一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．2022年冬奥会将在北京举行，中国将是第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）的国家．以下会徽是轴对称图形的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

2．等腰三角形一边长为6，另一边长为2，则此三角形的周长为（　　）

A．10    B．14    C．14或10    D．18

3．有六根细木棒，它们的长度分别是1，2，3，4，5，6（单位：cm）．若从中取出三根，首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这三根木棒的长度分别为（　　）

A．1，2，3    B．2，3，4    C．3，4，5    D．4，5，6

4．如图，AD、BC相交于点E．若△ABE≌△DCE，则下列结论中不正确的是（　　）

A．AB＝DC    B．AB∥CD    C．E为BC中点    D．∠A＝∠C

5．如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE＝4，点F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能是（　　）

A．3    B．4    C．5    D．6

6．如图，等腰三角形底边BC的长为10cm，腰长AB为13cm，则腰上的高为（　　）

A．12cm    B．cm    C．cm    D．cm

7．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，且顶点在格点上，在△ABC内部有E、F、G、H四个格点，到△ABC三个顶点距离相等的点是（　　）

A．点E    B．点F    C．点G    D．点H

8．如图，∠ABC＝∠ACD＝90°，BC＝2，AC＝CD，则△BCD的面积为（　　）

A．2    B．4    C．    D．6

9．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（　　）

A．2    B．    C．    D．

10．已知等边△ABC中AD⊥BC，AD＝12，若点P在线段AD上运动，当AP+BP的值最小时，AP的长为（　　）

A．4    B．8    C．10    D．12

二．填空题（共8小题，每小题2分，共16分）

11．如图，已知：∠A＝∠D，∠1＝∠2，下列条件中：①∠E＝∠B；②EF＝BC；③AB＝EF；④AF＝CD．能使△ABC≌△DEF的有　   　．（填序号）

12．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠B＝　   　°．

13．已知一直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则第三边的长为　   　．

14．若三角形三边分别为6，8，10，那么它最长边上的中线长是　 　．

15．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABC的周长为21cm，则△ABD的周长为　   　cm．

16．如图，△ABC中，若AC＝AD＝DB，且∠BAC＝108°，则∠ADC＝　    　．

17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为斜边AB上的一点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合．若DC＝5，则AF＝　              　．

18．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB＝　    　°．

三．解答题（共7小题，共54分）

19．如图，点B、F、C、E四点在同一条直线上，∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝CE．求证：AC＝DF．

20．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2．

（1）求证：∠A＝90°；

（2）若AB＝8，AD：BD＝3：5，求AC的长．

21．方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形．

（1）在图1中确定格点C，使△ABC为等腰三角形．（如果有多个点C，请分别以点C1，C2，C3…编号）

（2）在图2中，请用无刻度的直尺找出一个格点P，使BP平分∠ABC．（不写画法，保留画图痕迹）

22．如图，在ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，AD是∠BAC的角平分线，BE是腰AC边上的高，AD和BE相交于点F．

（1）连接DE，求∠CDE的度数；

（2）求证：AF＝2DB．

23．如图，点E在等边△ABC的边AB所在直线上，以EC为一边作等边△ECF，顶点E、C、F顺时针排序．

（1）点E在线段AB上，连接BF．求证：BF∥AC；

（2）已知AB＝6，当△BCF是直角三角形时，求BE的长．

24．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的内好线，称这个三角形为内好三角形．

（1）如图1，△ABC是等腰锐角三角形，AB＝AC（AB＞BC），若∠ABC的角平分线BD交AC于点D，且BD是△ABC的一条内好线，则∠BDC＝　   　度；

（2）如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是ABC的一条内好线；

（3）如图3，已知△ABC是内好三角形，且∠A＝24°，∠B为钝角，则所有可能的∠B的度数为　   　（直接写答案）．

25．已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图1摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8cm，BC＝6cm，EF＝9cm，如图2，△DEF从图1的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：

（1）用含t的代数式表示线段AP＝　          　；

（2）当t为何值时，点E在∠A的平分线上？

（3）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？

（4）连接PE，当t＝1（s）时，求四边形APEC的面积．

参

一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．2022年冬奥会将在北京举行，中国将是第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）的国家．以下会徽是轴对称图形的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C、是轴对称图形，故此选项符合题意；

