绵阳市高中2011级第二次诊断性考试

数 学（文科）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷2至4页．满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名．考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置．

2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸．试题卷上答题无效．

3．考试结束后，将答题卡收回．

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合S={1，2}，集合T={x|(x-1)(x-3)=0}，那么S∪T=

A．                                B．{1}

C．{1，2}                            D．{1，2，3}

2．复数(1+i)2(1-i)=

A．-2-2i                              B．2+2i 

C．-2+2i                                D．2-2i

3．执行右图的程序，若输入的实数=4，则输出结果为

A．4                                 B．3

C．2                                   D． 

4．下列函数中定义域为R，且是奇函数的是

A． =x2+x                            B． =tanx

C． =x+sinx                        D． =

5．已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件中能推出α⊥β的是

A．lα，mβ，且l⊥m                  B．lα，mβ，nβ，且l⊥m，l⊥n

C．mα，nβ，m//n，且l⊥m         D．lα，l//m，且m⊥β

6．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是

A．1                                   B．2

C．                               D．2

7．一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为

A．8+                              B．8+

C．8+                              D．8+

8．已知O是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则|AM|的最小值是

A．           B．                C．                D． 

9．已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若=0，则△AOC的面积为

A．    B．                    C．                       D． 

10．若存在x使不等式>成立，则实数m的取值范围为

A．    B．    C．         D． 

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．tan300º=______．

12．若直线l1：x+(1+k)y=2-k与l2：kx+2y+8=0平行，则k的值是_____．

13．右图的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为        ．

14．已知A是抛物线y2=4x上一点，F是抛物线的焦点，直线FA交抛物线的准线于点B（点B在x轴上方），若|AB|=2|AF|，则点A的坐标为________．

15．P是以F1，F2为焦点的椭圆上的任意一点，若∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，且cosα=，sin(α+β)=，则此椭圆的离心率为        ．

三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．

16．（本题满分12分）

已知向量a =，b=，设函数=ab．

（Ⅰ）求的单调递增区间；

（Ⅱ）若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值．

17．（本题满分12分）

已知首项为的等比数列{an}是递减数列，其前n项和为Sn，且S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； 

（Ⅱ）已知，求数列{bn}的前n项和．

18．（本题满分12分）

据《中国新闻网》10月21日报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人调查（若所选择的在校学生的人数低于被调查人群总数的80%，则认为本次调查“失效”），就“是否取消英语听力”的问题，调查统计的结果如下表：

态度

（Ⅰ）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行深入访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？ 

（Ⅱ）已知y≥657，z≥55，求本次调查“失效”的概率．

19．（本题满分12分）

如图，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，AD//FE，∠AFE=60º，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB==2，点G为AC的中点．

（Ⅰ）求证：EG//平面ABF；

（Ⅱ）求三棱锥B-AEG的体积；

（Ⅲ）试判断平面BAE与平面DCE是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．

20．（本题满分13分）

已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x-4y+7=0相切，且被轴截得的弦长为，圆C的面积小于13．

（Ⅰ）求圆C的标准方程；

（Ⅱ）设过点M(0，3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．

21．（本题满分14分）

设函数．

（Ⅰ）若在x=处的切线与直线4x+y=0平行，求a的值；

（Ⅱ）讨论函数的单调区间；

（Ⅲ）若函数的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为，证明．

绵阳市高2011级第二次诊断性考试

数学(文)参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

DBCCD  AABAC

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．                        12．1                13．0.3

14．或(，)                       15． 

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．解：（Ⅰ） f(x)=a•b=2sin2x+2sinxcosx

                                       =+sin2x

=sin(2x-)+1，    ……………………………… 3分

由-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z，得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，

