一、选择题（共8小题）.

1．下列方程是一元二次方程的是（　　）

A．x2+2y＝1    B．x3﹣2x＝3    C．x2+＝5    D．x2＝0

2．已知点P在半径为5cm的圆内，则点P到圆心的距离可以是（　　）

A．4cm    B．5cm    C．6cm    D．7cm

3．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣9＝0，可变形为（　　）

A．（x﹣2）2＝9    B．（x﹣2）2＝13    C．（x+2）2＝9    D．（x+2）2＝13

4．若方程x2+4x+a＝0无实根，化简等于（　　）

A．4﹣a    B．a﹣4    C．﹣（a+4）    D．无法确定

5．有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等；⑤平分弦的直径垂直于弦；⑥任意三角形一定有一个外接圆．

其中正确的有（　　）

A．2个    B．3个    C．4个    D．5个

6．如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，则根据题意可列出方程（　　）

A．5000﹣150x＝4704    B．5000﹣150x﹣x2＝4704    

C．5000﹣150x+＝4704    D．（100﹣x）（50﹣x）＝4704

7．如图，等腰直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D是量角器上60°刻度线的外端点，连接CD交AB于点E，则∠CEB的度数为（　　）

A．60°    B．65°    C．70°    D．75°

8．如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①＝；②HC＝BF：③MF＝FC：④+＝+，其中成立的个数是（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分．请把正确答案填在答题纸相应的横线上）

9．一元二次方程3x＝x2的根为　          　．

10．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0有一个解是0，则m的值为　   　．

11．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝56°，则∠BCD＝　   　度．

12．若一个直角三角形的两条直角边长分别为5cm和12cm，则这个三角形的外接圆的直径长为 　   　cm．

13．九年级（1）班部分学生去秋游时，每人都和同行的其他每一人合照一张双人照，共照了双人照片36张，则同去秋游的人数是 　 　人．

14．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，1）、B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴于点C、D，则CD的长是　            　．

15．设m、n是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为　     　．

16．某种药品原价每盒60元，由于医疗改革，价格经过两次下调后现在售价每盒48.6元，则平均每次下调的百分率为　    　．

17．已知关于x的方程x2﹣x﹣＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　    　．

18．如图，平面直角坐标系中，分别以点A（4，6）、点B（6，8）为圆心，以2、6为半径作⊙A、⊙B，M，N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为 　               　．

三、解答题（本大题共10题，满分96分，请在答题纸的指定区域内作答，解答时应写出必要文字说明、证明或演算步骤）

19．解方程：

（1）3x2﹣4x＝1；

（2）（3y﹣2）2＝（2y﹣3）2．

20．先化简，再求值：，其中x满足方程x2﹣4x+3＝0．

21．如图，已知：AC、BD是⊙O的两条弦，且AC＝BD，求证：AB＝CD．

22．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+3＝0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若k为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k的值．

23．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．

（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；

（2）点M的坐标为 　      　；⊙M的半径为 　      　；

（3）点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系是点D在⊙M　      　；

（4）若画出该圆弧所在圆，则在整个平面直角坐标系网格中该圆共经过 　      　个格点．

24．已知关于x的方程x2+ax+a﹣3＝0．

（1）若该方程的一个根为2，求a的值及方程的另一个根；

（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

25．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，

（1）求⊙O的半径；

（2）求O到弦BC的距离．

26．某玩具商店以每件50元为成本购进一批新型玩具，以每件80元的价格销售则每天可卖出20件，为了扩大销售，增加盈利，商店决定采取适当的降价措施，经调查发现：若每件玩具每降价1元，则每天可多卖2件．

（1）若商店打算每天盈利750元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件玩具的售价应定为多少元？

（2）若商店为追求效益最大化，每件玩具的售价定为多少元时，商店每天盈利最多？最多盈利多少元？

27．若x1、x2是关于x一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2＝，x1•x2＝，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理．

已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝19，求m的值；

（3）已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的长，求这个三角形的周长．

28．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝8cm，BC＝3cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向点D移动．当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动．

（1）问几秒后，△PQD的面积为6？

（2）问几秒后，点P和点Q的距离是5cm？

（3）问几秒后，以三点P、Q、D为顶点的三角形为直角三角形？

（提示：根据不同情况画出不同的图形，再给予解决问题．此题包括从开始到结束的所有情况）

参

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分．每个小题只有一个选项是正确的，请把正确选项的字母涂在答题卡相应的位置）

