河南省漯河实验高中张银焕

高中数学中，函数的最值是比较重要的内容之一，并且一直是的热点问题。同样，三角函数的最大值，最小值也是非常重要的。从近几年的高考试卷中可以看到，三角函数的最值问题是高考中一个重要内容。在学习和教学中发现三角函数最值问题不仅仅是一个热点问题，也是一个难点问题。

一、三角函数最值问题的常见类型

1.1y=acosx+bsinx 型.

通常是化为y=22b a +sin(x+a),其中（tanΦ=

a b ）.这种类型可借助三角函数的值域来求最值.

例1当-2π≤x≤2

π时，函数f(x)=sinx+3cosx 的最值是什么？

分析f(x)=2(

12cosx)=2sin(x+3π).由-2π≤x≤2π，可得–6π≤x+3π≤56π,所以–12≤sin(x+3

π)≤1.所以-1≤f(x)≤2.

所以f(x)的最大值是2、最小值是-1.

1.2y=sin sin c x d a x b

++型.通常是先解出sinx=d by ay c −−后，再解出不等式|d by ay c

−−|≤1得出y 的范围.例2求y=2sin 1sin 2

x x −+的最值.分析由y=2sin 1sin 2x x −+，解得sinx=212y y −−−.再有|212

y y −−−|≤1，解得-3≤y≤13

.所以y 的最大值是

13、最小值是-3.1.3y=cos sin c x d a x b

++型.通常是将原式化为aysinx-ccosx=d-by,即22)(c

ay +sin(x-Φ)=d-by.得

sin(x-Φ)≤|1|≤1，得出

y 的范围.

例3

求函数y=

12sin cos x x ++的最大值.分析由y=12sin cos x x ++，知y≠0.于是原式可以化为ysinx+ycosx=1-2y，即2ysin(x+4π)=1-2y.

∵y≠0,∴sin(x+

4π)=.解得≤y≤1+.

所以y 的最大值是.1.4y=asin 2x+bsinx+c(或y=acos 2x+bcosx+c)型.

通常用配方法求最值，但是应该注意条件-1≤sinx1≤以及对称轴与区间[-1，1]的位置关系.

例4求函数y=cos 2x-2asinx-a.(a 为定值)的最大值M.

分析

y=cos 2x-2asinx-a=1-sin 2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a 2-a+1.(1)

若a>1,则sinx=-1时，M=-(-1+a)2+a 2-a+1=a.(2)

若a<-1,则sinx=1时，M=-(1+a)2+a 2

-a+1=-3a.(3)若-1≤a≤1,则sinx=a 时，M=a 2-a+1.1.5

y=asin 2x+bsinxcosx+ccos 2x 型.通常是运用降幂公式、倍角公式整理后化为y=acosx+bsinx 型.例5若0≤θ≤π，且f(θ)=53cos 2θ+3sin 2θ-4sinθcosθ,

求f(θ)的最大值和最小值.

分析利用降幂公式可得：f(θ)=−−++22cos 1322cos 13

5θθ)23

sin(4332sin 2θπθ−+=.由0≤θ≤π，可得-53π＜3π-2θ≤3

π.所以-1≤sin(3π-2θ)≤1.所以f(θ)的最大值是33+4、最小值是33-4.

1.6y=sinxcos 2x 型.

通常是用均值不等式求解.

例6已知sin 2α+sin 2β+sin 2

γ=1(α、β、γ为锐角)，那么cosαcosβcosγ最大值是什么？

分析

由sin 2α+sin 2β+sin 2γ=1，得sin 2α+sin 2β=cos 2γ.那么cos 2αcos 2βcos 2γ=cos 2αcos 2β(sin 2α+sin 2β)≤（3sin sin cos cos 2222βαβα+++）3=827

.

所以.1.7f(sinx±cosx、sinxcosx)型.

通常是用和差换元的方法化为二次函数问题.

例7求函数y=sinxcosx+sinx+cosx 的最大值.

分析设sinx+cosx=t(|t|≤2)，则sinxcosx=212t −.这样y=212t −+t=12

(t+1)2-1(-2≤t≤2).所以t=2时y 的最大值是12（2+1）2-1=2+12

.二、三角函数最值问题的常见错误.

最值问题是中学数学中很常见，很重要的体型，也是高考的热点，此类问题在代数、三角、立体几何和解析几何中屡屡出现，它的解法灵活多变，在学习中发现大家在解题时常常出现错误，而且有的还相当隐蔽，现列举解三角函数最值时常见错误加以分析仅供参考。

2.1

忽视隐含条件.例8已知3sin 2x+2cos 2y=2sinx，求sin 2x+cos 2y 的最值.

错解由已知得cos 2y=sinx-2

3sin 2x（*）.所以sin 2x+cos 2y=-21sin 2x+sinx=-2

1)1(sin 212+−x .所以当sinx=1时，sin 2x+cos 2y 的最大值是2

1.

当sinx=-1时sin 2x+cos 2

y 的最小值是-2

3.剖析如果取sinx=-1,由已知得cos 2y=-2

5，矛盾.其原因是从（*）中挖掘出隐含条件0≤sinx≤3

2.正解由已知得cos 2y=sinx-23sin 2x，因为cos 2y≥0，所以sinx-23sin 2x ≥0.

所以0≤sinx≤

32.所以sin 2x+cos 2y=21sin 2x+sinx=-2

1)1(sin 212+−x .所以当sinx=32时，sin 2x+cos 2y 的最大值是94.当sinx=0时，sin 2x+cos 2

y 的最小值是0.2.3滥用基本不等式.

用不等式解最值问题是，往往因为误用“和”与“积”的最值定理，不考虑等式有无成立的可能，运用不等式的传递性时忽视前后等式成立的条件是否一致，这都可能导致错误结论.

例9.求函数y=x x x x 2222sec cos csc sin +++的最小值.

误解y=x x x x 2222sec cos csc sin +++,误认为

42cos 1cos sec cos ,2sin 1sin csc sin min 22222222=∴≥+=+≥+

≥+y x

x x x x x x x 这里没有考虑等号成立的条件上面两式不可能同时取等号，所以得出错误的解.

正解5

5cot tan 3csc sec 1min 2222==≥++=++=y k x x x x x y 时，即当π三角函数最值是中学教学的一个重要内容，加强这一内容的教学有助于进一步掌握已经学过的三角的知识，沟通三角、代数、几何之间的联系，培养思维能力，把三角函数最值的基本体型，解题方法以及常见的错误综合在一起，有利于触类旁通，举一反三，从而也避免了易出现的错误！此论文有不足之处望多多指教！

三角函数的最值问题

作者：张银焕

作者单位：河南省漯河实验高中

刊名：

中学生导报（教学研究）

英文刊名：Zhong Xue Sheng Dao Bao（Jiao Xue Yan Jiu）

年，卷(期)：2011(16)

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