◆考点剖析

平面向量是高中数学教材中的重要内容之一，也是历届数学高考的必考考点，试题多以选择题、填空题等小题形式出现，也有的以解答题的形式出现，重点考查向量的几何、代数、坐标三种形式的运算和数量积公式的灵活应用。现举例解析如下：

例1、（2010年湖北卷5）已知和点满足：，若存在实数使得成立，则

、2            、3             、4           、5

分析：可用向量的三角形法则或平行四边形法则，再借助待定系数法进行求解：

解：由及向量的三角形法则可得，即，注意到，故，所以，即，所以，应选答案。

点评：本题重点考查和检测考生平面向量的三角形法则或平行四边形法则等几何形式的运算。

例2、（2010年浙江卷）已知平面向量，则的值为     。

分析：可用公式及向量的代数形式的运算公式进行求解，即先求，再求的值：

解：因，故，又，则，而，所以。

点评：本题重点考查和检测考生平面向量的代数形式的运算及平面向量的数量积公式。

例3、（2010年陕西卷11）已知向量，若，则     。

分析：先算出向量的坐标形式，再借助两向量平行（共线）的等价条件建立方程求解：

解：因，故，即，由题设可得：，即。

点评：本题重点考查和检测向量坐标形式的运算及平行（共线）等价条件的运用。

例4、（2010年天津卷）如图，在中，若，则

、            、            、         、

分析：可用向量的三角形法则和数量积公式进行求解：

解：因且，故，由向量的数量积公式得：，即，注意到在中，，所以，故应选答案。

点评：本题重点考查和检测平面向量的几何形式的运算和数量积公式的运用及解直角三角形的知识。

例5、（2010年全国卷）已知圆的半径为1，若为该圆的两条切线，为两切点，则的最小值为

、   、   、    、

分析：由于为该圆的两条切线，故，因而可设为变量，进而将向量的夹角的余弦表示为的关系式来构建目标函数进行求解：

解：设，则，由于，因为，所以，（当且仅当时取等号），故，即的最小值为，故应选答案。

点评：本题通过借助向量的数量积公式巧妙构设目标函数，运用均值不等式简捷、明快求出目标函数的最小值，体现了均值不等式求最值的简捷、明快之功能及高考试题的综合性。

通过以上几例的解析可以看出：平面向量与角三角形是高考常考考点，也是高考必考的内容之一，从2010年各地高考试题不难看到：试题的题型多为选择题和填空题，也有解答题形式的大题，试题既注重考查基础知识和基本公式的灵活运用，特也注重对基础知识基本技能的综合性应用，特别通过对这些试题的精心设置来考查学生的能力，以能力立意，并注重对平面向量、正、余弦定理等基础知识和基本公式的考查将是2011年高考数学命题的主方向。

◆考点透视

注重对教材中基本知识基本技能的考查是高考命题的主旋律，注重知识之间的融汇与综合是高考命题追求的目标，平面向量这部分内容中考点与热点主要有：

一、向量的概念及三种形式的运算法则

例1、（2010年江苏卷）在平面直角坐标系中，已知点。

（1）求以线段为邻边的平行四边形两条对角线的长；

（2）设实数满足，求的值；

分析：（1）依据向量的坐标形式的运算公式求出向量，再用向量的平行四边形法则求出对角线长；（2）用向量的数量积公式构建方程求出的值：

解：（1）因，故向量的坐标运算可得，所以由向量的平行四边形法则知以线段为邻边的平行四边形两条对角线对应的向量分别为，，所以由向量模的计算公式得，即以线段为邻边的平行四边形两条对角线的长分别为。

（2）因，故，所以由得，即，所以。

点评：本题主要考查向量的坐标运算，平行四边形法则和三角形法则，向量模的求法及向量的数量积公式坐标形式运算及转化与化归思想、方程思想等数学思想，关于向量的考查2011年高考仍将以选择、填空等小题形式进行检测，并将其与解析几何、解三角形等知识综合。