1．下列方程是一元二次方程的是（　　）

A．x2+2y＝1    B．x3﹣2x＝3    C．x2+＝5    D．x2＝0

【分析】根据一元二次方程的定答．一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．

解：A、x2+2y＝1是二元二次方程，故A错误；

B、x3﹣2x＝3是一元三次方程，故B错误；

C、x2+＝5是分式方程，故C错误；

D、x2＝0是一元二次方程，故D正确；

故选：D．

2．已知点P在半径为5cm的圆内，则点P到圆心的距离可以是（　　）

A．4cm    B．5cm    C．6cm    D．7cm

【分析】直接根据点与圆的位置关系进行判断．

解：∵点P在半径为5cm的圆内，

∴点P到圆心的距离小于5cm，

所以只有选项A符合，选项B、C、D都不符合；

故选：A．

3．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣9＝0，可变形为（　　）

A．（x﹣2）2＝9    B．（x﹣2）2＝13    C．（x+2）2＝9    D．（x+2）2＝13

【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．

解：∵x2﹣4x﹣9＝0，

∴x2﹣4x＝9，

则x2﹣4x+4＝9+4，即（x﹣2）2＝13，

故选：B．

4．若方程x2+4x+a＝0无实根，化简等于（　　）

A．4﹣a    B．a﹣4    C．﹣（a+4）    D．无法确定

【分析】先根据方程无实根判断出a的取值范围，再代入原代数式计算即可．

解：∵方程x2+4x+a＝0无实根，∴Δ＝42﹣4a＜0，∴a＞4．

＝＝|a﹣4|，

∵a＞4，∴|a﹣4|＝a﹣4．

故选：B．

5．有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等；⑤平分弦的直径垂直于弦；⑥任意三角形一定有一个外接圆．

其中正确的有（　　）

A．2个    B．3个    C．4个    D．5个

【分析】根据直径的定义对①进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对②④进行判断；根据圆周角定理对③进行判断；根据垂径定理对⑤进行判断；根据三角形外接圆的定义对⑥进行判断．

解：①直径是圆中最长的弦；故①正确，符合题意；

②能够重合的弧叫做等弧，等弧所对的弦相等；故②正确，符合题意；

③圆中90°的圆周角所对的弦是直径；故③错误，不符合题意；

④在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故④错误，不符合题意；

⑤平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦；故⑤错误，不符合题意；

⑥任意三角形一定有一个外接圆；故⑥正确，符合题意；

其中正确的有①②⑥，

故选：B．

6．如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，则根据题意可列出方程（　　）

A．5000﹣150x＝4704    B．5000﹣150x﹣x2＝4704    

C．5000﹣150x+＝4704    D．（100﹣x）（50﹣x）＝4704

【分析】由在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

解：依题意，得：（100﹣x）（50﹣x）＝4704，

故选：D．

7．如图，等腰直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D是量角器上60°刻度线的外端点，连接CD交AB于点E，则∠CEB的度数为（　　）

A．60°    B．65°    C．70°    D．75°

【分析】先根据圆周角定理得到∠BCD＝∠BOD＝60°，然后利用三角形内角和定理即可求解．

解：如图，

∵一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，

∴点A、B、C、D都在以AB为直径的圆上，

∵点D是量角器上60°刻度线的外端点，即∠BOD＝120°，

∴∠BCD＝∠BOD＝60°，

∴∠CEB＝180°﹣∠BCD﹣∠ABC＝75°．

故选：D．

8．如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①＝；②HC＝BF：③MF＝FC：④+＝+，其中成立的个数是（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可．

解：∵F为的中点，

∴＝，故①正确，

∴∠FCM＝∠FAC，

∵∠FCG＝∠ACM+∠GCM，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC，

∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，

∴FC＞FM，故③错误，

∵AB⊥CD，FH⊥AC，

∴∠AEM＝∠CGF＝90°，

∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，

∴∠CFH＝∠BAF，

∴＝，

∴HC＝BF，故②正确，

∵∠AGF＝90°，

∴∠CAF+∠AFH＝90°，

∴的度数+的度数＝180°，

∴的度数+的度数＝180°，

∴+＝+＝+＝+，故④正确，

故选：C．

二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分．请把正确答案填在答题纸相应的横线上）

9．一元二次方程3x＝x2的根为　x1＝0，x2＝3　．

【分析】先移项得到x2﹣3x＝0，然后利用因式分解法解方程．

解：x2﹣3x＝0，

x（x﹣3）＝0，

x＝0或x﹣3＝0，

所以x1＝0，x2＝3．

故答案为x1＝0，x2＝3．

10．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0有一个解是0，则m的值为　﹣2　．

【分析】把x＝0代入方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0．

解：把x＝0代入方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0中，得

m2﹣4＝0，

解得m＝﹣2或2，

当m＝2时，原方程二次项系数m﹣2＝0，舍去，

故答案是：﹣2．

11．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝56°，则∠BCD＝　34　度．

【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB＝90°，继而求得∠A的度数，然后由圆周角定理，求得∠BCD的度数．