D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：C．

2．等腰三角形一边长为6，另一边长为2，则此三角形的周长为（　　）

A．10    B．14    C．14或10    D．18

【分析】本题应分为两种情况2为底或6为底，还要注意是否符合三角形三边关系．

解：∵等腰三角形的一边长为2，另一边长为6，

∴有两种情况：

①6为底，2为腰，而2+2＝4＜6，那么应舍去；

②2为底，6为腰，那么6+6+2＝14；

∴该三角形的周长是6+6+2＝14．

故选：B．

3．有六根细木棒，它们的长度分别是1，2，3，4，5，6（单位：cm）．若从中取出三根，首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这三根木棒的长度分别为（　　）

A．1，2，3    B．2，3，4    C．3，4，5    D．4，5，6

【分析】根据要组成直角三角形，则3根木棒长度必须满足2根木棒长度的平方和等于第3根木棒长度的平方，即可解题．

解：∵12+22≠32，22+32≠42，32+42＝52，42+52≠62，

∴木棒长度分别为3cm、4cm、5cm的三根木棒首尾顺次连接可搭成一个直角三角形，

故选：C．

4．如图，AD、BC相交于点E．若△ABE≌△DCE，则下列结论中不正确的是（　　）

A．AB＝DC    B．AB∥CD    C．E为BC中点    D．∠A＝∠C

【分析】根据全等三角形的性质、平行线的判定定理判断即可．

解：∵△ABE≌△DCE，

∴AB＝CD，A选项说法正确，不符合题意；

∵△ABE≌△DCE，

∴∠A＝∠D，

∴AB∥CD，B选项说法正确，不符合题意；

∵△ABE≌△DCE，

∴BE＝EC，即E为BC中点，C选项说法正确，不符合题意；

当△ABE≌△DCE时，∠A与∠C不一定相等，D选项说法错误，符合题意；

故选：D．

5．如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE＝4，点F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能是（　　）

A．3    B．4    C．5    D．6

【分析】过D点作DH⊥OB于H，如图，根据角平分线的性质得到DH＝DE＝4，再利用垂线段最短得到DF≥4，然后对各选项进行判断．

解：过D点作DH⊥OB于H，如图，

∵OD平分∠AOB，DE⊥AO，DH⊥OB于H，

∴DH＝DE＝4，

∴DF≥4．

故选：A．

6．如图，等腰三角形底边BC的长为10cm，腰长AB为13cm，则腰上的高为（　　）

A．12cm    B．cm    C．cm    D．cm

【分析】过点A作AD⊥BC于D，过点B作BE⊥AC于E，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式计算即可．

解：过点A作AD⊥BC于D，过点B作BE⊥AC于E，

∵AD⊥BC于D，

∴BD＝DC，

∵BC＝10，

∴BD＝DC＝5，

在Rt△ABD中，AD＝＝12，

由于BC•AD＝AC•BE

∴BE＝，

故选：C．

7．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，且顶点在格点上，在△ABC内部有E、F、G、H四个格点，到△ABC三个顶点距离相等的点是（　　）

A．点E    B．点F    C．点G    D．点H

【分析】根据勾股定理即可得到结论．

解：∵BF＝AF＝CF＝＝，

∴到△ABC三个顶点距离相等的点是F，

故选：B．

8．如图，∠ABC＝∠ACD＝90°，BC＝2，AC＝CD，则△BCD的面积为（　　）

A．2    B．4    C．    D．6

【分析】作DH⊥BC，证明△ABC≌△CHD，根据全等三角形的性质得到DH＝BC＝2，根据三角形的面积公式计算，得到答案．

解：过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，

∵∠ABC＝90°，

∴∠BAC+∠ACB＝90°，

∵∠ACD＝90°，

∴∠HCD+∠ACB＝90°，

∴∠BAC＝∠HCD，

在△ABC和△CHD中，

，

∴△ABC≌△CHD（AAS），

∴DH＝BC＝2，

∴△BCD的面积＝×BC×DH＝×2×2＝2，

故选：A．

9．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（　　）

A．2    B．    C．    D．

【分析】如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．首先证明AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，求出BC、BE，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解决问题．

