一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1．方程x2﹣6x+5＝0较小的根为p，方程5x2﹣4x﹣1＝0较大的根为q，则p+q等于（　　）

A．3 B．2 C．1 D．2

2．如图所示几何体的左视图正确的是（　　）

A． B． C． D．

3．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（　　）

A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小时随机出的是“剪刀”    

B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数    

C．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球    

D．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃

4．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根    

C．没有实数根 D．无法确定

5．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是（　　）

A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x+3）2 D．y＝2（x﹣3）2

6．若，则的值为（　　）

A．1 B． C． D．

7．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB＝1，斜边AC∥x轴．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．8

8．如图，在△ABC中，中线AD，BE相交于点F，EG∥BC，交AD于点G，下列说法：①BD＝2GE；②AF＝2FD；③△AGE与△BDF面积相等；④△ABF与四边形DCEF面积相等，结论正确的是（　　）

A．①③④    B．②③④    C．①②③    D．①②④

9．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（　　）

A．点B坐标为（5，4） B．AB＝AD    

C．a＝﹣ D．OC•OD＝16

10．正方形ABCD的边长AB＝2，E为AB的中点，F为BC的中点，AF分别与DE、BD相交于点M，N，则MN的长为（　　）

A． B． C． D．

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11．小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长0.9米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长BC为2.7米，又测得墙上影高CD为1.2米，旗杆AB的高度为　   　米．

12．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A'B'O．若点A的坐标是（1，2），则点A'的坐标是　   　．

13．在一个布袋里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．将2个红球分别记为红Ⅰ，红Ⅱ，两次摸球的所有可能的结果如表所示，

则两次摸出的球都是红球的概率是　   　．

14．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，设人行通道的宽度为xm，则可列方程为　   　．

15．如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为　   　．

16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，过点B、C分别作AB、BC的垂线相交于点D，延长AC、BD相交于点E，若tan∠BDC＝2，则DE＝　   　．

三．解答题（共3小题，满分22分）

17．计算：2cos45°tan30°cos30°+sin260°．

18．如图，是一个可以自由转动的转盘，转盘被分成面积相等的三个扇形，每个扇形上分别标上，1，﹣1三个数字．小明转动转盘，小亮猜结果，如果转盘停止后指针指向的结果与小亮所猜的结果相同，则小亮获胜，否则小明获胜．

（1）如果小明转动转盘一次，小亮猜的结果是“正数”，那么小亮获胜的概率是　   　．

（2）如果小明连续转动转盘两次，小亮猜两次的结果都是“正数”，请用画树状图或列表法求出小亮获胜的概率．

19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，分别过点B、C作BE∥AC，CE∥BD，BE与CE交于点E．

（1）求证：四边形OBEC是矩形；

（2）当∠ABD＝60°，AD＝2时，求BE的长．

四．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）

20．某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为37°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

五．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）

21．小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：

（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元（12≤x≤15，且x为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？

六．解答题（共3小题，满分34分）

22．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．

（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；

（2）若点P为x轴上一点，且满足△ACP是等腰三角形，请直接写出符合条件的所有点P的坐标．

23．【方法提炼】

解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线策略．

【问题情境】

如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．求证：AE＝FG．

小明在分析解题思路时想到了两种平移法：

方法1：平移线段FG使点F与点B重合，构造全等三角形；

方法2：平移线段BC使点B与点F重合，构造全等三角形；

【尝试应用】

（1）请按照小明的思路，选择其中一种方法进行证明；

（2）如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O．求tan∠AOC的值；

（3）如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连结DE分别交线段BC，PC于点M，N．

①求∠DMC的度数；

②连结AC交DE于点H，求的值．

24．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．

（1）求二次函数的解析式；

（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；

（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．

参与试题解析

一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1．解：方程x2﹣6x+5＝0较小的根为p＝1，方程5x2﹣4x﹣1＝0较大的根为q＝1，

