A点的距离，可通过建立适当的直角坐标系，求出水流形成的抛物线的解析式(即目标函数)，就可使问题得以解决。

　　解：如图2，建立直角坐标系(A为坐标系原点，射线AB为y轴的正半轴，射线AD为x轴的正半轴，由题意可得

B(0，1.5)，C(2，3.5)

　　设水流形成的抛物线的解析式为y=a(x-2)2+3.5(0≤x≤xD)

　　∵点B(0，1.5)在抛物线上

　　∴a(0-2)2+3.5=1.5，解得 

　　令y=0，即 

　　∴ 

　　答：水流落地点D离喷水管AB的水平距离AD为米。

　　从这个实际问题的解决过程可以看出，如果要用二次函数的知识解决某些实际问题，求出解决该问题所需目标函数的解析式就成为问题的关键。

　　知识要点：

　　一般来说，二次函数的解析式常见有以下几种形式。

　　(1)一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)

　　(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a≠0)

　　要确定二次函数解析式，就是要确定解析式中的待定系数(常数)，由于每一种形式中都含有三个待定系数，所以用待定系数法求二次函数的解析式，需要已知三个条件。

　　当已知抛物线上任意三点时，通常设函数解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后列出三元一次方程组求解。

　　当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设函数解析式为顶点式y=a(x-h)2+k求解。

　　(3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，其中x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标。

　　例题解析：

　　例1.已知抛物线经过A(1，0)，B(0，-3)，且对称轴x=2，试求出函数关系式。

　　[分析]由于已知条件中有对称轴方程，由此既可用一般式，也可用顶点式，利用待定系数法来求函数关系式。

　　解法1：由已知，设y=ax2+bx-3为所求，则

　　∴所求函数的解析式为y=-x2+4x-3

　　解法2：由已知，设所求解析式为y=a(x-2)2+k，则

　　∴y=-(x-2)2+1=-x2+4x-3

　　∴所求函数的解析式为y=-x2+4x-3.

　　说明：在设二次函数的解析式时，要充分利用已知条件，使待定的字母系数尽可能少。

　　例2.一条抛物线的形状与抛物线y=x2相同，且对称轴是直线，与y轴交于点(0，-1)，试求函数表达式.

　　解：∵所求抛物线的形状与抛物线y=x2相同，且与y轴交于点(0，-1)

　　∴|a|=1且c=-1

　　∴设y=x2+b1x-1或y=-x2+b2x-1为所求抛物线的解析式

　　又∵它的对称轴是直线 

　　即b1=1或b2=-1

　　∴所求函数的表达式为y=x2+x-1或y=-x2-x-1.

　　说明：解例2这样的问题，一定要认真仔细审题，准确理解题意，如果“认为一条抛物线的形状与抛物线y=x2相同”，就是a=1，那么就会出现丢解。

　　例3.设二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，如图3所示，若AC=20，BC=15，

∠ACB=90°，求这个二次函数的解析式。

　　[分析]抛物线上三点坐标隐含在几何图形间的关系中，联想用三角形相似的性质探求出三个点的坐标。

　　解：在△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=20，BC=15

　　又∵CO⊥AB于点O，∴△ABC∽△CBO

　　则AO=16，OC=12

　　∴A(-16，0)，B(9，0)，C(0，12)

　　设二次函数的解析式为y=a(x+16)(x-9)

　　将C(0，12)代入，得 

　　问题引伸：若P是例3中二次函数的图象上的一点，且△PAB的面积是△ABC面积的，试求出P点的坐标。

　　分析：欲使△PAB的面积是△ABC面积的 

　　只要使 

　　x2+7x-48=0 x2+7x-240=0

　　例4. 如图5，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，

D(1，8)在抛物线上，M为抛物线的顶点。

　　(1)求抛物线的解析式；

　　(2)求△MCB的面积。

　　解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+5，由已知，得

　　∴y=-x2+4x+5

　　(2)如图6，作ME⊥x轴于点E，交BC于点N

　　∵y=-x2+4x+5=-(x2-4x+4)+9=-(x-2)2+9

　　∴M(2，9)

　　令y=-x2+4x+5=0即x2-4x-5=0

　　得A(-1，0)，B(5，0)

　　∵S△MCB=S梯形COEM+S△MEB-S△COB

　　=15

　　∴S△MCB=15

　　说明：在求△MCB的面积时，例4的第(2)题给出了一种如何将问题转化的基本方法。请读者一定要掌握这种基本方法。

　　另外，由于本题的特殊性OB=OC=5，所以∠OBC=45°，从而EN=EB=3，这样NM=9-3=6

　　例5. 已知：抛物线y=-x2+4x+5

　　(1)试求此抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式；

　　(2)试求此抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式；

　　(3)试求此抛物线关于原点对称的抛物线的解析式；

　　(4)试求此抛物线关于其顶点M成中心对称的抛物线的解析式；

　　分析：下面重点研究一下第(1)题的几种解法，供读者参考

　　(1)解法1：y=-x2+4x+5=-(x2-4x-5)=-(x+1)(x-5)

　　当抛物线y=-x2+4x+5作关于x轴的轴对称变换时，抛物线与x轴的交点坐标不变，开口大小不变，只是改变了开口方向。

　　∴所求抛物线为y=+(x+1)(x-5)=x2-4x-5

　　解法2：y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9

　　当抛物线y=-x2+4x+5作关于x轴的轴对称变换时，所得抛物线的顶点M′的坐标为(2，-9)，而它的开口大小不变，开口方向变为向上。

　　∴所求抛物线为y=(x-2)2-9=x2-4x-5

　　解法3：设点P(x，y)是所求抛物线上的任意一点，则它关于x轴的对称点P′(x，-y)在抛物线y=-x2+4x+5上，所以-y=-x2+4x+5，即y=x2-4x-5为所求。

　　请读者自已完成第(2)～(4)小题的解答，想一想，在每一个变换中，哪些量不变，哪些量要改变？以及它们如何在改变？另外，解决这类问题，你认真首先要掌握的基本方法、步骤是什么？

　　(参：(2)y=-x2-4x+5；(3)y=x2+4x-5；(4)y=x2-4x+13)　 

二次函数总复习 

　　重点：从另外的角度(二次三项式)进一步深入认识有关二次函数的知识、方法、问题(二次函数定义、画法和图象的特点、性质，二次函数图象的变换，二次函数与二次方程的关系).

　　难点：面对具体问题灵活运用概念、方法分析解决问题.

　　※二次函数基本概念考查题

　　例1．1)求二次函数y=x2-2x-1图象的顶点坐标及它与x轴的交点坐标．

　　解析：由y=x2-2x-1=(x-1)2-2可知其顶点坐标为(1，-2)

　　由x2-2x-1=0解得x=1，所以其图象与x轴的交点坐标为：

　　(1，0)，(1，0).

　　2)知一抛物线与x轴的交点是、B(1，0)，且经过点C(2，8)

　　(1)求该抛物线的解析式；

　　(2)求该抛物线的顶点坐标.