解：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．

在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝3，

∴BC＝＝5，

∵CD＝DB，

∴ED＝DC＝DB＝，

∵•BC•AH＝•AB•AC，

∴AH＝，

∵AE＝AB，

∴点A在BE的垂直平分线上．

∵DE＝DB＝DC，

∴点D在BE的垂直平分线上，△BCE是直角三角形，

∴AD垂直平分线段BE，

∵•AD•BO＝•BD•AH，

∴OB＝，

∴BE＝2OB＝，

在Rt△BCE中，EC＝＝＝，

解法二：连接BE，AD于点F，DF是三角形BCE中位线，求出DF，可得结论．

故选：D．

10．已知等边△ABC中AD⊥BC，AD＝12，若点P在线段AD上运动，当AP+BP的值最小时，AP的长为（　　）

A．4    B．8    C．10    D．12

【分析】可以作BE⊥AC于点E，交AD于点P，根据△ABC是等边三角形，AD⊥BC，得∠DAC＝30°，所以PE＝AP，

当BP⊥AC时，AP+BP＝PE+BP的值最小，根据等边三角形的重心即可求得AP的长．

解：如图，

作BE⊥AC于点E，交AD于点P，

∵△ABC是等边三角形，

AD⊥BC，

∴∠DAC＝30°

∴PE＝AP

当BP⊥AC时，

AP+BP＝PE+BP的值最小，

此时，AP＝AD＝8．

故选：B．

二．填空题（共8小题，每小题2分，共16分）

11．如图，已知：∠A＝∠D，∠1＝∠2，下列条件中：①∠E＝∠B；②EF＝BC；③AB＝EF；④AF＝CD．能使△ABC≌△DEF的有　②④　．（填序号）

【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理和已知条件逐个判断即可．

解：

①∠E＝∠B，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，∴①错误；

②EF＝BC，符合全等三角形的判定定理，可以用AAS证明△ABC≌△DEF，∴②正确；

③AB＝EF，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，∴③错误；

④∵AF＝CD，

∴AF+FC＝CD+FC，

∴AC＝DF，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（ASA），

∴④正确；

故答案为：②④．

12．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠B＝　70　°．

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠B的度数．

解：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵∠A+∠B+∠C＝180°，

∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°．

故答案为70．

13．已知一直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则第三边的长为　13　．

【分析】直接根据勾股定理求解即可．

解：∵直角三角形的两条直角边长分别为5和12，

∴第三边的长＝＝13．

故答案为：13．

14．若三角形三边分别为6，8，10，那么它最长边上的中线长是　5　．

【分析】根据勾股定理的逆定理可得三角形是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．

解：∵三角形三边分别为6，8，10，62+82＝102

∴该三角形为直角三角形．

∵最长边即斜边为10，

∴斜边上的中线长为：5．

故答案为：5．

15．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABC的周长为21cm，则△ABD的周长为　13　cm．

【分析】根据线段垂直平分线性质求出AC长和AD＝DC，根据三角形周长求出AB+BC的长度，求出△ABD的周长＝AB+BC，代入求出即可．

解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，

∴AD＝DC，AC＝2AE＝8cm，

∵△ABC的周长为21cm，

∴AB+BC+AC＝21cm，

∴AB+BC＝13cm，

∴△ABD的周长为AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，

故答案为：13．

16．如图，△ABC中，若AC＝AD＝DB，且∠BAC＝108°，则∠ADC＝　48°　．

【分析】设∠ADC＝α，然后根据AC＝AD＝DB，∠BAC＝108°，表示出∠B和∠BAD的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数．

解：∵AC＝AD＝DB，

∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，

设∠ADC＝α，

∴∠B＝∠BAD＝，

∵∠BAC＝108°，

∴∠DAC＝108°﹣，

在△ADC中，

∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°，

∴2α+108°﹣＝180°，

解得：α＝48°．

故答案为：48°．

17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为斜边AB上的一点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合．若DC＝5，则AF＝　　．

