一、选择题：本题共12个小题，每小题3分，满分36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将符合题目要求选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上。

1．在下列四个实数中，最大的实数是（　B　）

A．﹣2    B．    C．    D．0

2．在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）向右平移两个单位后，得到对应点的坐标是（　D　）

A．（﹣5，2）    B．（﹣1，4）    C．（﹣3，4）    D．（﹣1，2）

3．实验测得，某种新型冠状病毒的直径是120纳米（1纳米＝10﹣9米），120纳米用科学记数法可表示为（　B　）

A．12×10﹣6米    B．1.2×10﹣7米    C．1.2×10﹣8米    D．120×10﹣9米

4．袁隆平院士被誉为“世界杂交水稻之父”，他研究的水稻，不仅高产，而且抗倒伏．在某次实验中，他的团队对甲、乙两种水稻品种进行产量稳定实验，各选取了8块条件相同的试验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为1200千克/亩，方差为S甲2＝186.9，S乙2＝325.3．为保证产量稳定，适合推广的品种为（　A　）

A．甲    B．乙    C．甲、乙均可    D．无法确定

5．下列运算正确的是（　D　）

A．x2+x2＝x4    B．（xy2）2＝xy4    

C．y6÷y2＝y3    D．﹣（x﹣y）2＝﹣x2+2xy﹣y2

6．一张水平放置的桌子上摆放着若干个碟子，其三视图如图所示，则这张桌子上共有碟子的个数为（　B　）

A．10    B．12    C．14    D．18

7．若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（　C　）

A．m＞3    B．m≥3    C．m≤3    D．m＜3

8．下列命题：①的算术平方根是2；②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；②天气预报说明天的降水概率是95%，则明天一定会下雨；④若一个多边形的各内角都等于108°，则它是正五边形，其中真命题的个数是（　C　）

A．0    B．1    C．2    D．3

9．如图，平面图形ABD由直角边长为1的等腰直角△AOD和扇形BOD组成，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交于点Q．设AP＝x（0＜x＜2），图中阴影部分表示的平面图形APQ（或APQD）的面积为y，则函数y关于x的大致图象是（　D　）

A．    B．    

C．    D．

10．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是（　A　）

A．（10+20）m    B．（10+10）m    C．20m    D．40m

11．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，其图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②（4a+c）2＜（2b）2；③若（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上的两点，则当|x1+1|＞|x2+1|时，y1＜y2；④抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），则关于x的方程ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．其中正确结论的个数是（　B　）

A．4    B．3    C．2    D．1

12．数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于7×1011的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数m，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的m所有可能取值的个数为（　D　）

A．8    B．6    C．4    D．2

二、填空题：本题共4个小题，每小题4分，满分16分。不需写出解题过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上。

13．（4分）若分式有意义，则实数x的取值范围为 　x≥﹣1且x≠0　．

【解答】解：要使分式有意义，必须x+1≥0且x≠0，

解得：x≥﹣1且x≠0，

故答案为：x≥﹣1且x≠0．

14．（4分）关于x的方程x2+bx+2a＝0（a、b为实数且a≠0），a恰好是该方程的根，则a+b的值为 　﹣2　．

【解答】解：由题意可得x＝a（a≠0），

把x＝a代入原方程可得：a2+ab+2a＝0，

等式左右两边同时除以a，可得：a+b+2＝0，

即a+b＝﹣2，

故答案为：﹣2．

15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为 　2或　时，△ABP与△PCQ全等．

【解答】解：①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ，

∵AB＝8cm，

∴PC＝8cm，

∴BP＝12﹣8＝4（cm），

∴2t＝4，解得：t＝2，

∴CQ＝BP＝4，

∴v×2＝4，

解得：v＝2；

②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP，

∵PB＝PC，

∴BP＝PC＝6cm，

∴2t＝6，解得：t＝3，

∵CQ＝AB＝8，

∴v×3＝8，

解得：v＝，

综上所述，当v＝2或时，△ABP与△PQC全等，

故答案为：2或．

16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴上，OA＝10，点D是边AB上靠近点A的三等分点，将△OAD沿直线OD折叠后得到△OA′D，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A′点，则k的值为 　48．　．