则p+q＝2，

故选：B．

2．解：从几何体的左面看所得到的图形是：

故选：A．

3．解：A、在“石关、剪刀、布”的游戏中，小时随机出的是“剪刀”为，不符合这一结果，故此选项错误；

B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数的概率是＝＝0.5，符合这一结果，故此选项正确；

C、从一个装有1个红球2个黄球的袋子中任取一球，取到的是黄球的概率为：，不符合这一结果，故此选项错误；

D、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为：0.25，不符合这一结果，故此选项错误；

故选：B．

4．解：由题意可知：△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，

故选：B．

5．解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位所得直线解析式为：y＝2（x+3）2；

故选：C．

6．解：∵，

∴＝2＝2﹣＝；

故选：B．

7．解：作CE⊥x轴于E，

∵AC∥x轴，OA＝2，OB＝1，

∴OA＝CE＝2，

∵∠ABO+∠CBE＝90°＝∠OAB+∠ABO，

∴∠OAB＝∠CBE，

∵∠AOB＝∠BEC，

∴△AOB∽△BEC，

∴＝，即＝，

∴BE＝4，

∴OE＝5，

∵点D是AB的中点，

∴D（，2）．

∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D，

∴k＝×2＝5．

故选：B．

8．解：∵中线AD，BE相交于点F，

∴BD＝CD，AE＝CE，BF＝2EF，AF＝2FD，②正确；

∵EG∥BC，

∴△BDF∽△EGF，

∴＝＝2，

∴BD＝2GE，①正确；

∵AF＝2FD，

∴△ABF的面积＝2△BDF的面积＝△ABD的面积＝△ABC的面积，△BDF的面积＝△ABC的面积，

∵EG∥BC，AE＝CE，

∴△AGE∽△ADC，＝，

∴＝（）2＝，

∴△AGE的面积＝△ADC的面积△ABC的面积，

∴△AGE与△BDF面积不相等，③不正确；

∵BD＝CD，AE＝CE，

∴△ABD的面积＝△ADC的面积＝△ABC的面积＝△ABE的面积＝△BCE的面积，

∴△ABD的面积＝△BCE的面积，

∴△ABD的面积﹣△BDF的面积＝△BCE的面积

﹣△BDF的面积，

即△ABF与四边形DCEF面积相等，④正确；

故选：D．

9．解：∵抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，

∴A（0，4），

∵对称轴为直线x＝，AB∥x轴，

∴B（5，4）．

故A无误；

如图，过点B作BE⊥x轴于点E，

则BE＝4，AB＝5，

∵AB∥x轴，

∴∠BAC＝∠ACO，

∵点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，

∴∠ACO＝∠ACB，

∴∠BAC＝∠ACB，

∴BC＝AB＝5，

∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：EC＝3，

∴C（8，0），

∵对称轴为直线x＝，

∴D（﹣3，0）

∵在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，

∴AD＝5，

∴AB＝AD，

故B无误；

设y＝ax2+bx+4＝a（x+3）（x﹣8），

将A（0，4）代入得：4＝a（0+3）（0﹣8），

∴a＝﹣，

故C无误；

∵OC＝8，OD＝3，

∴OC•OD＝24，

故D错误．

综上，错误的只有D．

故选：D．

10．解：∵BF∥AD

∴△BNF∽△DNA

∴，

而BF＝BC＝1，AF＝，

∴AN＝，

又∵AE＝BF，∠EAD＝∠FBA，AD＝AB，

∴△DAE≌△ABF（SAS），

∴∠AED＝∠BFA

∴△AME∽△ABF

∴，

即：，

∴AM＝，

∴MN＝AN﹣AM＝．

故选：C．

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11．解：过点D作DE⊥AB于点E，则BE＝CD＝1.2m，

