【计名释义】

比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球. 因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”. 球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”.

数学命题是二维的. 一是知识内容，二是思想方法. 基本的数学思想并不多，只有五种：①函数方程思想，②数形结合思想，③划分讨论思想，④等价交换思想，⑤特殊一般思想. 数学破题，不妨将这五种思想“滚动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号.

【典例示范】

【题1】对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）f '（x）≥0，则必有

A.  f（0）＋f（2）< 2f（1）           B.  f（0）＋f（2）≤2 f（1）

C.  f（0）＋f（2）≥ 2f（1）           D.  f（0）＋f（2）>2f（1）

【分析】用五种数学思想进行“滚动”，最容易找到感觉应是③：分类讨论思想.　这点在已条件（x-1）f＇(x)≥0中暗示得极为显目.

其一，对f＇(x)有大于、等于和小于0三种情况；

其二，对x-1，也有大于、等于、小于0三种情况.

因此，本题破门，首先想到的是划分讨论.

【插语】考场上多见的错误是选D. 忽略了f＇(x) ≡ 0的可能. 以为（x-1）f＇(x) ≥0中等号成立的条件只是x-1=0，其实x-1=0与f＇(x)=0的意义是不同的：前者只涉x的一个值，即x=1，而后是对x的所有可取值，有f＇(x) ≡ 0.

【再析】 本题f（x）是种抽象函数，或者说是满足本题条件的一类函数的集合. 而选择支中，又是一些具体的函数值f（0），f（1），f（2）.　因此容易使人联想到数学⑤：一般特殊思想.

【解二】 （i）若f＇(x)=0，可设f（x）=１.　选项Ｂ、Ｃ符合条件.

（ii）f＇(x)≠0. 可设f(x) =（x-1）2      又　f＇(x)=2（x-1）.

满足　(x-1) f＇(x) =2 (x-1)2≥0，而对  f (x)= (x-1)2. 有f（0）= f（2）=1，f（1）=0

选项C，D符合条件. 综合（i），（ii）答案为C.

【插语】在这类f (x)的函数中，我们找到了简单的特殊函数(x-1)2. 如果在同类中找到了(x-1)4 ，(x-1) ，自然要麻烦些. 由此看到，特殊化就是简单化.

【再析】本题以函数（及导数）为载体. 数学思想①——“函数方程（不等式）思想”. 贯穿始终，如由f '（x）= 0找最值点x =0，由f '（x）>0（<0）找单调区间，最后的问题是函数比大小的问题.

由于函数与图象相联，因此数形结合思想也容易想到.

【解三】 （i）若f (0)= f (1)= f (2)，即选B，C，则常数f (x) = 1符合条件. （右图水平直线）

（ii）若f (0)= f (2)< f (1)对应选项A.（右图上拱曲线），但不满足条件(x-1) f '（x）≥0

若f (0)= f (2)> f (1)对应选项C，D（右图下拱曲线）. 则满足条件(x-1) f '（x）≥0.

【探索】 本题涉及的抽象函数f (x)，没有给出解析式，只给出了它的一个性质：(x-1) f '（x）≥0，并由此可以判定f (0)+ f (2) ≥ f (1). 自然，有这种性质的具体函数是很多的，我们希望再找到一些这样的函数.

【变题】 以下函数f (x)，具有性质(x-1) f '（x）≥0从而有f (0)+ f (2) ≥2 f (1)的函数是

A. f（x）= (x-1)3  B. f（x）= (x-1)   C. f（x）= (x-1)  D. f（x）= (x-1)

【说明】以x=1为对称轴、开口向上的函数都属这类抽象函数. 如f'（x）=(x-1) ，其中m，n都是正整数，且n≥m.

【点评】解决抽象函数的办法，切忌“一般解决”，只须按给定的具体性质“就事论事”，抽象函数具体化，这是“一般特殊思想”在解题中具体应用.

【题2】 已知实数x，y满足等式  ，试求分式的最值。

【分析】 “最值”涉及函数，“等式”连接方程，函数方程思想最易想到.

根据x的范围应用根的分布得不等式组：

解得     即 ≤≤  即所求的最小值为，最大值为.

【插语】 解出≤≤，谈何易！十人九错，早就应该“滚开”，用别的思想方法试试.

【解二】 （数形结合思想运用）

由得椭圆方程 ，

0

看成是过椭圆上的点（x，y），(5，0)的直

线斜率（图右）.

联立       得  

令得，故 的最小值为，最大值为.

【插语】这就是“滚动”的好处，解二比解一容易多了. 因此，滚动开门，不仅要善于“滚到”，还要善于“滚开”.

【点评】 “西瓜开门”把运动学带进了考场解题. 滚动能克服解题的思维定势.

解题时，要打破思维固化，在思想方法上要“滚动”，在知识链接上要“滚动”，在基本技能技巧上也要“滚动”. 总之，面对考题，在看法、想法和办法上要注意“滚动”.

