-------例谈著名不等式与圆锥曲线综合问题完美对接
《孙子兵法．谋攻》中脍炙人口的千古名句：“是故百战百胜，非善之善者也，不战而屈人之兵，善之善者也．”其含义是指经历短兵相接、刀光剑影的“肉搏战”，一百场战斗全都取胜却不是最好，而不通过交战而迫使敌人屈服，才是最高明的策略．“不战”又怎能让敌人俯首称臣呢？“不战”是指不经历从肉体上消灭对方的血腥残暴地武力斗争，而是通过经济、外交、政治等途径，如游说、分化、利诱、禁运、恐吓、威慑等策略，乃至必要时使用斩首式、点穴式等极端军事手段，以及当代电磁战、信息战、网络战等多管齐下，使敌人遭受巨大的经济损失、蒙受巨大的精神压力、承受巨大的政治风险，甚至经济崩溃、精神瓦解、垮台，处于内忧外困的绝境而被束手就擒的一种战争策略．
数学是一门高度抽象思维的科学．从某种程度上来说，解决一个数学问题如同一场不见硝烟的战争．解析几何中涉及直线与圆锥曲线的综合问题一直是高考、竞赛及近年来悄然兴起的名校自主招生考试的热点、难点、重点，尤其面对繁琐的步骤及复杂的运算，往往令学生束手无策，甚至产生畏惧心理． 直奔主题，单刀直入，强行求解，不仅要花费太多的宝贵时间，而且往往因为字母多、步骤繁、计算量大而导致精神紧张、体力透支、推理出错，绝大部分学生半途而废甚至无功而返、颗粒无收的尴尬局面，笔者在高中从教近三十年，目睹学生在平时的练习、模拟考、高考中无数次上演这种令人痛心的场景．本文拟从二道圆锥曲线综合试题入手，探究利用著名不等式（基本不等式、均值不等式、柯西不等式等）与圆锥曲线综合问题完美对接．
题1：已知双曲线的焦点，，且经过点．（1）求双曲线标准方程；
（2）若、是双曲线右支上不同两点，为坐标原点，求的最小值．
解答：（1）易得双曲线标准方程为（过程略）．
对于（2）来说：
解法1：设，，由向量的数量积以及柯西不等式可得
．
等号成立当且仅当，即，即轴．
解法2：同上所设，注意，，利用基本不等式可得
．
由，则有
．
评注：对于题1（2），常见的解法就是设出直线的方程：并与双曲线方程：联立得到一元二次方程，再在判别式的前提下，应用韦达定理得出根与系数的关系，然后代入向量的数量积，再经过一系列的化简、换元、转化，然后再利用函数的导数等知识求出最小值，其过程和运算量可想而知．上述解法1及解法2避开“残酷的巷战”，借助柯西不等式、基本不等式采用“斩首式”战术，极其快速、简捷地解决问题，达到“不战而屈人之兵”之奇效．
题2：设椭圆中心在坐标原点，，是椭圆两个顶点，直线（）与相交于点，与椭圆相交于、两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求的值；（3）求四边形面积的最大值．
解答：（1）椭圆方程为；（2）的值为或（过程略）．
对于（3）来说：
解法1：设（，），则有，于是
．
由算术平均数不大于平方平均数：可得
．
解法2：由上述解法1并结合基本不等式：可得
．
解法3：设（，），由对称性得，注意到直线的方程为，则点、点到直线的距离分别为
，
因点、点在的异侧，由线性规划可得，由绝对值不等式：（）可得
．
（下同上述解法1）
评注：对于题2（3），如果按照常规思路联立直线：与，求出点、点的坐标，然后用点到直线间的距离公式，显然运算量很大，学生推理到此，只能“望题兴叹”，眼睁睁地看着复杂的代数式而无法进行下一个步骤，这是绝大部分学生最终的结局．上述解法1巧妙借助算术平均数不大于平方平均数、解法2通过平方妙用基本不等式、解法3借力绝对值不等式，采用“点穴式”的战略轻松将问题解决．“故善用兵者，屈人之兵而非战也，拔人之城而非攻也，毁人之国而非久也，必以全争于天下，故兵不顿而利可全，此谋攻之法也．”
请有兴趣的读者尝试以下试题：
若点、是椭圆（、为常数，）上两点，且．（1）求证：为定值；（2）求面积的最大及最小值．
（提示：以为极点，以轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则椭圆极坐标方程为
，设，则，于是可得
（1）．
（2）由（1）并结合均值不等式可得
．
或者由，可得
．
（i）对于上式分母，由均值不等式可得
．
（ii）对于上式分母，由柯西不等式可得
．
因此得到，．）
在解析几何中，直线与圆锥曲线综合问题中相关的最值问题往往巧妙利用著名不等式，如基本不等式、均值不等式、柯西不等式等、绝对值不等式等，让人赏心悦目，妙不可言！
值得说明的是，上述二道试题是笔者特意为学生编拟的圆锥曲线综合强化训练考试试题．其中题1解法2及题2的解法1是笔者的学生林若谷、黄越冬在考试中展示出来的绝妙构思，显示他们具有很高的数学悟性、强烈的创新意识、敏锐的创造能力，在此向他们致以谢意．
解决数学问题，尤其解决难、繁、杂的圆锥曲线综合试题需要有扎实的基本功底为先决、丰富的数学知识为基础、娴熟的思想方法为向导，如同达到不战而屈人之兵需要坚韧的精神意志为前提，高超的计策谋略为关键，强大的综合国力为后盾．
对于在时间紧、氛围浓、期望高、压力大的高考、竞赛之时，倘若采用常规的“肉搏战”办法，因其运算量相当大，考生要想顺利解出绝非易事，纵使强行解出，在经过十年寒窗的苦读，最后高考决战仅仅是120分钟的宝贵时间里花去大多的时间，考生的心理和身体处于极度疲劳之中，也是得不偿失，如同一场战争，尽管最后取得胜利，但是殆尽了一个国家宝贵的资源，看似胜利，却换来残垣断壁、满目疮痍，“是故百战百胜，非善之善者也”．只有平时加强有效作业（如同军事演习），尤其是针对性题组训练（如同中国人民近期举行的抢滩、夺岛、登陆演习等），实施高效、逼真的模拟考试（如同我军最近长途奔袭、远程集结、实弹射击等），同时辅以基本不等式、均值不等式、绝对值不等式等多种手段（即当今世界强国普遍采用的经济、外交、政治等途径，如美国对伊拉克、利比亚、叙利亚、伊朗等国家），达到完美解决看似难、繁、杂的圆锥曲线综合试题的目的（即威慑并最终让敌人俯首称臣，我国在南海正在实施的一系列政治、经济、军事手段就是为了警告、威慑怀有野心的相关国家），正所谓“不战而屈人之兵，善之善者也．”
诚然，有关直线与圆锥曲线相关的综合试题的运算化简方法、策略还有很多，所使用的不等式还有排序不等式、琴生不等式及其变式等等．笔者拙文：《均值不等式与轮换式的精彩演绎》即将在《福建中学数学》发表，如果本文有幸发表，权作其姊妹篇．事实上，翻开各种数学杂志，涉及著名不等式在不等式自己的圈子里面的应用的文章较多，在其它数学知识模块中应用的文章相对较少．笔者渴望更多同行加入研究著名不等式与高中数学知识中的其它模块：如立体几何、三角、函数、排列组合等知识模块中的最值问题的完美演绎．因笔者功力浅薄，上述例子仅仅“沧海之一粟”，期求抛砖引玉，不妥之处，敬请批评指正．下载本文