解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∵∠ABD＝56°，

∴∠A＝90°﹣∠ABD＝34°，

∴∠BCD＝∠A＝34°．

故答案为：34．

12．若一个直角三角形的两条直角边长分别为5cm和12cm，则这个三角形的外接圆的直径长为 　13　cm．

【分析】根据勾股定理求出斜边长，根据圆周角定理解答即可．

解：由勾股定理得，直角三角形的斜边长＝＝13（cm），

∴这个三角形的外接圆的直径长为13cm，

故答案为：13．

13．九年级（1）班部分学生去秋游时，每人都和同行的其他每一人合照一张双人照，共照了双人照片36张，则同去秋游的人数是 　9　人．

【分析】设同去春游的人数是x人，由每人都和同行的其他每一人合照一张双人照且共照了双人照片36张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

解：设同去春游的人数是x人，

依题意，得：x（x﹣1）＝36，

解得：x1＝9，x2＝﹣8（舍去）．

故答案是：9．

14．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，1）、B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴于点C、D，则CD的长是　2　．

【分析】根据同圆的半径相等得到AC＝AD＝AB＝2，AO＝1，由AB⊥CD，根据垂径定理得到OC＝OD，由勾股定理求得OC即可求得结论．

解：∵点A（0，1）、B（0，﹣1），

∴AC＝AD＝AB＝2，AO＝1，

∵AB⊥CD，

∴OC＝OD，

OC＝＝＝2，

故答案为：2．

15．设m、n是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为　2019　．

【分析】由于m、n是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n＝﹣1，并且m2+m﹣2020＝0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果

解：∵m、n是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，

∴m+n＝﹣1，

并且m2+m﹣2020＝0，

∴m2+m＝2020，

∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2020﹣1＝2019．

故答案为：2019．

16．某种药品原价每盒60元，由于医疗改革，价格经过两次下调后现在售价每盒48.6元，则平均每次下调的百分率为　10%　．

【分析】设平均每次降价的百分比是x，则第一次降价后的价格为60×（1﹣x）元，第二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的，为60×（1﹣x）×（1﹣x）元，从而列出方程，然后求解即可．

解：设平均每次降价的百分比是x，根据题意得：

60（1﹣x）2＝48.6，

解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去），

答：平均每次降价的百分比是10%；

故答案为：10%．

17．已知关于x的方程x2﹣x﹣＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　k≥0　．

【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解不等式即可．

解：∵关于x的方程x2﹣x﹣＝0有两个不相等的实数根，

∴（﹣）2﹣4×1×（﹣）＞0且k≥0，

解得k≥0，

故答案为k≥0．

18．如图，平面直角坐标系中，分别以点A（4，6）、点B（6，8）为圆心，以2、6为半径作⊙A、⊙B，M，N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为 　　．

【分析】作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，根据两点之间线段最短得到此时PM+PN最小，再利用对称确定A′的坐标，接着利用两点间的距离公式计算出A′B的长，然后用A′B的长减去两个圆的半径即可得到MN的长，即得到PM+PN的最小值．

解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，

则此时PM+PN最小，

∵点A坐标（4，6），

∴点A′坐标（4，﹣6），

∵点B（6，8），

∴A′B＝＝10，

∴MN＝A′B﹣BN﹣A′M＝10﹣2﹣6＝10﹣8，

∴PM+PN的最小值为10﹣8．

故答案为：10﹣8．

三、解答题（本大题共10题，满分96分，请在答题纸的指定区域内作答，解答时应写出必要文字说明、证明或演算步骤）

19．解方程：

（1）3x2﹣4x＝1；

（2）（3y﹣2）2＝（2y﹣3）2．

【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用求根公式解方程；

（2）先移项得到（3y﹣2）2﹣（2y﹣3）2＝0，然后利用因式分解法解方程．

解：（1）3x2﹣4x﹣1＝0，

∵Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28＞0，

∴x＝＝＝，

∴x1＝，x2＝；

（2）（3y﹣2）2﹣（2y﹣3）2＝0，

（3y﹣2+2y﹣3）（3y﹣2﹣2y+3）＝0，

3y﹣2+2y﹣3＝0或3y﹣2﹣2y+3＝0，

解得y1＝1   y2＝﹣1．

20．先化简，再求值：，其中x满足方程x2﹣4x+3＝0．

【分析】根据分式的加减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据x2﹣4x+3＝0，可以得到x的值，然后将使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．