二、向量与其它知识的融汇与整合

例2、（2010安徽卷）设是锐角三角形，分别是所对边长，并且所。

（1）求的值；

（2）若，求（其中）。

分析：（1）将已知等式应用三角变换公式进行化简可求得的值；（2）利用向量的数量积公式建立方程可求得边：

解：（1）由两角和与差的正弦公式得：，所以，即，又因是锐角三角形，故；

（2）由向量数量积公式及已知可得：，由（1）知，故，即，由余弦定理得：，将代入可得：，结合可得：，则，由此可知是一元二次方程的两根，注意到，故可解之得。

点评：本题将向量的数量积公式与解三角形有机地结合在一起，旨在重点考查学生灵活运用所学知识分析解决问题，向量与解三角形整合将是2011年高考命题的主方向。

例3、（2010年福建卷）若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上任意一点，则的最大值是       。

分析：可设点坐标为，运用向量数量积的坐标形式建立关于的函数进而借助点在椭圆上及椭圆的范围求出其最大值：

解：设点坐标为，因，故，则该椭圆的左焦点坐标为，而，所以，注意到点在椭圆上，故且，即，代入可得：，由于该函数是对称轴开口向上的抛物线，故当时，函数取最大值。

点评：本题将向量的数量积公式与解析几何中的圆锥曲线有机地结合在一起，考查数学建模思想，及建立函数模型解决最值问题的能力，体现了高考在知识的交汇点处设置问题命题宗旨，以此来综合考查和检测考生的知识与运用知识的能力，借助向量的坐标形式与平面解析几何进行融汇和整合是2016年高考命题的重要方向。

◆课堂一测

一、选择题

1、（文）若向量，则实数的值为

、         、      、2     、6

（理）若非零向量满足，则与的夹角为

、         、      、     、

2、已知锐角的面积为，则角的大小为

、         、      、     、

（理）在中，角所对的边长分别为，若，则

、     、      、     、与的大小关系不能确定

3、在中，点在边上，若平分内角，若，则

、         、      、     、

4、若的三个内角满足，则 

、一定是锐角三角形、一定是直角三角形、一定是钝角三角形、可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

5、设的三个内角为，向量，若，则

、         、      、     、

（理）已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则点到轴的距离是

、         、      、     、

答案：1、理；2、理；3、；4、理

二、填空题

1、（文）已知向量满足：，则     。

（理）已知的面积且，则        。

2、在中，若，且，则           。

3、设点是线段的中点，点在直线外，若，则     。

答案：1、理；2、；3、2。

三、解答题

1、已知向量与互相垂直，其中。

（1）求和值；

（2）若，求的值。

（理）设向量，

（1）若与垂直，求的值；

（2）求的最大值；

（3）若，求证：。

2、设函数。

（1）求函数的值域；

（2）记的内角所对边分别是，若，求的值。

（理）在中，三内角所对的边分别是，且满足。

（1）求的面积；

（2）若，求的值。

3、在中，内角所对边分别是，已知。

（1）求；

（2）当，求及的长。

（理）在中，三内角所对的边分别是，若。

（1）求的值；

（2）若，求的值。

备用题4、（2010福建卷）某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且该港口相距20海里的处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/时的航行速度行驶，经过时与轮船相遇。

（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行速度的大小应为多少？

（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短的时间与轮船相遇，并说明理由。

答案：1、（1）由得，结合及可得：；

（2）因，故，所以，所以，注意到，所以，故。

理、（1）由于与垂直，因此，又因为，所以，即；

（2）由于，因此，注意到，所以，当时取等号，所以求的最大值为；

（3）由得：，所以。

 2、解（1）因，故函数的值域为；

（2）由（1）知，即，注意到是的内角，由此可得：，在中由余弦定理得：，即，所以或。

（理）（2009年浙江卷）在中，三内角所对的边分别是，且满足。

（1）求的面积；

（2）若，求的值。

理（1）由得：，则，又得：，即，所以的面积为；

（2）由余弦定理，即。

3、解：因是内角，故，又，则故；

（2）由正弦定理得：，又因，故将其代入可得：，再由可得，所以由余弦定理得：，解之得：或，故所求及的长分别为或。

（理）解：由得，即，也即，所以，结合可得，又由知：，则或（舍去）由此可得：，故的值分别为；

（2）由正弦定理可知，即，也即，又由（1）知，所以即，将代入可得，故所求的值分别为。下载本文