湖北省七市（州）2015届高三3月联合考试

数学（理工类）

整理制作：青峰弦月工作室

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．若复数z满足，i为虚数单位，则在复平面内z对应的点的坐标是（　　）

  A．（4，2）        B．（4，-2）        C．（2，4）        D．（2，-4）

2．设集合，，那么“x∈A”是“x∈B”的（　　）

  A．充分不必要条件        B．必要不充分条件

  C．充分必要条件            D．既不充分又不必要条件

3．以下四个命题中：

    ①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；

    ②若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；

    ③根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；

    ④若某项测量结果服从正态分布N（1，），且P（≤4）=0．9，则P（≤-2）=0．1．

    其中真命题的个数为（　　）

    A．1        B．2        C 3        D．4

4．已知菱形ABCD的对角线AC长为2，则·=（　　）

    A．4        B．2        C．1        D．

5．若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是（　　）

A．

B．

C．7

D．6

6．已知函数的部分图象如图所示，为了得到的图像，只需将的图像（　　）

    A．向左平移个单位长度

    B．向左平移个单位长度

    C．向右平移个单位长度

    D．向右平移个单位长度

7．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若数列满足，且，则=（　　）

    A．6        B．-6        C．2        D．-2

8．甲、乙两位同学约定周日上午在某电影院旁见面，并约定谁先到后必须等10分钟，若等待10分钟后另一人还没有来就离开．如果甲是8：30分到达的，假设乙在8点到9点内到达，且乙在8点到9点之间何时到达是等可能的，则他们见面的概率是（　　）

  A．        B．        C．        D．

9．过曲线的左焦点F作曲线的切线，设切点为M，延长FM交曲线于点N，其中曲线C1与C3有一个共同的焦点，若点M为线段FN的中点，则曲线C1的离心率为（　　）

    A．        B．      C．+1      D．

10．设函数在[-1，t]上的最小值为N（t），最大值为M（t），若存在最小正整数k，使得M（t）- N（t）≤k（t+1）对任意tt∈（-1，b]成立，则称函数为区间（-1，b]上的“k阶函数”，若函数=x2为区间（-1，4]上的“k阶函数”，则k的值为（　　）

    A．4        B．3        C．2        D．1

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共25分。将答案填在答题卡相应位置上。）

（一）必考题（11-14题）

11．已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（-3，4），则sin（）=   ▲   ．

12．若函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为a，则的展开式中的常数项为  ▲  （用数字作答）．

13．执行如右图所示的程序框图，若输出结果是i=3，则正整数的最大值为   ▲   ．

14．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”．那么是斐波那契数到中的第   ▲   项．

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分。）

15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC=   ▲   ．

16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线与曲线相交于A、B两点，O为极点，则∠AOB=   ▲   ．

三、解答题（本大题共6小题，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

17．（本小题满分12分）已知△ABC的三内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，设m=（a-b，c），n=（a-c，a+b），且m∥n．

    （1）求∠B;

    （2）若a=1，b=，求△ABC的面积．

18．（本小题满分12分）设为公比不为1的等比数列，=16，其前n项和为，且5、2、成等差数列．

（l）求数列的通项公式；

（2）设，为数列的前n项和.是否存在正整数k，使得对于任意n∈N*不等式>恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．

19．（本小题满分12分）如图，正四棱锥S-ABCD中，SA=AB，E、F、G分别为BC、SC、DC的中点，设P为线段FG上任意一点．

    （l）求证：EP⊥AC;

    （2）当直线BP与平面EFG所成的角取得最大值时，求二面角P-BD-C的大小．

20．（本小题满分12分）十八届四中全会明确提出“以法治手段推进生态文明建设”，为响应号召，某市红星路小区的环保人士向该市部门提议“在全市范围内禁放烟花、炮竹”．为此，红星路小区的环保人士对该小区年龄在[15，75）的市民进行问卷调查，随机抽查了50人，并将调查情况进行整理后制成下表：

（2）若从年龄在[55，65）、[65，75）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“禁放烟花、炮竹”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．

21．（本小题满分13分）已知椭圆，F1、F2为椭圆的左、右焦点，A、B为椭圆的左、右顶点，点P为椭圆上异于A、B的动点，且直线PA、PB的斜率之积为-．

  （1）求椭圆C的方程；

  （2）若动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，试问：在x轴上是否存在两个定点，使得这两个定点到直线l的距离之积为4？若存在，求出两个定点的坐标；若不存在，请说明理由．