解：

＝

＝

＝

＝，

由x2﹣4x+3＝0可得，x1＝1，x2＝3，

∵x﹣1≠0，x﹣2≠0，

∴x≠1，2，

∴x＝3，

当x＝3时，原式＝＝5．

21．如图，已知：AC、BD是⊙O的两条弦，且AC＝BD，求证：AB＝CD．

【分析】利用圆心角，弧，弦之间的关系解决问题即可．

【解答】证明：∵AC＝BD，

∴＝，

∴﹣＝﹣，

∴＝，

∴AB＝CD．

22．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+3＝0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若k为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k的值．

【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围；

（2）找出k范围中的整数解确定出k的值，再将k的值代入原方程，求出方程的根，经检验即可得到满足题意的k的值．

解：（1）Δ＝（﹣6）2﹣4（k+3）＝36﹣4k﹣12＝﹣4k+24，

∵原方程有两个不相等的实数根，

∴﹣4k+24＞0．

解得 k＜6；

（2）∵k＜6且k为大于3的整数，

∴k＝4或5．

①当k＝4时，方程x2﹣6x+7＝0的根不是整数．

∴k＝4不符合题意；

②当k＝5时，方程x2﹣6x+8＝0根为x1＝2，x2＝4均为整数．

∴k＝5符合题意．

综上所述，k的值是5．

23．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．

（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；

（2）点M的坐标为 　（2，0）　；⊙M的半径为 　2　；

（3）点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系是点D在⊙M　内部　；

（4）若画出该圆弧所在圆，则在整个平面直角坐标系网格中该圆共经过 　8　个格点．

【分析】（1）作线段AB，BC的垂直平分线交于点M，点M即为所求．

（2）根据点M的位置写出坐标即可，利用勾股定理求出半径．

（3）根据点与圆的位置关系判断即可．

（4）利用图像法，判断即可．

解：（1）如图，点M即为所求．

（2）M（2，0），MA＝．

故答案为：（2，0），2．

（3）点D（5﹣2）在⊙M内部．

故答案为：内部．

（4）如图，满足条件的点有8个．

故答案为：8．

24．已知关于x的方程x2+ax+a﹣3＝0．

（1）若该方程的一个根为2，求a的值及方程的另一个根；

（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

【分析】（1）将x＝2代入方程x2+ax+a﹣3＝0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根；

（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．

解：（1）将x＝2代入方程x2+ax+a﹣3＝0得4+2a+a﹣3＝0，解得a＝﹣，

方程为x2﹣x﹣＝0，即3x2﹣x﹣10＝0，

解得设x1＝﹣，x2＝2．

（2）∵Δ＝a2﹣4（a﹣3）

＝a2﹣4a+12

＝a2﹣4a+4+8

＝（a﹣2）2+8＞0，

∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

25．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，

（1）求⊙O的半径；

（2）求O到弦BC的距离．

【分析】（1）连接OB，设半径为r，则OE＝r﹣2，构建方程即可解决问题．

（2）根据S△BCO＝BC⋅OF＝OC⋅BE，求解即可．

解：（1）连接OB，设半径为r，则OE＝r﹣2，

∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，

∴BE＝DE＝4，

在Rt△OBE中，∵OE2+BE2＝OB2 ，

∴（r﹣2）2+42＝r2

∴r＝5．

（2）∵r＝5，

∴AC＝10，EC＝8，BE＝DE＝4cm，

∴BC＝＝4（cm）

∵OF⊥BC，

∴S△BCO＝BC⋅OF＝OC⋅BE

∴4⋅OF＝5×4，

∴OF＝．

26．某玩具商店以每件50元为成本购进一批新型玩具，以每件80元的价格销售则每天可卖出20件，为了扩大销售，增加盈利，商店决定采取适当的降价措施，经调查发现：若每件玩具每降价1元，则每天可多卖2件．

（1）若商店打算每天盈利750元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件玩具的售价应定为多少元？

（2）若商店为追求效益最大化，每件玩具的售价定为多少元时，商店每天盈利最多？最多盈利多少元？

【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以写出相应的方程，然后求解即可，注意又要使顾客得到更多的实惠，也就是售价越低越好；

