1．（2021•福建）如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点不与，重合，且，是五边形内满足且的点．现给出以下结论：
①与一定互补；
②点到边，的距离一定相等；
③点到边，的距离可能相等；
④点到边的距离的最大值为．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【详解】四边形是矩形，
，
又，四边形内角和是，
，
故①正确；
过作，，分别交于，交于，
且，
，
又，
，即，
，
，
，
在和中，
，
，
，
故②正确；
，，并由②知，
点到边，的距离不相等，
故③错误：
在直角三角形中，，当点、重合时最大，
，
，
故④正确．
2．（2020•福建）设，，，是反比例函数图象上的任意四点，现有以下结论：
①四边形可以是平行四边形；
②四边形可以是菱形；
③四边形不可能是矩形；
④四边形不可能是正方形．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①④
【详解】如图，过点任意作两条直线分别交反比例函数的图象于，，，，得到四边形．
由对称性可知，，，
四边形是平行四边形，
当直线和直线关于直线对称时，此时，即四边形是矩形．
反比例函数的图象在一，三象限，
直线与直线不可能垂直，
四边形不可能是菱形或正方形，
故选项①④正确
3．（2019•福建）如图，菱形顶点在函数的图象上，函数的图象关于直线对称，且经过点，两点，若，，则 ．
【答案】
【详解】连接，，过作轴于点，延长与轴交于点，过点作轴于点，
函数的图象关于直线对称，
，，三点在同直线上，且，
，
不妨设，则，
点在在反比例函数的图象上，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
4．（2018•福建）如图，直线与双曲线相交于，两点，轴，轴，则面积的最小值为 ．
【答案】6
【详解】方法一：
设，，则．
将代入，得，
整理，得，
则，，
．
，
当时，的面积有最小值6．
方法二：
因为斜率为1，且轴，轴
为等腰直角三角形
当最小时，，直线为
联立方程，解得或
，，，
5．（2021•宁波模拟）如图，平面直角坐标系中，在反比例函数的图象上取点，连接，与的图象交于点，过点作轴交函数的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，连接，，，与交于点，则 ．
【答案】
【详解】如图，过点作轴于，过点作轴于．
，
，
，，
，
，
设，则，，
轴，轴，
，，
直线的解析式为，直线的解析式为，
由，解得，
，，
6．（2021•厦门模拟）在平面直角坐标系中，点，，，，，，，在双曲线上，且，．要使得四边形是矩形，至少要满足条件 ．（只需写出一种符合题意的答案，填写相应的序号即可）
①；②；③且；④，都经过点．
【答案】①③或①④或②③或②④
【详解】满足①③，如图：
且，
为、的中点，
即四边形为平行四边形，
，即，
由反比函数的几何意义可得：，
，
，
，即，
平行四边形是矩形，
①③可得结论．
7．（2021•宁德模拟）已知矩形，顶点，分别在轴的正半轴上和轴的正半轴上，顶点，在反比例函数的图象上．点的横坐标是2，且矩形的面积是24，则 ．
【答案】16
【详解】如图所示，
由．
设，，，过作交轴于点，
点的坐标，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
8．（2021•泉州模拟）如图，点、为反比例函数上的动点，点、为反比例函数上的动点，若四边形为菱形，则该菱形边长的最小值为 ．
【答案】4
【详解】连接、，过点作轴于，过点作轴于，如图，
四边形为菱形，
，
为反比例函数上的点，点为反比例函数上的点，
，，
，，
，
，
，
，
，
当最小时，最小，
点为反比例函数的对称轴与反比例函数图象在一象限的交点时，最小，
的最小值为，
的最小值为4，
即该菱形边长的最小值为4．