22.（本小题满分14分）已知函数（a∈R）．

    （1）求函数的单调区间；

    （2）若函数在[1，2]上有且仅有一个零点，求a的取值范围；

    （3）已知当x>-1,n≥1时，，求证：当n∈N*，x22015年3月湖北省七市(州)教科研协作体高三联合考试

数学(理工类)参及评分标准

说明

1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。

3．解答题中右端所标注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数。

一．选择题：

A卷　DCBCB     BCDBD

　　　　　　B卷　BCCBB     BACDA

二．填空题：

11． 　　12．15　　13．3　　14．2016　　15． 　　16．

三．解答题：

17．(1)解：∵m∥n，∴    2分

∴    3分

由余弦定理得：     5分

又．    6分

(2)解：∵，由正弦定理得

，∴    8分

∵a < b，∴A < B，∴    10分

故    11分

∴．    12分

18．(1)解：∵5S1、2S2、S3成等差数列

∴，即    2分

∴

∵，∴q = 2    4分

又∵，即，

∴．    5分

(2)解：假设存在正整数k使得对于任意n∈N*不等式都成立

则     7分

又    9分

所以    10分

显然Tn关于正整数n是单调递增的，所以

∴，解得k≥2．    11分

所以存在正整数k，使得对于任意n∈N*不等式都成立

且正整数k的最小值为．    12分

3分

19．(1)证：设AC交BD于O，

∵S－ABCD为正四棱锥，∴SO⊥底面ABCD，∴SO⊥AC      1分

又∵BD⊥AC，

又∵，∴.     4分

(2)解：设AB = 2，如图建立空间直角坐标系，则

G(0，1，0)，E(1，0，0)，C(1，1，0)，S(0，0，)，F(，，)，B(1，，0)     5分

∴

设，

故点

∴    6分

设面EFG的法向量为n = (abc)

∵ 

∴ ，令a = 1得n = (1，1，0)    7分

设BP与平面EFG所成角为，则

=     8分

∵点P在线段FG上，∴，即=1时取最大值

此时点P与点F重合        9分

设二面角P－BD－C的大小为

∵点P到平面ABCD的距离为，点P到BD的距离为1    10分

则

∴二面角P－BD－C的大小为．        12分

20．(1)解：赞成率为    2分

被调查者的平均年龄为20×0.12 + 30×0.2 + 40×0.24 + 50×0.24 + 60×0.1 + 70×0.1 = 43    4分

10分

∴．    12分

21．(1)解：，设，则

依题意，得，∴椭圆标准方程为    4分

(2)解：①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y = kx + p，代入椭圆方程得

 (1 + 2k2)x2 + 4kpx + 2p2－8 = 0    5分

因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点

所以△=16k2p2－4(1 + 2k2)(2p2－8) = 8(4 + 8k2－p2) = 0，即4 + 8k2 = p2    7分

设x轴上存在两个定点(s，0)，(t，0)，使得这两个定点到直线l的距离之积为4，则

即 (st + 4)k + p(s + t) = 0(*)，或(st + 12)k2 + (s + t)kp + 8 = 0 (**)

由(*)恒成立，得，解得     11分

(**)不恒成立.

②当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为时

定点(－2，0)、F2(2，0)到直线l的距离之积.  

综上，存在两个定点(2，0)、(2，0)，使得这两个定点到直线l 的距离之积为定值4．    13分

注：第(2)小题若直接由椭圆对称性设两定点为关于原点对称的两点，则扣2分；

第(2)小题若先由特殊情况得到两个定点，再给予一般性证明也可。

22．(1)解：    1分

当a≤0时，，则在上单调递增    2分

当a > 0时，在上单调递减，在上单调递增．    4分

(2)解：由，得     5分

考查函数 (x∈[1，2])，则    6分

令，                        

当1≤x≤2时，，∴在[1，2]上单调递增    7分

∴, ，∴在[1，2]上单调递增 

∴在[1，2]上的最小值为，最大值为    8分

∴当时，函数在[1，2]上有且仅有一个零点    9分

(3)解：    10分

由(1)知，则    11分

∵，且n∈N*，∴，∴     12分

又∵，∴    13分

     14分下载本文