【分析】根据折叠的性质和勾股定理定理即可得到结论．

解：在Rt△ACB中，BC＝6，∠ACB＝90°，

∵将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，

∴BD＝DE，BC＝CE＝6，∠B＝∠CED，

∵将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合，

∴∠A＝∠DEF，AD＝DE，AF＝EF，

∴∠FED+∠CED＝90°，

∴AD＝DB，

∴CD＝DA＝DB＝AB，

∵DC＝5，

∴AB＝10，

∴AC＝＝8，

∴CF＝8﹣AF，

∴EF2+CE2＝CF2，

∴AF2+62＝（8﹣AF）2，

∴AF＝，

故答案为：．

18．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB＝　105　°．

【分析】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，将CE转化为FH，与BF在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点F的位置，即F为AC与BH的交点时，BF+CE的值最小，求出此时∠AFB＝105°．

解：如图1，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH，连接FH，

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，

∴AC＝BC，∠DAC＝30°，

∴AC＝CH，

∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，

∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，

∴∠DAC＝∠ACH＝30°，

∵AE＝CF，

∴△AEC≌△CFH（SAS），

∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，

∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小，

此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，

∴∠AFB＝105°，

故答案为：105．

三．解答题（共7小题，共54分）

19．如图，点B、F、C、E四点在同一条直线上，∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝CE．求证：AC＝DF．

【分析】根据题意得出BC＝EF，即可利用SAS证明△ABC和△DEF，再利用全等三角形的性质即可得解．

【解答】证明：∵BF＝CE，

∴BF+FC＝CE+FC，

即BC＝EF，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SAS），

∴AC＝DF．

20．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2．

（1）求证：∠A＝90°；

（2）若AB＝8，AD：BD＝3：5，求AC的长．

【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质可得CD＝BD，然后利用勾股定理逆定理可得结论；

（2）首先确定BD的长，进而可得CD的长，再利用勾股定理进行计算即可．

【解答】（1）证明：连接CD，

∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，

∴CD＝DB，

∵BD2﹣DA2＝AC2，

∴CD2﹣DA2＝AC2，

∴CD2＝AD2+AC2，

∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°；

（2）解：∵AB＝8，AD：BD＝3：5，

∴AD＝3，BD＝5，

∴DC＝5，

∴AC＝＝＝4．

21．方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形．

（1）在图1中确定格点C，使△ABC为等腰三角形．（如果有多个点C，请分别以点C1，C2，C3…编号）

（2）在图2中，请用无刻度的直尺找出一个格点P，使BP平分∠ABC．（不写画法，保留画图痕迹）

【分析】（1）根据等腰三角形的定义作出图形即可．

（2）取格点R，连接AR，取AR的中点P，连接BP，点P即为所求．

解：（1）如图，C1，C2，C3，C4即为所求．

（2）如图，点P即为所求．

22．如图，在ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，AD是∠BAC的角平分线，BE是腰AC边上的高，AD和BE相交于点F．

（1）连接DE，求∠CDE的度数；

（2）求证：AF＝2DB．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝CD，再DE为直角△BCE的斜边上的中线，所以DC＝DE，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠CDE＝∠BACC；

（2）证明△AEF≌△BEC得到AF＝BC，从而得到AF＝2BD．

【解答】（1）解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，

∴AD⊥BC，BD＝CD，

∵BE⊥AC，

∴∠BEC＝90°，

∴DE为直角△BCE的斜边上的中线，

∴DC＝DE，

∴∠C＝∠DEC，

∵AB＝AC，

∴∠C＝∠ABC，

∴∠CDE＝∠BAC＝45°；

（2）证明：∵∠AEB＝90°，∠BAC＝45°，

∴△ABE为等腰直角三角形，

∴AE＝BE，

∵∠EAF+∠C＝90°，∠CBE+∠C＝90°，

∴∠EAF＝∠CBE，

在△AEF和△BEC中，

，

∴△AEF≌△BEC（ASA），

∴AF＝BC，

而BD＝CD，

∴AF＝2BD．

23．如图，点E在等边△ABC的边AB所在直线上，以EC为一边作等边△ECF，顶点E、C、F顺时针排序．

（1）点E在线段AB上，连接BF．求证：BF∥AC；

（2）已知AB＝6，当△BCF是直角三角形时，求BE的长．

【分析】（1）利用SAS证明△ACE≌△BCF可得∠CBF＝∠CAE＝60°，即可得∠FBC＝∠ACB，进而可证明结论；

（2）可分两种情况：①当E点在线段AB上时，∠BFC＝90°，②当E点在线段AB的延长线上时，∠BCF＝90°，利用等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质分别计算求解即可．