【强化训练】

1.若动点P的坐标为(x,y)，且lgy，lg|x|，lg成等差数列，则动点P的轨迹应为图中的                  (  ) 

【点评】 上面的解法中条件与选项一并使用，滚滚碰碰中终于找到了正确的选项.本题的常规解法是：当x≠0且y>x时，由lgy+lg=2lg|x|，化简可得(x+y)(2x-y)=0.∴y=-x或y=2x(x≠0,y>0).

2. 已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】令，可得，作出与的图象，

要使函数有3个零点，则与的图象有3个不同的交点，所以，故答案为.

3.设a,b,c∈R,且4a-4b+c>0,a+2b+c<0,则下列结论中正确的是      (  )

A.b2≤ac            B.b2>ac         C.b2>ac且a>0 D.b2>ac且a<0

【点评】 在解题时易受题设条件的干扰,企图从已知不等式出发:

4b<4a+c,          ①

2b<-a-c,           ②

①×②不等号的方向无法确定,思维受阻.

用逻辑分析法和特殊值检验的方法两种方法滚动使用，简便明快,如解析一.用判别式法逻辑性强但思路难寻,如解析二.一般在做题时,为了使选择题解题速度变快,推荐学生使用解析一.

4.设函数对的一切实数均有，则等于（   ）

A. 2016    B. -2016    C. -2017    D. 2017

【答案】B

【解析】分别令得，解得．故选B．

点睛：本题考查求解析式的一种特殊方法：方程组法．如已知，求，则由已知得，把和作为未知数，列出方程组可解出．如已知也可以用这种方法求解析式．

5.．已知且，若当时，不等式恒成立，则的最小值是(    )

A.     B.     C.     D. 

【答案】A

当时，即时， 单调递增，当时， 与矛盾；当时，即时，令，解得 ，

 ， 单调递增， 时， 单调递减，

若，即，当时， 单调递增， ，矛盾；

若，即 ，当时， 递减， ，成立，

综上，  ，最小值为 ，故选A.

【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立的问题，可以通过变形将不等式整理为需要研究的函数，比如本题设，讨论的取值范围，使函数满足，转化为求函数的单调性，根据单调性可求得函数的最值.

6．已知均为正数且满足，则的取值范围是(    )

A.     B.     C.     D. 

【答案】D

【解析】

题设条件可转化为记， ，则且目标函数为，上述区域表示第一象限内两直线与指数函数的图象围成如图所示的曲边形(不含边界)．由方程组得交点坐标为，此时.又过原点作曲线的切线，切点为，因，故切线斜率，切线方程为，而且，解之得，故切线方程为，从而，所求取值范围为，故选D．

【方法点睛】本题主要考查导数的几何意义，线性规划的应用及数学的转化与划归思想.属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，设， ，将问题转化为线性规划问题是解题的关键.

7．已知变量x,y满足约束条件  则的取值范围是(    )

A.     B.     C.     D. (3,6]

【答案】A

【解析】作出可行域如图：

点睛：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．

8．已知满足，则的取值范围是 （  ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】D

【解析】由约束条件画出可行域，如下图。目标函数变形为y=x-z，所以直线的截距为-z,由图可知当直线过点C（-1,0）时截距最大，z取最小值-1，当直线与圆相切时，截距最小，z取最大值。选D.

【点睛】线性规划或规划问题一定要根据约束条件画出正确的可行域，再由几何意义求得最优解，一定不能用偷懒的办法认为最优解一定在交点（端点）处。

9．(2018届高三·湖南十校联考)已知函数f(x)＝x＋sin x(x∈R)，且f(y2－2y＋3)＋f(x2－4x＋1)≤0，则当y≥1时， 的取值范围是(　　)

A.          B. 

C. [1,3－3]    D. 

【答案】A

令k＝其几何意义为过点(－1,0)与半圆相交或相切的直线kx－y＋k＝0的斜率，

斜率最小时直线过点(3,1)，此时kmin＝，斜率最大时直线刚好与半圆相切，

圆心到直线的距离d＝＝1(k>0)，

解得kmax＝，故选A.

点睛：与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．

10．设，若函数在区间上有两个不同的零点，则的取值范围是（   ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】B

目标函数z=f(1)═a+b+1

∴z的最小值为z=a+b+1过点(1,−2)时,z的最大值为z=a+b+1过点(4,−4)时

∴f(1)的取值范围为(0,1)，即a+b+1，所以a+b

故选B.

点睛：本题中涉及两个难点，一个是根据函数的零点求参数范围；另一个是利用线性规划思想求范围.

处理二次函数在区间上零点问题，对于二次函数的研究一般从以几个方面研究：

一是，开口；

二是，对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；

三是，判别式，决定于x轴的交点个数；

四是，区间端点值.

点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9.下载本文