【解答】解：过A′作EF⊥OC于F，交AB于E，

∵∠OA′D＝90°，

∴∠OA′F+∠DA′E＝90°，

∵∠OA′F+∠A′OF＝90°，

∴∠DA′E＝∠A′OF，

∵∠A′FO＝∠DEA′，

∴△A′OF∽△DA′E，

∴＝＝，

设A′（m，n），

∴OF＝m，A′F＝n，

∵正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴上，OA＝10，点D是边AB上靠近点A的三等分点，

∴DE＝m﹣，A′E＝10﹣n，

∴＝＝3，

解得m＝6，n＝8，

∴A′（6，8），

∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A′点，

∴k＝6×8＝48，

故答案为48．

三、解答题：本题共6个小题，满分68分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）（1）若单项式xm﹣ny14与单项式﹣x3y3m﹣8n是一多项式中的同类项，求m、n的值；

（2）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝﹣1．

【解答】解：（1）由题意可得，

②﹣①×3，可得：﹣5n＝5，

解得：n＝﹣1，

把n＝﹣1代入①，可得：m﹣（﹣1）＝3，

解得：m＝2，

∴m的值为2，n的值为﹣1；

（2）原式＝[]•（x+1）（x﹣1）

＝•（x+1）（x﹣1）

＝x2+1，

当x＝﹣1时，

原式＝（﹣1）2+1＝2﹣2+1+1＝4﹣2．

18．（10分）为庆祝中国党建党100周年，某校加强了学生对党史知识的学习，并组织学生参加《党史知识》测试（满分100分）．为了解学生对党史知识的掌握程度，从七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩，进行统计、分析，过程如下：

收集数据：

七年级：86  88  95  90  100  95  95  99  93  100

八年级：100  98  98    87  98  95  90  90  

整理数据：

成绩x（分）

统计量

（1）填空：a＝　1　，b＝　4　，c＝　94.5　，d＝　95　；

（2）若八年级共有200人参与答卷，请估计八年级测试成绩大于95分的人数；

（3）从测试成绩优秀的学生中选出5名语言表达能力较强的学生，其中八年级3名，七年级2名．现从这5名学生中随机抽取2名到当地社区担任党史宣讲员．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到同年级学生的概率．

【解答】解：（1）a＝1，b＝4，

八年级成绩按由小到大排列为：87，，，90，90，95，98，98，98，100，

所以八年级成绩的中位数c＝＝94.5，

七年级成绩中95出现的次数最多，则d＝95；

故答案为1，4，94.5，95；

（2）200×＝80，

估计八年级测试成绩大于95分的人数为80人；

（3）画树状图为：

共有20种等可能的结果，其中两同学为同年级的结果数为8，

所以抽到同年级学生的概率＝＝．

19．（10分）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？

【解答】解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，

将点（1，110）、（3，130）代入一次函数表达式得：，

解得：，

故函数的表达式为：y＝10x+100；

（2）由题意得：（10x+100）×（55﹣x﹣35）＝1760，

整理，得x2﹣10x﹣24＝0．

解得x1＝12，x2＝﹣2（舍去）．

所以55﹣x＝43．

答：这种消毒液每桶实际售价43元．

20．（10分）如图，▱OABC的对角线相交于点D，⊙O经过A、D两点，与BO的延长线相交于点E，点F为上一点，且＝．连接AE、DF相交于点G，若AG＝3，EG＝6．

（1）求▱OABC对角线AC的长；

（2）求证：▱OABC为矩形．

【解答】解：∵DE是直径，

∴∠EAD＝90°，

∵＝

∴∠ADF＝∠AFD＝∠AED，

又∵∠DAE＝∠GAD＝90°

∴△ADE∽△AGD

∴

∴AD2＝AG×AE＝3×9＝27，

∴AD＝3，

∴AC＝2AD＝6．

（2）DE＝＝6，

∵▱OABC是平行四边形

∴OB＝2OD＝DE＝6，

∴▱OABC为矩形．

21．（14分）问题背景：

如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．

实验探究：

（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①＝　　；②直线AE与DF所夹锐角的度数为 　30°　．