【解答】证明：（1）∵△ABC和△ECF为等边三角形，

∴BC＝AC，CE﹣CF，∠BAC＝∠ACB＝∠ECF＝60°，

∴∠AEC＝∠BCF，

在△ACE和△BCF中，

，

∴△ACE≌△BCF（SAS），

∴∠CAE＝∠CBF，

∵∠CAE＝60°，

∴∠FBC＝60°，

∴∠FBC＝∠ACB，

∴BF∥AC；

（2）解：①当E点在线段AB上时，∠BFC＝90°，

∵BC＝AB＝6，∠CBF＝∠ACB＝60°，

∴∠BCF＝30°，

∵∠ECF＝60°，

∴∠BCE＝30°，

∴∠BEC＝90°，

∴BE＝BC＝3；

②当E点在线段AB的延长线上时，∠BCF＝90°，

∵∠ECF＝60°，

∴∠BCE＝30°，

∵∠ABC＝∠BCE+∠BEC＝60°，

∴∠BEC＝30°＝∠BCE，

∴BE＝BC＝6，

综上，BE＝3或6．

24．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的内好线，称这个三角形为内好三角形．

（1）如图1，△ABC是等腰锐角三角形，AB＝AC（AB＞BC），若∠ABC的角平分线BD交AC于点D，且BD是△ABC的一条内好线，则∠BDC＝　72　度；

（2）如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是ABC的一条内好线；

（3）如图3，已知△ABC是内好三角形，且∠A＝24°，∠B为钝角，则所有可能的∠B的度数为　108°或117°或144°或148°　（直接写答案）．

【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，由角平分线的性质可得∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，由“内好线”定义可得BD＝BC＝AD，可得∠A＝∠ABD，∠BDC＝∠C，由三角形的内角和定理可求解；