　　解：(1)设这个抛物线的解析式为 

　　由已知，抛物线过，B(1，0)，C(2，8)三点，得 

　　解这个方程组，得 

　　∴所求抛物线的解析式为；

　　(2) 

　　∴该抛物线的顶点坐标为；

　　3)在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点．

　　(1)求该二次函数的解析式；

　　(2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标．

　　解：(1)设二次函数解析式为，

　　二次函数图象过点，，得 

　　二次函数解析式为，即；

　　(2)令，得，解方程，得， 

　　二次函数图象与轴的两个交点坐标分别为和 

　　二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点

　　平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为.

　　评述：任意给我们一个二次函数的解析式，联想到它的图象准确定位其图象关键点的坐标，反过来，给了图象的一些特征描述求出解析式的问题都是我们学习二次函数底线的要求，务必要落实熟练操作.

　　例2．已知二次函数y=x2-bx+1(-1≤b≤1)，当b从-1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动.下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是( )

　　A、先往左上方移动，再往左下方移动；

　　B、先往左下方移动，再往左上方移动；

　　C、先往右上方移动，再往右下方移动；

　　D、先往右下方移动，再往右上方移动.

　　解析：选C

　　方法一:可以在-1到1之间找几个具体的数赋给b分别画出它们的图象，观察其变化过程；

　　方法二:已知二次函数图象顶点的坐标为(，)，所以可知抛物线的顶点在函数y=1-x2(思考，能否明白？)上变化.

　　※综合题例分析：

　　1、在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于两点(点在点的左边)，与轴交于点，其顶点的横坐标为1，且过点和．

　　(1)求此二次函数的表达式；

　　(2)若直线与线段交于点(不与点重合)，则是否存在这样的直线，使得

以为顶点的三角形与相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由；

　　(3)若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角与的大小(不必证明)，并写出此时点的横坐标的取值范围．

　　解：(1)二次函数图象顶点的横坐标为1，且过

点和，

　　由 解得 

　　此二次函数的表达式为 ．

　　(2)假设存在直线与线段交于点(不

与点重合)，使得以为顶点的三角形与相似．

　　在中，令，则由，解

得，．

　　令，得．．

　　设过点的直线交于点，过点作轴于点．

　　点的坐标为，点的坐标为，点的坐标

为．

　　．

　　要使或，

　　已有，则只需①

　　或②成立．

　　若是①，则有．而．

　　在中，由勾股定理，得．

　　解得 (负值舍去)．．

　　点的坐标为．将点的坐标代入中，求得．

　　满足条件的直线的函数表达式为．

　　［或求出直线的函数表达式为，则与直线平行的直线的函数表达式为．此时易

知，再求出直线的函数表达式为．联立求得点的坐标为．］

　　若是②，则有．而．

　　在中，由勾股定理，得．

　　解得 (负值舍去)．．点的坐标为．

　　将点的坐标代入中，求得．满足条件的直线的函数表达式为．

　　存在直线或与线段交于点(不与点重合)，使得以为顶点的三角形与相似，且点的坐标分别为或．

　　(3)设过点的直线与该二次函数的图象交于点．

　　将点的坐标代入中，求得．此直线的函数表达式为．

　　设点的坐标为，并代入，

得．

　　解得(不合题意，舍去)．．

　　点的坐标为．此时，锐角．

　　又二次函数的对称轴为，

　　点关于对称轴对称的点的坐标为．

　　当时，锐角；

　　当时，锐角；

　　当时，锐角．

　　评述：此题最难的地方是第二问，尤其是第二种情况的计算，这里需要我们认真领会的是“数形结合”的意识方法.

　　2、(四川眉山)如图，矩形A′BC′O′是矩形OABC(边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上)绕B点逆时针旋转得到的．O′点在x轴的正半轴上，B点的坐标为(1，3)．

　　(1)如果二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过O、O′两点且图象顶点M的纵坐标为-1．求这个二次函数的解析式；

　　(2)在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得ΔPOM为直角三角形?若存在，请求出P点的坐标和ΔPOM的面积；若不存在，请说明理由；

　　(3)求边C′O′所在直线的解析式．

　　解：(1)连结BO、BO′，则BO=BO′

　　∵BA⊥OO′，∴AO=AO′

　　∵B(1，3)，∴O′(2，0)，M(1，-1)

　　解得a=1，b=-2，c=0

　　∴所求二次函数的解析式为y=x2-2x

　　(2)设存在满足题设条件的点P(x，y)

　　连结OM、PM、OP，过P作PN⊥x轴于N，则∠POM=90°

　　∵M(1，-1)，A(1，0)，|AM|=|OA|，∴∠MOA=45°

　　∴∠PON=45°，∴|ON|=|NP|，即x=y

　　∵P(x，y)在二次函数y=x2-2x的图象上，∴x=x2-2x，解得x=0或x=3

　　∵P(x，y)在对称轴的右支上，∴x＞1

　　∴x=3，y=3即P(3，3)是所求的点；

　　连结MO′，显然△OMO′为等腰直角三角形

　　O′为满足条件的点，O′(2，0)

　　∴满足条件的点是P(2，0)或P(3，3)

　　(3)设AB与C′O′的交点为D(1，y)，显然Rt△ADO′≌Rt△C′DB

　　在Rt△ADO′中，AO′2+AD2=O′D2，即1+y2=(3-y)2解得 

　　，设边C′O′所在直线的解析式为y=kx+b

　　则 

　　∴所求直线解析式为.

　　评述：我们稍加回顾，可以发现在解决此类综合问题共同之处都在于审“形”，比如此题最难之处是第三问，这里发现全等就是最关键的步骤.此处亦可通过求出C′点的坐标来求O′C′的解析式，但显然需通过过C′点来进行相似构造.

二、例题 

　　例1、一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。

　　(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；

　　(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 

　　简解：

　　(1)由于抛物线的顶点是 (0，3.5)，故可设其解析式为y=ax2+3.5。又由于抛物线过(1.5，3.05)，于是求得a=-0.2。∴抛物线的解析式为y=-0.2x2+3.5。

　　(2)当x=-2.5时，y=2.25。∴球出手时，他距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.20(米)。 

　　评析：运用投球时球的运动轨迹、弹道轨迹、跳水时人体的运动轨迹，抛物线形桥孔等设计的二次函数应用问题屡见不鲜。解这类问题一般分为以下四个步骤：

　　(1)建立适当的直角坐标系(若题目中给出，不用重建)；

　　(2)根据给定的条件，找出抛物线上已知的点，并写出坐标；

　　(3)利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式。①当已知三个点的坐标时，可用一般式y=ax2+bx+c求其解析式；②当已知顶点坐标为(k，h)和另外一点的坐标时，可用顶点式y=a(x-k)2+h求其解析式；③当已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为(x1，0)、(x2，0)时，可用双根式y=a(x-x1)(x-x2)求其解析式；

　　(4)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解。 

　　例2、某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数． 

　　(1)试求y与x之间的关系式； 

　　(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 

　　解：(1)依题意设y=kx+b，则有 

　　所以y=-30x+960(16≤x≤32)． 

　　(2)每月获得利润P=(-30x+960)(x-16) 

　　=30(-x+32)(x-16) 

　　=30(+48x-512) 

　　=-30+1920． 

　　所以当x=24时，P有最大值，最大值为1920． 

　　答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元． 

　　注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值． 

　　例3、在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标(0，2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6，5) 

　　(1)求这个二次函数的解析式； 

　　(2)该男同学把铅球推出去多远？(精确到0.01米， )　　 

　　解：(1) 设二次函数的解析式为 

　　，顶点坐标为 (6，5) 

　　A(0，2)在抛物线上 

　　(2) 当时， 

　　(不合题意，舍去) 

　　（米） 

　　答：该同学把铅球抛出13.75米. 

