命题：聂智勇 审题：孙晓清
（时量：120分钟 总分：150分）
一、选择题（每题5分，共40分，请将答案填在答卷对应题号上）
1、已知数列｛an｝满足a1= 2，an+1-an+1=0（n∈N+），则此数列的通项an等于（ ）
A．n2+1 B．n+1 C．1-n D．3-n
2、在等比数列｛an｝中，若a1=1，公比q=2，则a12+a22+……+an2=（ ）
A．（2n-1）2 B．（2n-1） C．4n -1 D．（4n-1）
3、已知a、b为实数，且a+b=2，则3a+3b的最小值为（ ）
A．18 B．6 C． D．2
4、已知点（3，1）和（-4，6）在直线 3x-2y+a=0的两侧，则 a的取值范围是( ).
A．a<-7，或 a>24 B．a=7或 24 C．-7 A． B． C． D． 6、若抛物线上一点到其焦点的距离为，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 7、“m>n>0”是“方程”表示焦点在y轴上的椭圆的（ ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 8、抛物线上的点P到直线y=2x+4有最短的距离，则P的坐标是（ ） A．（ ， ） B． (0 ，0) C．（2 ，2） D． 二、填空题（每题5分，共35分，请将答案填在答卷对应题号横线上） 9、在小于100的正整数中能被７整除的所有数之和为___________ 10、数列的前项和，则 11、已知，则不等式的解集是 __________ 12、设实数x、y满足，则的最小值为 13、中心在原点，一个焦点是(-5,0)，一条渐近线是直线4x-3y=0的双曲线方程是______ 14、已知双曲线x2－＝1，过P(2，1)点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为______ 15、如图，在面积为1的正内作正，使，，，依此类推， 在正内再作正，……。记正的面积为，则a1＋a2＋……＋an＝ 。 三、解答题（共75分） 16、(12分)设｛an｝是等差数列，Sn为数列｛an｝的前 n项和，已知 S7=7，S15=75，Tn为数列｛｝的前 n项和，求 Tn 17、（12分）数列满足，（）。 （I）求证是等差数列； （II）若，求的取值范围。 18、（12分） 已知 （I）当时，解不等式； （II）若，解关于x的不等式。 19、（13分） 已知命题：“，都有不等式成立”是真命题。 （1）求实数的取值集合； （2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 20、（13分） 如图，抛物线顶点在原点，圆的圆心是抛物线的焦点，直线过抛物线的焦点，且斜率为2，直线交抛物线与圆依次为、、、四点． （1）求抛物线的方程． （2）求的值． 21、（13分） 已知中心在原点的椭圆的一个焦点为（0 ，），且过点，过A作倾斜角互补的两条直线，它们与椭圆的另一个交点分别为点B和点C。 （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：直线BC的斜率为定值，并求这个定值。 （3）求三角形ABC的面积最大值。 答案 一、选择题 1、D 2、D 3、B 4、C 5、D 6、C 7、C 8A 二、填空题（每题5分，共35分） 9、在小于100的正整数中能被７整除的所有数之和为______735_____. 10、数列的前项和，则 48 11、已知，则不等式的解集是 __________ 12、设实数x、y满足，则的最小值为 -2 13、中心在原点，一个焦点是(-5,0)，一条渐近线是直线4x-3y=0的双曲线方程是 14、已知双曲线x2－＝1，过P(2，1)点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为___6___ 15、如图，在面积为1的正内作正，使，，，依此类推， 在正内再作正，……。记正的面积为，则a1＋a2＋……＋an＝ 。 三、解答题（共75分） 16、(12分) 设｛an｝是等差数列，Sn为数列｛an｝的前 n项和，已知 S7=7，S15=75，Tn为数列｛｝的前 n项和，求 Tn ：得 解得 ∴=a1+= { }是以-2位首项，为公差的等差数列 ∴Tn=-2n+ = 17、（12分） 数列满足，（）。 （I）求证是等差数列； （II）若，求的取值范围。 解：（I）由可得：所以数列是等差数列，首项，公差 ∴ ∴ （II）∵ ∴ ∴解得 18、（12分） 已知 （I）当时，解不等式； （II）若，解关于x的不等式。 解：（I）当时，有不等式， ∴， ∴不等式的解为： （II）∵不等式 当时，有，∴不等式的解集为； 当时，有，∴不等式的解集为； 当时，不等式的解为。 19、（13分） 已知命题：“，都有不等式成立”是真命题。 （1）求实数的取值集合； （2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 解：（1）命题：“，都有不等式成立”是真命题， 得在恒成立， 得即 …………………………6分 （2）不等式 ①当,即时解集，若是的充分不必要条件， 则, 此时. ②当即时解集，若是的充分不必要条件，则成立. ③当,即时解集，若是的充分不必要条件，则成立， 此时. 综上①②③：． …………………………14分 20、（13分） 如图，抛物线顶点在原点，圆的圆心是抛物线的焦点，直线过抛物线的焦点，且斜率为2，直线交抛物线与圆依次为、、、四点． (1)求抛物线的方程． （2）求的值． 解：（1）由圆的方程，即可知，圆心为，半径为2，又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为，抛物线方程为． （2） ∵为已知圆的直径，∴，则． 设、， ∵，而、在抛物线上， 由已知可知，直线方程为， 由消去，得， ∴． ∴， 因此，． 21、（13） 已知中心在原点的椭圆的一个焦点为（0 ，），且过点，过A作倾斜角互补的两条直线，它们与椭圆的另一个交点分别为点B和点C。 （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：直线BC的斜率为定值，并求这个定值； （3）求三角形ABC的面积最大值。 解：（1） （2）由题意得设的斜率为，则的斜率为－ 所以 代入得，又 同理 为定值 （3）设方程为 得 得 到的距离为 所以 当时，即时“＝”成立，此时成立。下载本文