（2）只要证明△ABE，△AEC是等腰三角形即可；

（3）当BE是内好线时，分三种情形讨论，由等腰三角形的性质可求解；当CE是内好线时，当AE为内好线时，利用等腰三角形性质即可解决问题．

解：（1）∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，

∵BD是△ABC的一条内好线，

∴△ABD和△BDC是等腰三角形，

∴BD＝BC＝AD，

∴∠A＝∠ABD，∠BDC＝∠C，

∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A，

∴∠ABC＝∠ACB＝2∠A，

∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，

∴∠A＝36°，

∴∠BDC＝2∠A＝72°，

故答案为：72；

（2）∵DE是线段AC的垂直平分线，

∴EA＝EC，即△EAC是等腰三角形，

∴∠EAC＝∠C，

∴∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，

∵∠B＝2∠C，

∴∠AEB＝∠B，即△EAB是等腰三角形，

∴AE是ABC的一条内好线；

（3）设BE是△ABC的的内好线，

①如图3，

当AE＝BE时，则∠A＝∠EBA＝24°，

∴∠CEB＝∠A+∠EBA＝48°，

若BC＝BE时，则∠C＝∠CEB＝48°，

∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝108°，

若BC＝CE时，则∠CBE＝∠CEB＝48°，

∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝72°＜90°（不合题意舍去），

若CE＝BE时，则∠C＝∠CBE＝＝66°，

∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝90°（不合题意舍去），

②如图4，当AE＝BE时，则∠AEB＝∠AEB＝＝78°，

∴∠CEB＝∠A+∠ABE＝102°＞90°，

∵CE＝BE，

∴∠C＝∠CBE＝39°，

∴∠CBA＝∠ABE+∠CBE＝117°，

③如图5，当AB＝BE时，则∠A＝∠AEB＝24°，

∴∠ABE＝132°，∠BEC＝156°＞0，

∵BE＝CE，

∴∠C＝∠CBE＝12°，

∴∠CBA＝∠ABE+∠CBE＝144°，

设CE是△ABC的的内好线，

当CE＝AE时，则∠A＝∠ACE＝24°，

∵BC＝BE，

∴∠BEC＝∠BCE＝∠A+∠ACE＝48°，

∴∠ABC＝84°＜0（不合题意舍去），

设AE是△ABC的内好线，

∵CE＝AE，

∴∠C＝∠CAE，

∴∠AEB＝∠C+∠CAE＝2∠CAE，

∵BE＝AB，

∴∠BAE＝∠AEB＝2∠CAE，

∵∠BAC＝24°＝3∠CAE，

∴∠CAE＝8°，∠BAE＝16°，

∴∠ABC＝148°，

综上所述：∠ABC＝108°或117°或144°或148°．

故答案为：108°或117°或144°或148°．

25．已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图1摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8cm，BC＝6cm，EF＝9cm，如图2，△DEF从图1的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：

（1）用含t的代数式表示线段AP＝　（10﹣2t）cm　；

（2）当t为何值时，点E在∠A的平分线上？

（3）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？

（4）连接PE，当t＝1（s）时，求四边形APEC的面积．

【分析】（1）利用勾股定理求出AB，根据AP＝AB﹣BP计算即可．

（2）如图1中，作AT平分∠BAC，作TH⊥AB于H．设TC＝TH＝x，证明Rt△ATH≌Rt△ATC（HL），推出AH＝AC＝8，在Rt△BTH中，则有（6﹣x）2＝22+x2，求出x即可解决问题．

（3）根据线段垂直平分线的性质得到AP＝AQ，根据等腰三角形的性质得到CE＝CQ，根据勾股定理求出AB，列式计算即可．

（4）法一：作PM⊥BE交BE于M，根据S四边形APEC＝S△ABC﹣S△BPE计算算即可．

法二：利用面积法求解即可．

解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，

∴AB＝＝＝10（cm），

由题意PA＝AB﹣BP＝（10﹣2t）cm，

故答案为（10﹣2t）cm．

（2）如图1中，作AT平分∠BAC，作TH⊥AB于H．

∵TC⊥AC，TH⊥AB，TA平分∠ABC，

∴TC＝TH，∠AHT＝∠ACT＝90°，设TC＝TH＝x，

∵AT＝AT，

∴Rt△ATH≌Rt△ATC（HL），

∴AH＝AC＝8，

∴BH＝AB﹣AH＝10﹣8＝2，

在Rt△BTH中，则有（6﹣x）2＝22+x2，

解得x＝，

∴当t为时，点E在∠A的平分线上．

（3）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，

∴AP＝AQ，

∵∠DEF＝45°，∠ACB＝90°，∠DEF+∠ACB+∠EQC＝180°，

∴∠EQC＝45°，

∴∠DEF＝∠EQC，

∴CE＝CQ，

由题意知：CE＝t，BP＝2t，

∴CQ＝t，

∴AQ＝8﹣t，

在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝10cm，

则AP＝10﹣2t，

∴10﹣2t＝8﹣t，

解得：t＝2，

答：当t＝2s时，点A在线段PQ的垂直平分线上；

（2）法一：如图2中，过P作PM⊥BE，交BE于M，

∴∠BMP＝90°，

在Rt△ABC和Rt△BPM中，sinB＝＝，

∴＝，

解得，PM＝，

∵BC＝6cm，CE＝t，

∴BE＝6﹣1＝5，

∴S四边形APEC＝S△ABC﹣S△BPE

＝×BC×AC﹣×BE×PM

＝×6×8﹣×5×

＝20（cm2）

法二：由题意，BP＝2．BE＝5，AB＝8，BC＝6，

∵S△BPC＝•S△ABC＝•S△ABC＝S△ABC，

S△BPE＝•S△BPC＝•S△BPC＝•S△ABC，

∴S四边形PECA＝S△ABC﹣S△PBE＝•S△ABC＝××6×8＝20（cm2）下载本文