　　例4、某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量（件），与每件的销售价 （元/件）可看成是一次函数关系： 

　　1.写出商场卖这种服装每天的销售利润 与每件的销售价之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）； 

　　2.通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？ 

　　分析：商场的利润是由每件商品的利润乘每天的销售的数量所决定。 

　　在这个问题中，每件服装的利润为（），而销售的件数是（+204），那么就能得到一个与之间的函数关系，这个函数是二次函数. 

　　要求销售的最大利润，就是要求这个二次函数的最大值. 

　　解：（1）由题意，销售利润与每件的销售价之间的函数关系为 

　　=（－42）（－3＋204），即=－32+8568 

　　（2）配方，得 =－3（－55）2+507 

　　∴当每件的销售价为55元时，可取得最大利润，每天最大销售利润为507元. 

　　例5、某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误. 

　　（1）求这条抛物线的解析式； 

　　（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？ 

　　并通过计算说明理由 

　　分析：（1）在给出的直角坐标系中，要确定抛物线的解析式，就要确定抛物线上三个点的坐标，如起跳点O（0，0），入水点（2，－10），最高点的纵点标为. 

　　（2）求出抛物线的解析式后，要判断此次跳水会不会失误，就是要看当该运动员在距池边水平距离为米.时，该运动员是不是距水面高度为5米. 

　　解：（1）在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为 . 

　　由题意，知O（0，0），B（2，－10），且顶点A的纵坐标为. 

　　解得或 

　　∵抛物线对称轴在轴右侧，∴ 

　　又∵抛物线开口向下，∴a＜0,b＞0 

　　∴抛物线的解析式为 

　　（2）当运动员在空中距池边的水平距离为米时， 

　　即 时， 

　　∴此时运动员距水面的高为 

　　因此，此次跳水会失误. 

　　例6、某服装经销商甲，库存有进价每套400元的A品牌服装1200套，正常销售时每套600元，每月可卖出100套，一年内刚好卖完，现在市场上流行B品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出价每套500元，每月可买出120套（两套服装的市场行情互不影响）。目前有一可进B品牌的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可是，经销商手头无流动资金可用，只有低价转让A品牌服装，经与经销商乙协商，达成协议，转让价格（元/套）与转让数量（套）有如下关系： 

　　转让数量（套） 1200　1100　1000　900　800　700　600　500　400　300　200　100 

　　价格（元/套） 　240　　250　 260　 270 　280　290 　300　310 　320　330 　340　350 

　　方案1：不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装； 

　　方案2：全部转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装； 

　　方案3：部份转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装，同时经销A品牌服装。 

　　问：

　　①经销商甲选择方案1与方案2一年内分别获得利润各多少元？ 

　　②经销商甲选择哪种方案可以使自己一年内获得最大利润？若选用方案3，请问他转让给经销商乙的A品牌服装的数量是多少（精确到百套）？此时他在一年内共得利润多少元？ 

　　解：经销商甲的进货成本是==480000（元） 

　　①若选方案1，则获利1200600-480000=240000（元） 

　　若选方案2，得转让款1200240=288000元，可进购B品牌服装套，一年内刚好卖空可获利1440500-480000=240000（元）。 

　　②设转让A品牌服装x套，则转让价格是每套元，可进购B品牌服装套，全部售出B品牌服装后得款元，此时还剩A品牌服装（1200-x）套，全部售出A品牌服装后得款600（1200-x）元，共获利，故当x=600套时，可的最大利润330000元。 

　　在上一问题中，我们结合身边的生活发现案例，建立数学模型，运用二次函数求最值的思想解之。得到了理论上的最优解。这正说明了数学正广泛地运用于经济生活。 

　　三、练习题： 

　　1、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量（件）与每件的销售价（元）满足一次函数： 

　　（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润与每件的销售价间的函数数关系式. 

　　（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？ 

　　2、如图，一边靠学校院墙，其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形的边米，面积为平方米. 

　　（1）求：与之间的函数关系式，并求当米2时，的值； 

　　（2）设矩形的边米，如果满足关系式 即矩形成黄金矩形，求此黄金矩形的长和宽. 

　　练习1答案： 

　　当定价为42元时，最大销售利润为432元. 

　　练习2答案：（1） 

　　当 时， 

　　（2）当 则 ① 

　　又 ② 

　　由①、②解得 ， 

　　其中20不合题意，舍去， 

　　当矩形成黄金矩形时，宽为，长为. 

　　3、某地要建造一个圆形喷水池，在水池垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图所示，如图建立直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是. 

　　请回答下列问题： 

　　1.柱子OA的高度为多少米？ 

　　2.喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？ 

　　3.若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能喷出的水流不至于落在池外？ 

　　练习3答案： 

　　（1）OA高度为米. 

　　（2）当时，，即水流距水平面的最大高为米. 

　　（3） 

　　其中不合题意， 

　　答：水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在池外. 

锐 角 三 角 形 

　　一、知识归纳 

　　1、锐角三角函数定义。 

　　2、互余角的三角函数间的关系。 

　　sin(900-α)=cosα, cos(900-α)=sinα, 

　　tan(900-α)=cotα, cot(900-α)=tanα. 

　　3、同角三角函数间的关系： 

　　平方关系：sin2α+cos2α=1 

　　倒数关系：cotα=(或tanα·cotα=1) 

　　商的关系：tanα=, cotα=. （这三个关系的证明均可由定义得出） 

　　4、三角函数值 

　　（1）特殊角三角函数值 

　　（2）00～900的任意角的三角函数值，查三角函数表。 

　　（3）锐角三角函数值的变化情况 

　　（i）锐角三角函数值都是正值 

　　（ii）当角度在00～900间变化时， 

　　正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 

　　余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 

　　正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 

　　余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 

　　（iii）当角度在00≤α≤900间变化时， 

　　0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0, 

　　当角度在00<α<900间变化时， 

　　tanα>0, cotα>0. 

　　二、例题分析 

　　1、已知在△ABC中，∠C=900，sinA=，求cosA+tanB. 

　　解法1：在△ABC中，∠C=900， sinA=， 

　　设BC=3k, AB=5k, 

　　∴由勾股定理可得AC=4k, 

　　∴cosA=, tanB=, 

　　∴cosA+tanB=+=. 

　　解法2：在△ABC中，∠C=900，∠A+∠B=900， 

　　∴sin2A+cos2A=1, 

　　∵sinA=, 

　　∴cosA===, 

　　∵cotA===, 

　　∴tanB=cotA=, 

　　∴cosA+tanB=+=. 

