周宇宁

（西南交通大学 信息科学与技术学院，四川 成都 610031）

摘  要：图像去噪在图像处理中占有重要地位。本文在认真分析核各向异性扩散模型的基础上，利用核函数的性质，将线性核函数的全局特性与径向基核函数的局部特性相结合，提出了一种基于组合核函数的各向异性扩散模型。仿真实验表明，本文算法能够在有效去除噪声的同时很好的保持图像边缘细节信息。

1.引言

图像在获取、传输或变换过程中，限于硬件、环境、人为等因素，势必会受到噪声的干扰，使其质量变差。为有效减少噪声，改善图像质量，以更好满足后续图像处理和应用的要求，图像滤波已成为图像预处理的一个重要环节。其中，由于具有较好的处理结果，各向异性扩散滤波技术受到人们的普遍关注[1-5]。

1990年，Perona和Malik在各向同性扩散的基础上，用具有方向性的偏微分方程来代替Gaussian平滑滤波器，首次提出非线性各向异性扩散模型[1], 即Perona-Malik (P-M)模型。随之在图像处理的多个领域（如图像增强、图像分割）中得到广泛应用。近些年来，针对P-M模型的不足，许多学者作了进一步研究和改进。为解决P-M模型解的适定性问题，Catte等[2]通过高斯卷积核对噪声图像进行正则化处理，提出了非线性退化扩散模型。Black等[3]根据鲁棒统计与各向异性扩散的关系，利用Lorentzian、Tukey和 Huber误差范数，得到鲁棒各向异性扩散模型，可更好地保持图像的边缘细节信息。You等[4]则于2000年提出四阶各向异性扩散模型以克服P-M模型滤波后图像会存在“阶梯效应”的不足。另外，对低信噪比的图像，Yu等[5]将边缘和噪声的判决看作非线性可分的分类问题，进而通过核函数映射转换为高维特征空间的线性可分问题，设计实现了核各向异性扩散模型。本文在分析核各向异性扩散模型的基础上，利用核函数的性质，考虑将线性核函数的全局特性与径向基核函数的局部特性相结合，提出一种基于组合核函数的各向异性扩散模型。

2. 核方法

2.1 核函数基本理论

     根据Cover[6]理论，把非线性可分的分类问题可以通过一个变换映射到一个高维特征空间的线性可分问题。经典PM模型中梯度算子在区分边缘和噪声时不够理想，我们考虑把输入图像数据映射到高维的特征空间，然后在特征空间中区分边缘和噪声。假设输入数据用表示，通过一个非线性映射函数映射到特征空间：

                            （1）

这里，是一个输入数据，通过被映射到特征空间。核方法在保持计算简单的同时，能够有效表示输入数据的复杂非线性关系。常用的核函数有：线性核函数，多项式核函数，径向基核函数以及多层感知核函数。

2.2 核函数的性质

 （1）如果、是两个核函数，且、是两个正实数，则有也是核函数；

（2）如果、是两个核函数，那么也是核函数；

（3）如果是核函数，则有的指数也是核函数，即。

3 .基于组合核函数的各向异性扩散

基于前面的分析，我们参考文献[5]提出的核各向异性扩散方程，用取代各向异性扩散模型中的，基于核各向异性扩散模型如下：

                           （2）

其中，表示梯度值通过映射到特征空间的值，也称为核化的梯度算子，用下式表示：

         （3）

特征空间的梯度阈值采用：

                                                （4）

式中MAD表示取绝对偏差的中值。统计表明，当图像噪声服从零均值单位方差分布时，此时，故在上式中常系数。扩散系数函数被改进为：

                                       （5）

线性核函数比较善于提取样本的全局特性，具有较好的外推能力，为全局核；而径向基核函数使得相距很近的数据点对核函数值有影响，为局部核。因此，本文考虑将两者各自优点结合起来，采用以下一种新的组合核函数：

                                      （6）

表达式（6）中，，且，、用于控制线性核与径向基核函数所占比例，对滤波效果有非常大的影响。当时，组合核函数变成标准径向基核，反之，组合核函数变成标准线性核函数。

4 仿真实验结果与分析

    为了验证本文提出的基于组合核的各向异性扩散模型的去噪保边缘效果。去噪效果采用经典的峰值信噪比（PSNR）评价。考察保持边缘等细节的能力，本文采用边缘保护指数（EPE）[6]来衡量，其定义为：

                     (7)

其中，为不含噪声图像，为去噪后图像，为边缘点的集合，为的边缘点的个数，值越大说明保持边缘效果越好。

     本文选取标准Barbara图像进行实验，分别与标准的PM以及Catte[2]模型做比较。在实验中取，对图像分别添加不同方差的高斯噪声（均值为0），由表1可以看出，本文算法去噪声能力更强，尤其是在噪声强度较小时，本文算法去噪效果非常明显。由表2可以发现，本文算法在有效去噪的同时，边缘也得到很好的保持。图1为添加方差为20的高斯噪声时的滤波效果图，从图中可以发现，本文算法在有效去除噪声时，围巾和右腿处的条纹比其他两种方法保持好些。               

 表1 各种处理模型PSNR（dB）

噪声

噪声

      （a） 原始图像                           （b）含噪图像

（c）PM滤波                         （d） Catte模型滤波

                     （e）本文算法滤波

图1　各种去噪方法的去噪效果图  

5 结论

     在PM模型的基础上，本文提出了一种基于组合核函数各向异性扩散模型，并将滤波结果与其他几种模型滤波结果进行了分析比较。采用峰值信噪比（反映去噪能力）与边缘保护指数（反映保护边缘能力）考察几种算法的效果。实验结果表明，本文的算法在较好保持边缘的同时噪声也得到最大程度的抑制。仿真实验证明了本文算法的效果。下一步，主要研究如何根据图像特征信息、噪声强度等信息来确定本文提出的模型中的最优与两个参数，以达到更加良好的自适应的去噪保边效果。

参考文献

[1]. Perona P and Malik J. Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion, IEEE Trans. on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 1990, 12(7): 629-639.

[2]. Catte F, Lions P L, Morel J M, and Coll T. Image selective smoothing and edge detection by nonlinear diffusion, SIAM Journal on Numerical Analysis, 1992, 29(1): 182-193.

[3]. Black M J, Sapiro G, Marimont D H, and Heeger D. Robust anisotropic diffusion, IEEE Trans. on Image Processing, 1998, 7(3): 421-431.

[4]. You Y L, Kaveh M. Fourth-order partial differential equations for noise removal, IEEE Trans. on Image Processing, 2000, 9(10): 1723-1730.

[5]. Yu J H, Wang Y Y, and Shen Y Z. Noise reduction and edge detection via kernel anisotropic diffusion, Pattern Recognition Letters, 2008, 29: 1496-1503.

[6]. Cover, T.M. Geometrical and statistical properties of systems of linear inequalities with applications in pattern recognition, IEEE Trans. Electronic comput. ,1965,EC-14, 326–334.

[7] 谢美华，王正明.基于边缘定向增强的各向异性扩散抑噪方法 [J]. 电子学报 2006，34(1):60-63.下载本文