（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．

拓展延伸：

在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为 　或　．

【解答】解：（1）如图1，∵∠ABD＝30°，∠DAB＝90°，EF⊥BA，

∴cos∠ABD＝＝，

如图2，设AB与DF交于点O，AE与DF交于点H，

∵△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，

∴∠DBF＝∠ABE＝90°，

∴△FBD∽△EBA，

∴＝，∠BDF＝∠BAE，

又∵∠DOB＝∠AOF，

∴∠DBA＝∠AHD＝30°，

∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°，

故答案为：，30°；

（2）结论仍然成立，

理由如下：如图3，设AE与BD交于点O，AE与DF交于点H，

∵将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，

∴∠ABE＝∠DBF，

又∵＝，

∴△ABE∽△DBF，

∴＝，∠BDF＝∠BAE，

又∵∠DOH＝∠AOB，

∴∠ABD＝∠AHD＝30°，

∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°．

拓展延伸：如图4，当点E在AB的上方时，过点D作DG⊥AE于G，

∵AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，∠DAB＝90°，

∴BE＝，AD＝2，DB＝4，

∵∠EBF＝30°，EF⊥BE，

∴EF＝1，

∵D、E、F三点共线，

∴∠DEB＝∠BEF＝90°，

∴DE＝＝＝，

∵∠DEA＝30°，

∴DG＝DE＝，

由（2）可得：＝，

∴，

∴AE＝，

∴△ADE的面积＝×AE×DG＝××＝；

如图5，当点E在AB的下方时，过点D作DG⊥AE，交EA的延长线于G，

同理可求：△ADE的面积＝×AE×DG＝××＝；

故答案为：或．

22．（14分）已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，PO交直线BC于点E，设＝k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值．

（3）如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D．

①求△BDQ的周长及tan∠BDQ的值；

②点M是y轴负半轴上的点，且满足tan∠BMQ＝（为大于0的常数），求点M的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），

∴设y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入，得a（0+1）（0﹣3）＝3，

解得：a＝﹣1，

∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）如图1，过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，

∴△PEH∽△OEC，

∴＝，

∵＝k，OC＝3，

∴k＝PH，

设直线BC的解析式为y＝kx+n，

∵B（3，0），C（0，3），

∴，

解得：，

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，

设点P（t，﹣t2+2t+3），则H（t，﹣t+3），

∴PH＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，

∴k＝（﹣t2+3t）＝（t﹣）2+，

∵＜0，

∴当t＝时，k取得最大值，此时，P（，）；

（3）①如图2，过点Q作QT⊥BD于点T，则∠BTQ＝∠DTQ＝90°，

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴抛物线对称轴为直线x＝1，

∴Q（1，0），

∴OQ＝1，BQ＝OB﹣OQ＝3﹣1＝2，

∵点C关于x轴的对称点为点D，

∴D（0，﹣3），

∵B（3，0），

∴OB＝OD＝3，

∵∠BOD＝90°，

∴DQ＝＝＝，

BD＝＝＝3，

∴△BDQ的周长＝BQ+DQ+BD＝2++3；

在Rt△OBD中，∵∠BOD＝90°，OB＝OD，

∴∠DBO＝∠BDO＝45°，

∵∠BTQ＝90°，

∴△BQT是等腰直角三角形，

∴QT＝BT＝BQ•cos∠DBO＝2•cos45°＝，

∴DT＝BD﹣BT＝3﹣＝2，

∴tan∠BDQ＝＝＝；

②设M（0，﹣m），则OM＝m，

BM＝＝＝，

MQ＝＝，

∵tan∠BMQ＝，

∴＝，

∴MT＝t•QT，

∵QT2+MT2＝MQ2，

∴QT2+（t•QT）2＝（）2，

∴QT＝，MT＝，

∵cos∠QBT＝cos∠MBO，

∴＝，即＝，

∴BT＝，

∵BT+MT＝BM，

∴+＝，

整理得，（m2+3）2＝4t2m2，

∵t＞0，m＞0，

∴m2+3＝2tm，即m2﹣2tm+3＝0，

当Δ＝（﹣2t）2﹣4×1×3＝4t2﹣12≥0，即t≥时，

m＝＝t±，

∴M（0，﹣t）或（0，﹣﹣t）．

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