　　说明：已知一个角的三角函数值，求其他的三角函数值时，常用的方法有两个：利用定义或三角函数之间关系。 

　　2、如图△ABC中，∠BAC=1200，AB=10，AC=5，求sinB·sinC的值。 

　　分析：由所求得知，需将∠B，∠C分别置于直角三角形之中，另外已知∠A的邻补角是600，若要使其充分发挥作用，也需将其置于直角三角形中，所以考虑分别过点B，C向CA，BA的延长线作垂线段，即可顺利求解。 

　　解：过点B作BD⊥CA的延长线于点D，过点C作CE⊥BA的延长线于点E， 

　　∵∠BAC=1200， 

　　∴∠BAD=600，∠ABD=300，

　　∵AB=10， 

　　∴AD=5，由勾股定理得BD=5，

　　∵AC=5，CD=10， 

　　∴BC=5，sinC==， 

　　同理可求得，sinB=， 

　　∴sinB·sinC=·=。 

　　3、CD是直角三角形ABC的斜边AB上的高，△ACD，△BCD，△ABC的面积分别用P、Q、S表示，已知=，求sinB的值。 

　　解：设a、b、c是∠A、∠B、∠C的对边， 

　　∵∠ACB=900，CD⊥AB， 

　　∴△ACD∽△BCD∽△BAC， 

　　∴=，=， 

　　∵已知=， 

　　∴=，a4=b2c2, a2=bc……(1), 

　　∵∠ACB=900, ∴a2=c2-b2……(2), 

　　(2)代入(1)得：c2-b2=bc,两边除以c2, 将： 

　　1-()2=, 则()2+()-1=0, 

　　设=x，则x2+x-1=0, 

　　解之：x=（舍去负值）， 

　　∴x==, 

　　∴sinB==. 

　　4、在Rt△ABC中，∠C=900，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，D是斜边的中点，且CD=17，a+b+c=80，求tanA+tanB的值。 

　　解1：△ABC中，∠C=900， 

　　∵CD是斜边中线且CD=17， 

　　∴c=34，c2=a2+b2=342(1), 

　　∵a+b+c=80, 

　　∴a+b=46, ∴(a+b)2=462, 

　　∴a2+b2+2ab=462, ∴2ab=462-342, ∴ab=480(2), 

　　∵tanA+tanB=+=(3), 

　　将(1)(2)代入(3)则，tanA+tanB=. 

　　解2：∵△ABC中，∠C=900， CD=17，∴c=34， 

　　∵a+b+c=80, ∴a+b=46, 

　　∵ 　

　　再解方程组分别求出a, b，从而求tanA, tanB即可。 

　　说明：此例说明求三角函数可以根据具体条件用整体代换的方法。 

　　5、如图，在△ABC中，∠C=900，AC=BC，BD为AC边上的中线，求sin∠ABD和tan∠ABD的值。 

　　分析：欲求∠ABD的正弦值和正切值，就需要在直角三角形中解决问题，就是说∠ABD需要位于直角三角形中，所以想到过D点作AB边的垂线，既然要求sin∠ABD和tan∠ABD的值，就应确定一个衡量的标准，以便求出线段BD、DE和BE之间的数量关系。 

　　解：设AD=a, 则CD=a, BC=2a, 

　　在Rt△DCB中，BD===a, 

　　过D作AB的垂线，交AB于E， 

　　∵AC=BC，∠C=900， 

　　∴∠A=450， 

　　∴△AED是等腰直角三角形， 

　　∵AD=a， 

　　∴AD2=AE2+DE2，即a2=2DE2, 

　　∴DE=a, 

　　在Rt△DEB中，∵DE=a， BD=a, 

　　∴BE===a， 

　　∴sin∠ABD===, 

　　tan∠ABD===。 

　　6、已知：一张矩形的纸片ABCD，其中宽AD=6，按图所示折叠，使得C点恰好落在AB边上，且∠EDC=α，求：折痕DE的长。 

　　分析：以DE为轴折叠，折叠前在△EFD的位置，折叠后在△ECD的位置，即这两个三角形全等，

当用α的三角函数表示DE，须先求DC，在Rt△ECD中无法求，转而考虑在Rt△CAD中，

当想到∠CDA=900-2α，则DC能用已知条件来表示，转而DE也能用已知条件来表示。 

　　解：∵以ED为轴折叠， 

　　∴∠FDE=∠CDE=α， 

　　在R t△CAD中， 

　　∠CDA=900-2α，AD=6， 

　　∴cos∠CDA=, 

　　∴DC=, 

　　在Rt△ECD中，∵cosα=, 

　　∴DE===·=。 

　　说明：此题是用三角函数概念解题，首先要明白题意，然后进行思路分析，会用已知字母表示未知线段。 

　　7、化简(00<α<900)。 

　　解：∵1=sin2α+cos2α 

　　∴原式== 

　　　　　= 

　　　　　=|sinα-cosα| 

　　　　　=

　　说明： 

　　（1）本题涉及到三角函数中同角三角函数值的比大小等知识； 

　　（2）利用三角函数的定义，使“1”巧妙地转化为同角三角函数关系，进而化为完全平方式是本题的关键。

　　（3）本题应用了“分类讨论的思想”，从中要体会分类的标准要唯一，即角的取值范围。 

　　8、已知α，β均为锐角，且sinα>cosβ。 　求证：α+β>900。 

　　证明：∵α，β均为锐角， 

　　∴cosβ=sin(900-β), 

　　∵sinα>cosβ, 

　　∴sinα>sin(900-β), 

　　∵900-β也是锐角。 

　　α一个锐角的正弦值在00～900之间时，随着锐角的增大而增大。 

　　∴α>900-β, 

　　∴α+β>900. 

　　说明：（1）求α+β>900的问题，需要转化为两个角比大小问题，进而转化为三角函数值的增减性问题。

　　（2）为了利用三角函数的增减性，就需要把不同名的三角函数转化为同名的三角函数，转化的依据就是借助“互余角的三角函数的关系”。 

　　9、在△ABC中，求证tan=cot. 

　　证明：在△ABC中， 

　　∵∠A+∠B+∠C=1800， 

　　∴∠A+∠B=1800-∠C， 

　　∴=900-， 

　　∴tan=tan(900-)=cot。 

　　说明：等式tan=cot成立是有条件的，即“在△ABC中”，如果把这个条件去掉，则等式就不一定成立了，类似地还可以证明。” 

　　Sin=cos, cos=sin. 

　　10、已知θ为锐角，化简|1-tanθ|+|-tanθ|. 

　　分析：化简此式，即去掉绝对值符号，要去掉绝对值符号则要判断绝对值里面的数是正的，还是负数，此式有两个绝对值，则要看当|1-tanθ|=0时，1-tanθ=0, 即tanθ=1, θ=450, 当|-tanθ|=0时，-tanθ=0，即tanθ=，θ=600，所以450，600这两个角度把锐角分成了三部分，即00<θ<450, 450≤θ≤600, 600<θ<900, 因此要使θ在这三部分取值，去掉绝对值符号。 