∵他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长0.9米，

∴＝，即＝，

解得：AE＝3m，

∴AB＝AE+BE＝3+1.2＝4.2（m）．

故答案为：4.2．

12．解：根据以原点O为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以﹣2，

故点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（﹣2，﹣4），

故答案为：（﹣2，﹣4）．

13．解：根据图表可知，共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的有4种，

则两次摸出的球都是红球的概率为；

故答案为：．

14．解：设人行通道的宽度为xm，则两块矩形绿地可合成长为（30﹣3x）m、宽为（24﹣2x）m的大矩形，

根据题意得：（30﹣3x）（24﹣2x）＝480．

故答案为：（30﹣3x）（24﹣2x）＝480．

15．解：∵E、F分别是AB、AD的中点，

∴EF＝BD，

∵EF＝5，

∴BD＝10，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB＝AD，

∵∠A＝60°，

∴△ABD为等边三角形，

∴AB＝BD＝10，

∴菱形ABCD的周长＝4×10＝40，

故答案为：40．

16．解：作CF⊥BD于F，作AG⊥BC于G，如图所示：

∵AB＝AC＝9，AG⊥BC，

∴BG＝CG，

∵BE⊥AB，CD⊥BC，

∴∠ABG+∠CBD＝90°，∠CBD+∠BDC＝90°，

∴∠ABG＝∠BDC，

∴tan∠ABG＝＝tan∠BDC＝＝2，

∴AG＝2BG，BC＝2CD，

设BG＝x，则AG＝2x，

在Rt△ABG中，由勾股定理得：x2+（2x）2＝92，

解得：x＝，

∴BC＝2BG＝，CD＝BC＝，

∴BD＝＝＝9，

∵CF⊥BD，

∴△BCD的面积＝BD×CF＝BC×CD，

∴CF＝＝，

∴DF＝＝＝，

∵AB⊥BD，CF⊥BD，

∴CF∥AB，

∴△CFE∽△ABE，

∴＝，即＝，

解得：DE＝3；

故答案为：3．

三．解答题（共3小题，满分22分）

17．解：原式＝2×﹣××+（）2

＝﹣+

＝．

18．解：（1）∵每个扇形上分别标上，1，﹣1三个数字，其中是“正数”的有2个数，

∴小亮猜的结果是“正数”，那么小亮获胜的概率是；

故答案为：；

（2）根据题意画图如下：

共有9种等情况数，其中两次的结果都是“正数”的有4种，

∴小亮获胜的概率是．

19．（1）证明：∵BE∥AC，CE∥BD，

∴BE∥OC，CE∥OB，

∴四边形OBEC为平行四边形，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠BOC＝90°，

∴四边形OBEC是矩形；

（2）解：∵四边形ABCD为菱形，

∴AD＝AB，OB＝OD，OA＝OC，

∵∠DAB＝60°，

∴△ABD为等边三角形，

∴BD＝AD＝AB＝2，

∴OD＝OB＝，

在Rt△AOD中，AO＝＝＝3

∴OC＝OA＝3，

∵四边形OBEC是矩形，

∴BE＝OC＝3．

四．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）

20．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．

由题意得，AB＝57，DE＝30，∠A＝37°，∠DCF＝45°．

在Rt△ADE中，∠AED＝90°，

∴tan37°＝≈0.75．

∴AE＝40，

∵AB＝57，

∴BE＝17

∵四边形BCFE是矩形，

∴CF＝BE＝17．

在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，

∴∠CDF＝∠DCF＝45°．

∴DF＝CF＝17，

∴BC＝EF＝30﹣17＝13．

答：教学楼BC高约13米．

五．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）

21．解：（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx+b（k≠0），

，得，

即y与x之间的函数关系式为y＝﹣50x+1100；

（2）由题意可得，

w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣50x+1100）＝﹣50（x﹣16）2+1800，