∴  f(x)的单调递增区间是[-+kπ， +kπ]( k∈Z)． …………………… 6分

（II）由题意g(x)= sin[2(x+)-]+1=sin(2x+)+1，………… 9分

由≤x≤得≤2x+≤，

∴ 0≤g(x)≤+1，即 g(x)的最大值为+1，g(x)的最小值为0．  … 12分

17．解：（I）设等比数列{an}的公比为q，由题知a1=，

又∵ S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列，

∴ 2(S2+a2)=S1+a1+S3+a3，

变形得S2-S1+2a2=a1+S3-S2+a3，即得3a2=a1+2a3，

∴ q=+q2，解得q=1或q=，    …………………………………………4分

又由{an}为递减数列，于是q=，

∴ an=a1=()n．   …………………………………………………………6分

（Ⅱ）由于bn=anlog2an=-n∙()n，

∴，

于是，

两式相减得： 

整理得．   ………………………………………………………12分

18．解：（I）∵ 抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，

∴ =0.05，解得x=60．  ………………………………………………2分

∴ 持“无所谓”态度的人数共有3600-2100-120-600-60=720． ……… 4分

∴ 应在“无所谓”态度抽取720×=72人． ………………………… 6分

（Ⅱ）∵ y+z=720，y≥657，z≥55，故满足条件的(y，z)有：

(657，63)，(658，62)，(659，61)，(660，60)，(661，59)，(662，58)，(663，57)，(6，56)，(665，55)共9种．     …………………………… 8分

记本次调查“失效”为事件A，

若调查失效，则2100+120+y<3600×0.8，解得y<660．

∴ 事件A包含：(657，63)，(658，62)，(659，61)共3种．

∴ P(A)= =．   …………………………………………………………… 12分

19．（I）证明：取AB中点M，连FM，GM．

∵ G为对角线AC的中点，

∴ GM∥AD，且GM=AD，

又∵ FE∥AD，

∴ GM∥FE且GM=FE．

∴四边形GMFE为平行四边形，即EG∥FM．

又∵平面ABF，平面ABF，

∴ EG∥平面ABF．…………………………………………………………… 4分

（Ⅱ）解：作EN⊥AD，垂足为N，

由平面ABCD⊥平面AFED ，面ABCD∩面AFED=AD，

得EN⊥平面ABCD，即EN为三棱锥E-ABG的高．

∵ 在△AEF中，AF=FE，∠AFE=60º，

∴ △AEF是正三角形．

∴ ∠AEF=60º，

由EF//AD知∠EAD=60º，

∴ EN=AE∙sin60º=．

∴ 三棱锥B-AEG的体积为

．……………………8分

（Ⅲ）解：平面BAE⊥平面DCE．证明如下：

∵ 四边形ABCD为矩形，且平面ABCD⊥平面AFED，

∴ CD⊥平面AFED，

∴ CD⊥AE．

∵ 四边形AFED为梯形，FE∥AD，且，

∴．

又在△AED中，EA=2，AD=4，，

由余弦定理，得ED=．

∴ EA2+ED2=AD2，

∴ ED⊥AE． 

又∵ ED∩CD=D，

∴ AE⊥平面DCE，

又面BAE，

∴ 平面BAE⊥平面DCE．   …………………………………………………12分

20．解：（I）设圆C：(x-a)2+y2=R2(a>0)，由题意知

  解得a=1 或 a=，   ……………………………………… 3分

又∵ S=πR2<13，

∴ a=1，

∴ 圆C的标准方程为：(x-1)2+y2=4．    …………………………………… 6分

（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．

当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

又∵ l与圆C相交于不同的两点，

联立消去y得：(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0， …………………9分

∴Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=36k2-6k-5>0，

解得或．

x1+x2=，y1+ y2=k(x1+x2)+6=，

，，

假设∥，则，

∴，

解得，假设不成立．

∴ 不存在这样的直线l．   ……………………………………………………13分

21．解：（I）由题知f(x)=2ax2+(a+4)x+lnx的定义域为(0，+∞)，

且．

又∵ f(x)的图象在x=处的切线与直线4x+y=0平行，

∴，

解得  a=-6．…………………………………………………………………… 4分

（Ⅱ），

由x>0，知>0．

①当a≥0时，对任意x>0， >0，

∴  此时函数f(x)的单调递增区间为(0，+∞)．

②当a<0时，令=0，解得，

当时， >0，当时， <0，

此时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，+∞)．

                           ………………………………………………………………9分

（Ⅲ）不妨设A(，0)，B(，0)，且，由（Ⅱ）知，

于是要证<0成立，只需证：即．

∵，   ①

，  ②

①-②得，

即，

∴，

故只需证，

即证明，

即证明，变形为，

设，令，

则，

显然当t>0时，≥0，当且仅当t=1时， =0，

∴  g(t)在(0，+∞)上是增函数．

又∵ g(1)=0，

∴ 当t∈(0，1)时，g(t)<0总成立，命题得证．……………………………14分 下载本文