　　解：当00<θ<450时， 

　　原式=1-tanθ+-tanθ=1+-2tanθ, 

　　当450≤θ≤600时， 

　　原式=tanθ-1+-tanθ=-1, 

　　当600<θ<900时， 

　　原式=tanθ-1+tanθ-=2tanθ-1-。 

　　说明：在去掉绝对值符号时，还要用到正切值在00～900间的变化情况，即在00～900之间tanα随角α的增大而增大。 

　2．互余角的三角函数关系式有： 

　　sin(90°-A)=cosA　　　　　　　 cos(90°-A)=sinA 

　　tan(90°-A)=cotA　　　　 　　　 cot(90°-A)=tanA 

　　3．同角的三角函数关系式有：

　　平方关系：sin2A+cos2A=1 

　　商的关系：=tanA；=cotA 

　　倒数关系：=cotA；=tanA。 

函数总复习 

　　一、内容综述： 

　　四种常见函数的图象和性质总结 

　　1．关于点的坐标的求法： 

　　方法有两种，一种是直接利用定义，结合几何直观图形，先求出有关垂线段的长，再根据该点的位置，明确其纵、横坐标的符号，并注意线段与坐标的转化，线段转换为坐标看象限加符号，坐标转换为线段加绝对值；另一种是根据该点纵、横坐标满足的条件确定，例如直线y=2x和y=-x-3的交点坐标，只需解方程组就可以了。 

　　2．对解析式中常数的认识： 

　　一次函数y=kx+b (k≠0)、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)及其它形式、反比例函数y=(k≠0),不同常数对图像位置的影响各不相同，它们所起的作用，一般是按其正、零、负三种情况来考虑的，一定要建立起图像位置和常数的对应关系。 

　　3．对于二次函数解析式，除了掌握一般式即：y=ax2+bx+c((a≠0)之外，还应掌握“顶点式”y=a(x-h)2+　k及“两根式”y=a(x-x1)(x-x2)，（其中x1,x2即为图象与x轴两个交点的横坐标）。当已知图象过任意三点时，可设“一般式”求解；当已知顶点坐标，又过另一点，可设“顶点式”求解；已知抛物线与x轴交点坐标时，可设“两根式”求解。总之，在确定二次函数解析式时，要认真审题，分析条件，恰当选择方法，以便运算简便。 

　　4．二次函数y=ax2与y=a(x-h)2+k的关系：图象开口方向相同，大小、形状相同，只是位置不同。y=a(x-h)2+k图象可通过y=ax2平行移动得到。当h>0时，向右平行移动|h|个单位；h<0向左平行移动|h|个单位；k>0向上移动|k|个单位；k<0向下移动|k|个单位；也可以看顶点的坐标的移动, 顶点从（0，0）移到（h,k)，由此容易确定平移的方向和单位。 

　　二、例题分析： 

　　例1．已知P(m, n)是一次函数y=-x+1图象上的一点，二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴两个交点的横坐标的平方和为1，问点N(m+1, n-1)是否在函数y=-图象上。 

　　分析：P(m, n)是图象上一点，说明P(m, n)适合关系式y=-x+1，代入则可得到关于m,n的一个关系，二次函数y=x2+mx+n与x轴两个交点的横坐标是方程x2+mx+n=0的两个根，则x1+x2=-m, x1x2=n, 由平方和为1即x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=1，又可得到关于m, n的一个关系，两个关系联立成方程组，可解出m, n，这种利用构造方程求函数系数的思想最为常见。 

　　解：∵P(m,n)在一次函数y=-x+1的图象上， 

　　∴ n=-m+1, ∴ m+n=1. 

　　设二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴的两个交点的横坐标为x1,x2, 

　　∴x12+x22=1, 

　　又∵x1+x2=-m, x1x2=n, 

　　∴ (x1+x2)2-2x1x2=1, 即m2-2n=1 

　由解这个方程组得：或。 

　　把m=-3, n=4代入x2+mx+n=0, 

　　x2-3x+4=0, Δ<0. 

　　∴ m=-3, n=4(舍去). 

　　把m=1, n=0代入x2+mx+n=0, 

　　x2+x=0, Δ>0 

　　∴点N（2，-1）， 

　　把点N代入y=-,当x=2时，y=-3≠-1. 

　　∴点N（2，-1）不在图象y=-上。 

　　说明：这是一道综合题，包括二次函数与一次函数和反比例函数，而且需要用到代数式的恒等变形，与一元二次方程的根与系数关系结合，求出m、n值后，需检验判别式，看是否与x轴有两个交点。当m=-3, n=4时，Δ<0，所以二次函数与x轴无交点，与已知不符，应在解题过程中舍去。是否在y=-图象上，还需把点（2，-1）代入y=-，满足此函数解析式，点在图象上，否则点不在图象上。 

　　例2．直线 y=-x与双曲线y=-的两个交点都在抛物线y=ax2+bx+c上，若抛物线顶点到y轴的距离为2，求此抛物线的解析式。 

　　分析：两函数图象交点的求法就是将两函数的解析式联立成方程组，方程组的解既为交点坐标。 

　　解：∵直线y=-x与双曲线y=-的交点都在抛物线y=ax2+bx+c上， 

　　由　　解这个方程组，得x=±1. 

　　∴当x=1时，y=-1. 

　　当x=-1时，y=1. 

　　经检验：，都是原方程的解。 

　　设两交点为A、B，∴A（1，-1），B（-1，1）。 

　　又∵抛物线顶点到y轴的距离为2，∴ 抛物线的对称轴为直线x=2或x=-2， 

　　当对称轴为直线x=2时， 

　　设所求的抛物线解析式为y=a(x-2)2+k，又∵过A（1，-1），B（-1，1）， 

　　∴　解方程组得 

　　∴ 抛物线的解析式为y=(x-2)2- 

　　即 y=x2-x-. 

　　当对称轴为直线x=-2时，设所求抛物线解析式为y=a(x+2)2+k, 

　　则有　解方程组得， 

　　∴ 抛物线解析式为y=-(x+2)2+ 

　　y=-x2-x+. 

　　∴所求抛物线解析式为：y=x2-x-或y=-x2-x+。 

　　说明：在求直线和双曲线的交点时，需列出方程组，通过解方程组求出x, y值，双曲线的解析式为分式方程，所以所求x, y值需检验。抛物线顶点到y轴距离为2，所以对称轴可在y轴左侧或右侧，所以要分类讨论，求出抛物线的两个解析式。 

　　例3、已知∠MAN=30°，在AM上有一动点B，作BC⊥AN于C，设BC的长度为x，△ABC的面积为y，试求y与x之间的函数关系式。 

　　分析：求两个变量y与x之间的函数关系式，就是想办法用x表示y,，BC=x,则想办法先用含x的代数式表示AC。 

　　解：如图 

　　在Rt△ABC中， 

　　∵∠A=30°，∠BCA=90° BC=x， 

　　∴AC=BC=x 

　　∴ 

　　说明：在含有30°、45°、60°的直角三角形中，应注意利用边之间的特殊倍数关系（如AC=BC）。 

　　例4、如图，锐角三角形ABC的边长BC＝6，面积为12，P在AB上，Q在AC上，且PQ∥BC，正方形PQRS的边长为x，正方形PQRS与△ABC的公共部分的面积为y。 

　　（1）当SR恰落在BC上时，求x， 

　　（2）当SR在△ABC外部时，求y与x间的函数关系式； 

　　（3）求y的最大值。 

　　略解：（1）由已知，△ABC的高AD=4。 

　　∵△APQ∽△ABC，（如图一） 

　　设AD与PQ交于点E　∴

　　∴ 

　　∴ 

　　(2)当SR在△ABC的外部时， 同样有， 

　　则，即AE= 

　　∴y=ED·PQ＝x（4-）=-2+4x（） 

　　（3）∵a=-<0,y=-其中, 

　　∴当x=3时,y取得最大值6. 