（2）根据题意，可以写出利润和售价之间的函数关系，然后根据二次函数的性质解答即可．

解：（1）设每件玩具的售价为a元，

由题意可得，（a﹣50）[20+2（80﹣a）]＝750，

解得a1＝65，a2＝75，

∵要使顾客得到更多的实惠，

∴a＝65，

答：商店打算每天盈利750元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件玩具的售价应定为65元；

（2）设每件玩具的售价定为x元，商店每天盈利为w元，

由题意可得，w＝（x﹣50）[20+2（80﹣x）]＝﹣2（x﹣70）2+800，

∵a＝﹣2，

∴该函数开口向下，有最大值，

∴当x＝70时，该函数取得最大值，此时w＝800，

答：商店为追求效益最大化，每件玩具的售价定为70元时，商店每天盈利最多，最多盈利为800元．

27．若x1、x2是关于x一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2＝，x1•x2＝，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理．

已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝19，求m的值；

（3）已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的长，求这个三角形的周长．

【分析】（1）根据Δ≥0，构建不等式求解即可．

（2）利用根与系数的关系，把问题转化为方程求解即可．

（3）分7为等腰三角形的底或腰两种情形，讨论求解即可．

解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两实数根，

∴Δ≥0，

∴[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+5）≥0

解得，m≥2；

（2）∵x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+5，

又∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝19，

∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝19，

∴m2+5﹣2（m+1）+1＝19，

解得m＝﹣3（舍去），m＝5，

∴m＝5；

（3）当7为底时，由题意得，Δ＝0，得m＝2，带入求得两边长为3，因为3+3＜7，舍去；

当7为腰时，将x＝7带入得，m＝4或m＝10，

当m＝10时，算得三边长为7、7、15，因为7+7＜15（舍去），

当m＝4时，算得三边长为3、7、7，可以构成三角形，

所以周长为3+7+7＝17．

28．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝8cm，BC＝3cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向点D移动．当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动．

（1）问几秒后，△PQD的面积为6？

（2）问几秒后，点P和点Q的距离是5cm？

（3）问几秒后，以三点P、Q、D为顶点的三角形为直角三角形？

（提示：根据不同情况画出不同的图形，再给予解决问题．此题包括从开始到结束的所有情况）

【分析】（1）利用三角形的面积公式建立方程求解即可；

（2）利用点P和点Q的距离是5cm，结合勾股定理求出答案；

（3）由题意可得：AP＝3t，CQ＝2t，即可得DQ＝CD﹣CQ＝8﹣2t，然后过点Q作QM⊥AB于点M，然后分别从：①若∠DPQ＝90°，易得△APD∽△MQP，②若∠DOP＝90°，则有DQ2＝DP2﹣PQ2，③∠PDQ＝90°三种情况，去分析求解即可求得答案．

解：（1）如图，

设t秒后，△PQD的面积为6，

∴CQ＝2t，

∴DQ＝8﹣2t，

∴S△PQD＝DQ×PE＝DQ×AD＝（8﹣2t）×3＝6，

∴t＝2，

∴2秒后，△PQD的面积为6；

（2）设t秒后，点P和点Q的距离是5cm，

（8﹣2t﹣3t）2+32＝52，

（8﹣5t）2＝16，

8﹣5t＝±4，

t1＝，t2＝，

∴秒或秒时，点P和点Q的距离是5cm；

（3）∵四边形ABCD是矩形，

∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝3，

根据题意得：AP＝3t，CQ＝2t，

∴DQ＝CD﹣CQ＝8﹣2t，

过点Q作QM⊥AB于点M，

∴四边形BCQM是矩形，

∴QM＝BC＝3，BM＝CQ＝2t，

∴PM＝AB﹣AP﹣BM＝8﹣5t，

①如图1，

若∠DPQ＝90°，

∴∠APD+∠MPQ＝90°，

∵∠APD＝∠ADP＝90°，

∴∠ADP＝∠MPQ，

∵∠A＝∠PMQ＝90°，

∴△APD∽△MQP，

∴，

∴，

解得：t＝1或t＝；

②如图2，

若∠DQP＝90°，则有DQ2＝DP2﹣PQ2，

∴（8﹣2t）2＝32+（3t）2﹣32

解得：t＝或t＝﹣8（舍），

③如图3，当∠PDQ＝90°时，

∵∠ADQ＝90°，

∴t＝0，

综上所述，当t＝0或1或或时，以三点P、Q、D为顶点的三角形为直角三角形．下载本文