∵a＝﹣50＜0

∴w有最大值

∴当x＜16时，w随x的增大而增大，

∵12≤x≤15，x为整数，

∴当x＝15时，w有最大值，此时，w＝﹣50（15﹣16）2+1800＝1750，

答：销售单价为15元时，每周获利最大，最大利润是1750元．

六．解答题（共3小题，满分34分）

22．解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，

∴A（1，2）

把A（1，2）代入反比例函数y＝，

∴k＝1×2＝2；

∴反比例函数的表达式为y＝，

解得，，，

∴B（2，1）；

（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，

∴C（3，0），

∵A（1，2），

∴AC＝＝2，

过A作AD⊥x轴于D，

∴OD＝1，CD＝AD＝2，

当AP＝AC时，PD＝CD＝2，

∴P（﹣1，0），

当AC＝CP＝2时，△ACP是等腰三角形，

∴OP＝3﹣2或OP＝3+2

∴P（3﹣2，0）或（3+2，0），

当AP＝CP时，△ACP是等腰三角形，此时点P与D重合，

∴P（1，0），

综上所述，所有点P的坐标为（﹣1，0）或（3﹣2，0）或（3+2，0）或（1，0）．

23．解：（1）①平移线段FG至BH交AE于点K，如图1﹣1所示：

由平移的性质得：FG∥BH，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°，

∴四边形BFGH是平行四边形，

∴BH＝FG，

∵FG⊥AE，

∴BH⊥AE，

∴∠BKE＝90°，

∴∠KBE+∠BEK＝90°，

∵∠BEK+∠BAE＝90°，

∴∠BAE＝∠CBH，

在△ABE和△CBH中，，

∴△ABE≌△CBH（ASA），

∴AE＝BH，

∴AE＝FG；

②平移线段BC至FH交AE于点K，如图1﹣2所示：

则四边形BCHF是矩形，∠AKF＝∠AEB，

∴FH＝BC，∠FHG＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABE＝90°，

∴AB＝FH，∠ABE＝∠FHG，

∵FG⊥AE，

∴∠HFG+∠AKF＝90°，

∵∠AEB+∠BAE＝90°，

∴∠BAE＝∠HFG，

在△ABE和△FHG中，，

∴△ABE≌△FHG（ASA），

∴AE＝FG；

（2）将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF，如图2所示：

∴∠AOC＝∠FDC，

设正方形网格的边长为单位1，

则AC＝2，AF＝1，CE＝2，DE＝4，FG＝3，DG＝4，

根据勾股定理可得：CF＝＝＝，CD＝＝＝2，DF＝＝＝5，

∵（）2+（2）2＝52，

∴CF2+CD2＝DF2，

∴∠FCD＝90°，

∴tan∠AOC＝tan∠FDC＝＝＝；

（3）①平移线段BC至DG处，连接GE，如图3﹣1所示：

则∠DMC＝∠GDE，四边形DGBC是平行四边形，

∴DC＝GB，

∵四边形ADCP与四边形PBEF都是正方形，

∴DC＝AD＝AP，BP＝BE，∠DAG＝∠GBE＝90°

∴DC＝AD＝AP＝GB，

∴AG＝BP＝BE，

在△AGD和△BEG中，，

∴△AGD≌△BEG（SAS），

∴DG＝EG，∠ADG＝∠EGB，

∴∠EGB+∠AGD＝∠ADG+∠AGD＝90°，

∴∠EGD＝90°，

∴∠GDE＝∠GED＝45°，

∴∠DMC＝∠GDE＝45°；

②如图3﹣2所示：

∵AC为正方形ADCP的对角线，

∴∠DAC＝∠PAC＝∠DMC＝45°，

∴AC＝AD，

∵∠HCM＝∠BCA，

∴∠AHD＝∠CHM＝∠ABC，

∴△ADH∽△ACB，

∴＝＝＝．

24．解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；

故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；

（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，

则AB＝PF＝2，

则点P坐标为（4，3），

当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，

故：点P（4，3）或（0，3）；

②当AB是四边形的对角线时，如图2，

AB中点坐标为（2，0）

设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：，

即：＝2，解得：m＝2，

故点P（2，﹣1）；

故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；

（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，

设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），

S四边形AEBD＝AB（yD﹣yE）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，

∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，

当x＝，其最大值为，此时点E（，﹣）．下载本文