　　说明:此例将线段PQ的长设为x,正方形PQRS与△ABC的公共部分的面积设为y,寻找它们之间的函数关系.注意自变量的取值范围;在y取最大值时,要注意顶点(3,6)的横坐标是否在取值范围内. 

　　例5．（ 潍坊市中考题）某公园草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4m加设不锈钢管（如图一）作成的立柱。为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图二所示的坐标系进行计算。 

　　（1）求该抛物线的解析式； 　　（2）计算所需不锈钢管立柱的总长度。 

　　分析：图中给出了一些数量，并已经过护栏中心建立了平面直角坐标系， 所以求二次函数的解析式关键是找到一些条件建立方程组。因为对称轴是 y轴，所以b=0,可以设二次函数为y=ax2+c. 

　　解：（1）在如图所示坐标中，设函数解析式为y=ax2+c,B点坐标为（0,0.5），C点坐标为（1，0）。 

　　分别代入y=ax2+c得：

　　，解得 

　　抛物线的解析式为：y=-0.5x2+0.5 

　　（2）分别过AC的五等分点，C1，C2，C3，C4，作x轴的垂线，交抛物线于B1，B2，B3，B4，则C1B1，C2B2，C3B3，C4B4的长就是一段护栏内的四条立柱的长，点C3，C4的坐标为（0.2，0）、(0.6,0)，则B3，B4点的横坐标分别为x3=0.2,x4=0.6. 

　　将x3=0.2和x4=0.6分别代入 

　　y=-0.5x2+0.5得y3=0.48,y4=0.32 

　　由对称性得知，B1，B2点的纵坐标：y1=0.32,y2=0.48 

　　四条立柱的长为：C1B1=C4B4=0.32（m） 

　　C2B2=C3B3=0.48（m） 

　　所需不锈钢立柱的总长为 

　　(0.32+0.48)×2×50=80(m)。 

　　答：所需不锈钢立柱的总长为80m。 

期末复习：一元二次方程 

　　一、内容综述： 

　　二、例题分析： 

　　例1.选择简便的方法解下列方程： 

　　(1) (3x-1)(x-2)=(4x+1)(x-2) 

　　(2) 4x2-20x+25=7 

　　(3) 2(1+x)2=20.48 

　　(4) 3x2-4x-1=0 

　　解：(1)(3x-1)(x-2)=(4x+1)(x-2) 

　 　　　　(3x-1)(x-2)-(4x+1)(x-2)=0 

　 　　　　(x-2)(3x-1-4x-1)=0 

　　　 　　(x-2)(-x-2)=0 

　 　　　∴ x1=2, x2=-2. 

　　注意：方程的左、右两边都有因式(x-2)，不能把方程两边同时除以(x-2)，这样变形会丢根，若把括号打开，整理成一般式再去解，较为麻烦，应选用因式分解法解。 

　　(2)方程左边是完全平方式，利用直接开平方法解较为简便。 

　　(2x-5)2=7, 2x-5= 或 2x-5=- 

　　∴ x1=, x2=. 

　　(3)方程左边不能打开括号，化为一般式，较为复杂，应把方程两边同除以2，再用直接开平方法求解： 

　　(1+x)2=10.24, 

　　1+x=±3.2, 

　　∴ 1+x=3.2 或 1+x=-3.2, 

　 　　x=2.2 或 x=-4.2. 

　　(4)方程左边在有理数范围内不能进行因式分解，用公式法，3x2-4x-1=0， 

　　x==. 

　　∴ x1=,x2=. 

　　例2.求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。 

　　分析：根的存在性由根的判别式确定，所以先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。 

　　证明：Δ=(-2m)2-4(m2+1)(m2+4) 

　　　　　　=4m2-4(m4+5m2+4) 

　　　　　　=-4m4-16m2-16=-4(m4+4m2+4) 

　　　　　　=-4(m2+2)2 

　　∵ 不论m取任何实数(m2+2)2>0 

　　∴ -4(m2+2)2<0,即Δ<0. 

　　∴ 关于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。 

　　例3.在ΔABC中，∠C=90°，a、b、c分别为ΔABC的三边，且a-b=2, b∶c=3∶5,且二次方程x2-2(k+1)x+k2+12=0两实根的平方和是ΔABC斜边的平方，求k的值。 

　　分析：题目中给了边之间的两个关系，a-b=2, b∶c=3∶5，再利用勾股定理a2+b2=c2，可求出a、b、c,根据方程两实根的平方是ΔABC斜边的平方的条件，列出含k的关系式，就可以求出k值。注意要检验二次方程是否有实根。 

　　解：根据题意，在直角三角形ΔABC中， 

　　∵ 

　　设b=3k, c=5k, ∴ a=4k, 

　　∴ 4k-3k=2, ∴ k=2. 

　　∴ a=8, b=6, c=10. 

　　又∵ 二次方程x2-2(k+1)x+k2+12=0两根为x1,　x2, 

　　∴ x12+x22=c2, x1+x2=2(k+1), x1x2=k2+12, 

　　∴ (x1+x2)2-2x1x2=100 

　　即：[2(k+1)]2-2(k2+12)=100 

　　∴ 整理得k2+4k-60=0, 

　　∴ k1=-10, k2=6. 

　　当k1=-10时，Δ=4(k+1)2-4(k2+12)<0，舍去。 

　　当k2=6时，Δ=4(k+1)2-4(k2+12)>0,Δ>0, 符合题意， 

　　∴ k的值为6。 

　　说明：由根与系数的关系得到关于所求字母的方程，从而求出字母的取值，是常见的方法，在一些综合题目中，也常涉及。 

　　例4.已知：关于x的一元二次方程mx2-nx+2=0两根相等，方程x2-4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍，求(1)m、n的值；（2）判断方程x2-(k+n)x+(k-m)=0是否有实根。 

　　解：（1）关于x的一元二次方程mx2-nx+2=0两根相等， 

　　∴ Δ=n2-8m=0, 

　　又∵ 方程x2-4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍， 

　　设一根为x1, 则另一根为3x1, 

　　∴ x1·3x1=3n, ∴ x12=n, 

　　又∵ x1+3x1=4m, ∴ x1=m, ∴ m2=n 

　　∴ . 

　　（1）代入（2）m4-8m=0, ∴m=0或m=2. 

　　∵ 关于x的一元二次方程，mx2-nx+2=0(m≠0), 

　　∴ m=0舍去， 

　　∴ 当m=2, n=4. 

　　（2）∵ 方程x2-(k+n)x+(k-m)=0有实根， 

　　∴ Δ=(k+n)2-4(k-m) 

　 　　　=(k+4)2-4(k-2) 

　 　　　=k2+8k+16-4k+8 

　 　　　=k2+4k+24 

　　 　　=(k+2)2+20>0 

　　即Δ>0. 