9．（2021•龙岩模拟）如图，已知直线与轴、轴相交于、两点，与的图象相交于，，，两点，连接、，现有以下4个结论：①；②不等式的解集是；③；④．其中正确结论的序号是 ．（填上你认为正确的所有结论的序号）
【答案】①③④
【详解】①如图所示，直线经过第一、三象限，则．
双曲线经过第一、三象限，则．
所以．
故结论①正确；
②如图所示：不等式的解集是或；
故结论②不正确；
③把，，，的坐标代入得，，
，
把，，，的坐标代入，得，
，
，
，
，
，
；
故结论③正确；
④把，，，的坐标代入得，，
解得，
直线解析式为，
点，，
把，，，的坐标代入，得，
，
，
．
故结论④正确．
10．（2021•海沧区模拟）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且点与点关于直线对称，为的中点，若，则线段的长为 ．
【答案】
【详解】设，
点与点关于直线对称，
，，
，
，
即或，
解方程，得（由于点在第一象限，所以舍去）或，
经检验，，符合题意，
，，，，
为的中点，
，
．
11．（2021•莆田模拟）在平面直角坐标系中，若原点关于直线的对称点在双曲线上，则的值为 ．
【答案】
【详解】如图，
设直线关系式为，，
，
设中点为，则，，
由对称性可得在直线上，且与直线垂直，
，
解得：，，．
12．（2021•梅列区一模）如图，菱形的四个顶点分别在反比例函数和第一象限的图象上，则点的坐标为 ．
【答案】，
【详解】连接、，交于点，
根据菱形和反比例函数的对称性可知、在直线上，
，，
是的中点，
，，
，
设直线为，
把，代入得，
解得，
直线为，
解得或，
点的坐标为，
13．（2021•三明模拟）如图，在中，，，直线经过原点，点在轴上，交轴于点，，若反比例函数经过，两点，则的值为 ．
【答案】
【详解】过点作轴于点，
，，
，
，
、关于原点对称，
，
为直角三角形，
，
，
，
，，
把的坐标代入可得．
14．（2021•漳州模拟）已知直线与双曲线相交于点，，，，则的最大值是 ．
【答案】1
【详解】与相交于点，，，，且这两个函数图象都是关于原点对称的中心对称图形，
点与点关于原点对称，
，
，
设，
则是的二次函数，
，开口向下，二次函数有最大值，
有最大值，
，
即的最大值为1
15．（2021•南平模拟）如图，点在反比例函数图象上，连接并延长交另一支图象于点，以为对角线作菱形，点、在反比例函数图象上，且，则的值是 ．
【答案】
【详解】如图，分别过点、作轴于，轴于，
，轴与轴垂直，
，，
，
，
中，，
，
，
点在反比例函数图象上，
，
，
点在反比例函数图象上，
．
16．（2020•洛江区一模）如图，矩形的顶点、都在曲线上，若顶点的坐标为，则直线的函数表达式是 ．
【答案】
【详解】，
，，，
，，
设直线的解析式为，
把，，代入得，解得，
直线的解析式为．
17．（2021•闽侯县模拟）已知过原点的直线与双曲线在一三象限分别交于，两点，点在轴上，且，，则的面积为 ．
【答案】5
【详解】由题意可知，
，，
点为轴上一点，，
，
，
，
，
设点为，，则，，
，
，
，
，
，
，
解得，或（舍弃），
，
18．（2021•上杭县模拟）如图，平面直角坐标系中，点，在轴上，点在轴上，直线交双曲线第一象限于点，连接，，，若，，，则的值是 ．
【答案】4
【详解】过点作于，如图，
，，
．
，
设，，则，．
．
，
．
．
，，
．
．
．
．
．
．
．
19．（2021•鼓楼区校级模拟）如图，中，，，，点在边上，以为直径的圆，与边有公共点，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】当点是切点且时，则有最小值，如图，
，，
，
，
中，，，，
，
设，
，
解得，
．
的最小值为．
20．（2020•浙江自主招生）函数的最小值是 ．
【答案】
【详解】，
表示的几何含义为抛物线上的一点到点和点的距离之和，
即，如图，
当且仅当、、三点共线时，取得最小值．