　　∴ 方程有两个不相等的实数根。 

　　综上所述：方程这一章的内容在初三阶段是较简单的一部分，但它是学习函数的基础，另外根与系数的关系又常与其它内容综合在一起，所以一定要引起足够重视！ 

圆的总复习 

　　一、内容综述 

　　本章的重点是圆的有关性质，直线与圆、圆与圆的位置关系，特别是相交与相切的判定与性质，以及圆有关的计算。要抓住以下几个方面的内容： 

　　由圆的对称性和旋转不变性引出了许多重要的定理，垂径定理是其中比较重要的一个。一般方法是构造直角三角形，常常与勾股定理和解直角三角形知识相结合使用。 

　　圆周角定理、弦切角定理及其推论的应用使圆与相似三角形的知识紧密相联，正因为圆这一章经常要用到前面的几何知识，所以，有利于我们回顾与复习过去的定理和常用的解题方法，有利于几何知识的综合运用。 

　　直线与圆、圆与圆的位置关系，都是用圆心到直线（或圆心到圆心）的距离与圆的半径的大小关系来判定，特别要重视圆的切线的应用。在读题和证题中要重视已知条件中的关键词，例如已知条件中给出圆的切线，一般有两种思考途径：一是连结切点和圆心，利用切线垂直于过切点的半径来解决问题；二是利用弦切角来找所夹弧上的圆周角转化等角关系。又如，已知条件中给出圆的直径，常常联想到“直径所对的圆周角为直角”；若有弦垂直于直径，应联想到垂径定理。 

　　添加辅助线是几何证明中的重要手段，圆中常添的辅助线有连结半径，利用切线性质以及直角三角形解题；构造弦切角，利用角的转换证明相似三角形和比例线段；连结两圆的公共弦，沟通两圆间的角和弦之间的关系；对于条件中给出的相切两圆，常可过切点作公切线，利用弦切角定理、切线长定理或切割线定理进行计算和证明。 

　　二、例题精选： 

　　例1．如图1，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，的度数是72°，∠BCD=68°，求∠AED的度数。 

　　分析：本题的关键之处为“AB是直径”，我们可以利用“直径所对的圆周角为直角”，联想到要连结AC，推知∠ACD=22°，再利用所对的圆周角∠A=36°，从而求出ΔAEC的外角∠AED的度数。另外还可以根据弧来求角，为半圆，由的度数为72°，推知的度数为108°，它所对的圆周角∠B=54°，从而求出∠CEB。 

　　解法一：如图2，连结AC，由AB是直径，得∠ACB=90°，而∠BCD=68°，所以∠ACD=22°，又因为的度数为72°，得∠A=36°，所以∠AED=∠ACE＋∠A＝58°。 

　　解法二：由AB是直径，得为180°，其中为72°，推知为108°，所以∠B=54°。由三角形内角和知：∠CEB=180°－（∠CBE＋∠BCD）＝58°，即∠AED=58°。 

　　解法三：如图3，过点B作BF//CD交⊙O于F，所以，它们都等于72°，又因为∠BCD=68°，所以为136°，故为44°，从而为116°，它所对的圆周角∠ABF=58°，故利用同位角关系得∠AED=∠ABF=58°。 

　　说明：以上三种方法都是想办法将所求的角进行转化，而转换的角度不同，但关键的是转换为圆周角这种思想。 

　　例2．已知：如图　4所示，在⊙O中过弦AB的两个端点作AB的垂直弦AC和BD，直径MN分别交AC、BD于E、F。求证：OE=OF（或ME=FN）。 

　　分析：本题要证两条线段相等，常用证线段相等的方法很多，由图形知OE、OF在一直线上，而CA、DB同垂直于AB，则不妨过O作OH⊥AB，出现一组平行线，由垂径定理得AH=HB，再由平行线等分线段定理可证得OE=OF；也可以将OE、OF分别看成两个三角形中的边，再利用全等来证明线段相等，由于∠A=90°，连结BC，可知BC过圆心O，再证ΔEOC≌ΔFOB，即可证得OE=OF。 

　　证法一：如图5，过O作OH⊥AB于H，由垂径定理得AH=BH，又因为AC⊥AB，DB⊥AB，所以AC//OH//BD，H为AB中点，故O为EF的中点，即OE=OF（于是可证ME＝NF）。 

　　证法二：如图6，连结BC，因为AC⊥AB，∠A=90°，所以BC为直径，必过O点。 

　　在ΔEOC和ΔFOB中，OB=OC，∠1=∠2，又AC⊥AB，BD⊥AB，得AC//BD，

　　于是∠3=∠4，故ΔEOC≌ΔFOB，则OE=OF。 

　　说明：第一种方法可以一组出现平行线，又有垂径定理所以用起来很方便，第二种方法是证明线段相等的一般方法。 

　　例3．如图7所示，点C是⊙O的直径AB延长线上一点，CD切⊙O于D，DE⊥AB于E，求证：∠CDB=∠EDB。　　 

　　分析：本题要证角相等，可以先找一个等角代换（1）读题时注意到“CD切⊙O于D”，可联想弦切角定理，连结AD，找到∠A与∠CDB和∠EDB的关系；（2）读题时注意到“DE⊥AB，AB是直径”，可联想垂径定理，延长DE交⊙O于F；（3）读题时注意到“CD切⊙O于D”，可联想到切线的性质，连结OD得OD⊥DC，利用“等角的余角相等”来证明本题的结论。 

　　证法一：如图8，连结AD，因为AB是直径，ΔABD是直角三角形，又因为DE⊥AB，所以∠1=∠A，由CD切⊙O于D知∠2=∠A，故∠1=∠2。 

　　说明：证法一应用弦切角定理找到一个圆周角来转化角的关系。 

　　证法二：如图9，连结OD，由DC切⊙O于D得∠ODC=90°，∠2与∠ODB互余。又由DE⊥AB得∠DEB=90°，

∠1与∠DBO互余。而OD=OB，所以∠ODB=∠DBO，故∠1=∠2。 

　　说明：证法二应用“等角的余角相等”这一定理。 

　　证法三：如图10，延长DE交⊙O于F，连结BF，由AB是直径，且DE⊥AB，得，推知∠1=∠F，又因为DC切⊙O于D，∠2=∠F，所以∠1=∠2。 

　　说明：证法三应用垂径定理推知等弧，再推等圆周角。 

　　证法四：如图11，过点B作BG⊥AB交DC于G。因为AB是直径，所以BG为切线，而DG也为切线，所以DG=GB，

∠2=∠3，又因为DE//BG，∠1=∠3，故∠1=∠2。 

　　说明：本题以弦切角为核心知识，考查证明角相等的方法。 

　　例4．如图12所示，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，过点C的直线交⊙O于点D、E，交AB的延长线于点F，且CD=DE=EF，若AC=2，求⊙O的半径。 

　　分析：识图时应注意到，有两处可用切割线定理，也就是说圆外有两个点C、F，则有CA2＝CD·CE以及

FB·FA＝FE·FD，要求半径的长，可以先求出直径的长，由已知条件中“AC是切线”考虑用切割线定理，可以

求出CD=DE=EF=，再由勾股定理求出AF的长，最后再由割线定理求出BF，于是就可以计算出半径的长。 

　　另外还可以过点O作DE的垂线OM，利用ΔFOM∽FCA，通过对应线段成比例求出OF的长，再求出半径的长。 

　　解法一：如图12，因为AC是切线，CDE是割线，AC=2，CD=DE，

　　所以AC2=CD·CE，即22=2CD2，解得CD=DE=EF=，

　　于是FC=3，由AB是直径得∠BAC=90°，由勾股定理得AF=＝，

　　再由割线定理：FE·FD=FB·FA，解得FB=。

　　于是AB=，所以半径为。 

　　解法二：如图13，过O作OM⊥DE于M，则DM=ME，MF=FC，

　　又因为∠BAC=∠OMF=90°，∠F是公共角，所以ΔFOM∽ΔFCA，于是有。

　　由解法一，FA=，FC=3，解得OF=，

　　所以OA=-=。 

　　错误辨析：切割线定理在应用中要注意两种错误，一是误作CA2=CD·DE，二是误作CA2=CD·CF。错误的原因主要是对于定理中“这点到割线与圆的两个交点的线段”理解不到位。 