21．（2021•永定区模拟）如图，正方形的边长为2，点与原点重合，与反比例函数的图象交于、两点，若的面积为，则的值 ．
【答案】1
【详解】设，则，，
，
，
解得或（不合题意，舍去），
，
22．（2020•浙江自主招生）如图，已知在第一象限内反比例函数的图象上有一点，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为，，使四边形为正方形．又在反比例函数的图象上有一点，过点分别作和轴的垂线，垂足分别为，，使四边形为正方形，则点的坐标是 ．
【答案】，
【详解】是正方形，
点的横纵坐标相等，因而设坐标是，代入函数解析式得，
解得，
在第一象限，
点的坐标是，
设，
代入函数解析式得，
解得，
在第一象限，
点的坐标是，
23．（2021•厦门模拟）已知抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，是的中点．在抛物线上，关于直线的对称点为，关于点的对称点为．当时，线段的长随的增大而发生的变化是 ． “变化”是指增减情况及相应的取值范围）
【答案】当时，的长随的增大而减小，当时，的长随的增大而增大【详解】，
顶点，
对称轴为直线，
，
是的中点，
，
关于直线的对称点为，
，
点关于的对称点为，
是的中点，
，
和的横坐标相同，
轴，
令，则，
，
①当时，在点下方，如图1，
在下方，
，
，
，
，
当时，的大小随着的增大而减小，
②当时，在点上方，如图2
在上方，
，
，
，
当时，的大小随着增大而增大，
即当时，的长随的增大而减小，当时，的长随的增大而增大．
24．（2020•思明区校级模拟）如图，正方形的顶点，分别在轴和轴上，边的中点在轴上，若反比例函数的图象恰好经过的中点，则的长为 ．
【答案】6
【详解】过作轴于，连接，设：，，
过点作轴的平行线交轴于点，作于点，
四边形是正方形，
，，
，
，
点与点分别是，的中点，
，
，
点是的中点，则，，
同理，
则，，
，故，
点，则，而，
解得：，，
25．（2020•鼓楼区一模）如图，是半圆的直径，点（不与点，重合）为半圆上一点，将图形沿折叠，分别得到点，的对应点，，过点，若与半圆恰好相切，则的大小为 ．
【答案】15
【详解】作于，于，如图，
与半圆恰好相切，
为的半径，即，
，
，，，
四边形为正方形，
图形沿折叠，分别得到点，的对应点，，
，，
，
，
，
．
26．（2020•泉州模拟）如图，，是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且为线段的中点，过点作轴于点，为线段的三等分点，且．连接，．若，则的值为 ．
【答案】
【详解】设，，则，，，
，
，
，
，
连接，．
，
，
，
，
，
．
解法二：如图，作于．
设，则，，，，，，，
，
，
解得．
27．（2020•建瓯市模拟）如图，点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上．若轴，轴，且，，，则 ．
【答案】
【详解】设，则，，，依题意有
，解得：
28．（2020•旌阳区模拟）已知双曲线与在第一象限内交于，两点，，则扇形的面积是 ．
【答案】
【详解】设的半径，连接，作直线，与交于点，示、过作轴于点，过作轴于点，过作于点．
在第一象限关于对称，也关于对称，
，，，
，
，
由对称性知，，
由反比例函数的几何意义知，，
，
，
，
，
，
，
，
．
29．（2020•寿宁县一模）已知为双曲线的点，点作轴，轴的垂线分别交直线于点、两点（点在点下方），若直线与轴交于点，与轴相交于点，则的值为 ．
【答案】
【详解】设，则，
与轴、轴的交点为、，
，即是等腰直角三角形，
过点作轴，垂足为，则是等腰直角三角形，
，
同理：，
．
30．（2020•福州模拟）如图，直线与双曲线交于，两点，交该双曲线于点，则的值是 ．
【答案】
【详解】与交于、两点，
联立方程组，
解得，，
，
的长为，
设直线的解析式为，
，
，
，
，
联立，
解得，，
，
由勾股定理得，，
．