　　例5．如图14，两圆内切于点P，大圆的弦AB切小圆于C，求证：PC平分∠APB。 

　　分析：要证两个角相等，在圆中证明方法较多。（1）找等角代换；（2）找等弧对等角；（3）通过相似三角形的对应角相等；（4）利用等量减等量差相等……由已知条件两圆内切，常添置的辅助线是过点P作公切线MN，利用弦切角转化，还可以设PB交小圆于D，证ΔPDC∽ΔPCA；或者连结小圆圆心O1与切点C，又设PA交小圆于E，可证

O1C⊥AB，AB//DE，推知O1C⊥DE，由垂径定理知：，故从等弧推得所对的角亦相等。 

　　证法一：如图15，过P作公切线MN， 

　　因为MN、AB都是小圆的切线，所以∠NPC=∠PCA，即∠2+∠3=∠1+∠B。 

　　在大圆中，∠3=∠B，所以∠1=∠2，即PC平分∠APB。 

　　证法二：如图16，过P作公切线MN，设PB交小圆于D，连结DC。由弦切角定理，可知∠3=∠4=∠A，AB为小圆的切线，则∠ACP=∠CDP，所以ΔPDC∽ΔPCA，则∠1=∠2，PC平分∠APB。 

　　证法三：如图17，过P作公切线MN，设PA交小圆于E，连结O1C、DE，因为∠1=∠2=∠B，所以DE//AB。 

　　又因为C为切点，所以O1C⊥AB，得O1C⊥DE。由垂径定理得，，所以∠APC=∠BPC，PC平分∠APB。 

　　综上所述：圆一章是初中阶段几何中最难的一部分，也是最重要的一部分，能综合以前所学的所有平面几何知识，所以打好基础是关键。 

函数期末复习 

　　(一)、重点难点点拨： 

　　本章重点是理解一次函数、正比例函数、二次函数、反比例函数的概念、图象和性质。本章难点是对函数概念的理解，二次函数知识的灵活应用，二次函数、一元二次方程与根的判别式之间的关系。要掌握重点、难点，必须注意以下问题。 

　　一、直角坐标系 

　　1.点P和它的坐标(x, y)的关系 

　　(1)同一数轴上两点间的距离　　如果数轴上任意两点A、B的坐标分别为xA,xB，那么|AB|=|xB-xA|(即两点坐标差的绝对值)。 

　　(2)若P1P2平行于x轴，则y1=y2，于是P1P2=|x2-x1|。 

　　(3)若P1P2平行于y轴，则x1=x2, 于是P2P2=|y2-y1|。 

　　(4)若P1P2中有一个是原点，则P1P2=或P1P2=。 

　　(5)若P1，P2重合，则P1P2=0。 

　　二、函数的有关问题 

　　1.每一个含一个字母的代数式都是这个字母的函数。如2x-3是x的函数。 

　　2.求函数的解析式的一般用待定系数法。 

　　3.自变量的取值范围，确定自变量取值范围的依据主要是能使函数表达式有意义。 

　　4.二次函数与一元二次方程，根的判别式之间的关系。见表： 

　　1.一次函数y=kx+b(k≠0)是最简单的函数，令b=0时，即可化为正比例函数y=kx。依据两个条件可确定k、b，即可求出一次函数的解析式。 

　　2. 反比例函数y=(k≠0)，依据一个条件可确定k. 

　　3.依据三个条件可以确定a、b、c，即可求出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0). 

　　求二次函数式可设如下三种形式： 

　　(1)一般式y=ax2+bx+c(a≠0). 

　　(2)顶点式 y=a(x+m)2+n(a≠0) 

　　(3)两点式y=a(x-x1)(x-x2)(其中x1,x2是该二次函数的图象与x轴的两个交点)。 

　　已知二次函数图象上三点坐标、顶点坐标与x轴两交点横坐标时，分别对应使用上面三式表示较为方便。 

　　(二)、例题分析 

　　1.如图，ABCD中，AB=m，BC=n，∠ABC=120°，以AB为X轴，A为原点建立直角坐标系，求C、D两点的坐标。 

　　分析：分别过C、D两点作AX的垂线交X轴于E、F两点，分别解RtΔBCE、RtΔADF求解。

　　解：∵BC=AD=n, AB=CD=m, 在RtΔBCE中， 

　　CE=BC·sin∠CBE=nsin60°=,　AF=BE=BC·cos∠CBE= 

　　AE=AB+BE=m+, 

　　∴C点坐标为(m+,n), D点坐标为(,n). 

　　2.如图，在ΔABC中，AB=6，、BC=4，AC=3，DE//BC，设DB=x，ΔADE的周长为y。 

　　(1)求以y为函数，x为自变量的函数关系式。 

　　(2)画出此函数的图象。 

　　分析：考虑DE//BC，ΔADE∽ΔABC，利用相似三角形对应边成比例，求出函数解析式。 

　　解： (1)∵DE//BC， ∴ΔADE∽ΔABC， 

　　则， 即 ， 

　　则所求函数解析式为 y=-x+13(0　　(2)图象是连接两点(6,0),(0,13)间的线段，去掉这两个端点(图象略)。 

　　3.已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12。从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于。设梯形的面积为S，梯形中较短的底的长为x，试写出梯形面积S关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。 

　　分析：因为射线与矩形一边所成的角的正切值等于，但没有说明射线与矩形的哪一边所成角的正切值，故本题应考虑两种情况。 

　　解：如图∵ 矩形ABCD的长大于宽的2倍，矩形的周长为12， 

　　∴ AD>4, AB<2. 

　　根据题意，可分为以下两种情况： 

　　第一种情况，如图1 

　　当tan∠BAE=时，设CE=x, BE=m，则 

　　AB=DC=2m, AD=m+x 

　　∵ AB+AD=6, ∴ 2m+m+x=6, m=, 

　　S梯形AECD=(AD+EC)·DC=[(m+x)+x]·2m=m(m+2x)=, 

　　其中3　　第二种情况，如图2，当tan∠DAE=时，在矩形ABCD中，AD//BC， 

　　∴ ∠DAE=∠AEB， ∴ tan∠AEB=, 

　　设CE=x,　 AB=CD=n, 则BE=2n,　 AD=2n+x, 

　　∵ 矩形的周长为12，∴ AB+AD=6, 

　　∴ n+2n+x=6, n=. 

　　S梯形ABCD=(AD+EC)·DC

　　　　　　 =[(2n+x)+x]n

　　　　　　 =(n+x)n

　　　　　　 = 

　　　　　　 =-x2+x+4, 其中0下载本文