数列高考复习(附参)
———综合训练篇
一、选择题：
1． 在等差数列{}n a 中，12031581=++a a a ，则1092a a -的值为 （ D ）
A ．18
B ．20
C ．22
D ．24
2．等差数列{}n a 满足：30,8531==+S a a ，若等比数列{}n b 满足,,4311a b a b ==则5b 为（ B ） A ．16
B ．32
C ．
D ．27
3．等差数列{}n a 中,,27,39963741=++=++a a a a a a 则数列{}n a 的前9项之和S 9等于 （ C ）A ．66
B ．144
C ．99
D ．297
4．各项都是正数的等比数列{}n a 的公比q ≠1，且2a ，
321a ，1a 成等差数列，则5
44
3a a a a ++为（A ） A ．
215- B ．2
1
5+ C ．251- D ．215+或215-
5.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若
,336=S S 则=6
9S S
（ B ） A. 2 B.
73
C. 8
3 D.3
6．已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且210S =，555S =，则过点(,)n P n a 和2(2,)()
n Q n a n N *++∈的直线的一个方向向量的坐标是 ( B )
A.1
(2,)2
B.1(,2)2-
- C.1
(,1)2
-- D.(1,1)-- 7．设a 、b 、c 为实数,3a 、4b 、5c 成等比数列,且a 1、b 1、c 1成等差数列，则a c c a +的值为（ C ） A ．
15
94
B ．1594±
C ．15
34 D ．1534
±
8． 已知数列{}n a 的通项,1323211
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭
⎫ ⎝⎛=--n n n a 则下列表述正确的是 ( A ) A ．最大项为,1a 最小项为3a B ．最大项为,1a 最小项不存在 C ．最大项不存在，最小项为3a D ．最大项为,1a 最小项为4a
9.已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99.以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（B ）
A ．21
B ．20
C ．19
D ．18
9．一系列椭圆都以一定直线l 为准线，所有椭圆的中心都在定点M ，且点M 到l 的距离为2，若这一系列椭
圆的离心率组成以
43为首项，3
1
为公比的等比数列，而椭圆相应的长半轴长为a i =(i=1，2，…，n)，设b n =2
（2n+1）·3n －
2·a n ，且C n =
1
1
+n n b b ，T n =C 1+C 2+…+C n ，若对任意n ∈N*，总有T n >90m 恒成立，则m 的最
大正整数为
（ B ）
A ．3
B ．5
C ．6
D ．9
二、填空题：
10．已知等差数列{}n a 前n 项和S n =－n 2+2tn ，当n 仅当n=7时S n 最大，则t 的取值范围是 (6.5，7.5) .
11． 数列{}n a 的通项公式是⎪⎩⎪⎨⎧=)
(2
)(2为偶数为奇数n n n
a n
n ，则数列的前2m （m 为正整数）项和是 2m+1+m 2－
2 .
12．已知数列{}n a 满足：434121,0,,N ,n n n n a a a a n *--===∈则2009a =________；
2014a =_________.
【答案】1，0
【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.
依题意，得2009450331a a ⨯-==，2014210071007425210a a a a ⨯⨯-====.
∴应填1，0.
13．在数列{}n a 和{}n b 中，b n 是a n 与a n +1的等差中项，a 1 = 2且对任意*
N n ∈都有
3a n +1－a n = 0，则数列{b n }的通项公式 n n b 3
4
= . 14． 设P 1，P 2，…P n …顺次为函数)0(1
>=
x x
y 图像上的点（如
图），Q 1，Q 2，…Q n …顺次为x 轴上的点，且
n n n Q P Q Q P O Q OP 122111,,-∆∆∆ ，…，均为等
腰直解三角
形（其中P n 为直角顶点）.设Q n 的坐标为（*)0)(0,N x n ∈，则数列{a n }的通项公式为
n x n 2=*)N n ∈ .
三、解答题：
15．已知}{n a 是等比数列，S n 是其前n 项的和，a 1，a 7，a 4成等差数列，求证：2S 3，S 6，S 12－S 6，成等比数列.
15. [解法1]由已知.21,2,26361311741q q q a q a a a a a =+∴=+=+………………（2分）
当66663124373124126361,2()2()2()2q S S S S a a a S a q a q a q S S q ≠-=++
+=++=时
…………（4分）
.1)1(1)1()1()1(2
66616318
633
S S q
q a S q q a q S S q =⋅--=⋅--⋅+=+=………………（8分）
当,)(2,6,6,3,12
6612316121613S S S S a S S a S a S q =-=-===同样有时……（10分）
所以，61263,,2S S S S -成等比数列.………………………………………………（12分） [解法2]由已知636131174121,2,2q q q a q a a a a a =+∴=+=+，……………（2分）
当,36)12(32)(2,1231314122a a a a S S S q =-⨯=-=时
∴==.36)6(232126a a S ∴=-.)(2266122S S S S 61263,,2S S S S -成等比数列.…（6分）
当,22
1)1(2111212,16
33
636q q q q S S q ⋅=+=--⋅=≠时…………………………（8分） ∴61263,,2S S S S -成等比数列.……………………………………………………（11分）
综上，61263,,2S S S S -成等比数列.………………………………………………（12分）
16.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意自然数n 总有p a p S n n (),1(-=为常数，且
q q n b b p p n n (2}{),1,0+=≠≠中有数列为常数）。 （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若2211,b a b a <=求p 的取值范围。 16．解：（1）)1,0(1
)1(1111≠≠-=
-==p p p p
a a p S a 解得 当111)1()(2---=--=-=≥n n n n n n n pa a p a a p S S a n 整理得时， 故
)1,0,,2(1
1≠≠∈≥-=+-p p N n n p p
a a n n …………4分 由1
,111-=-=-p p a a p p a n n 得)()1
()1(11+-∈-=--=
N n p p p p p p a n
n n ………………………………6分 （2）由已知得021)1(4)1
(2122<----⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧+<-+=-p p p p q q p p q p p
并整理得消去
则21
1<-<
-p p
有22
1
>
1
0,(,0)(0,)(2,)2
p p ≠∴-∞⋃⋃+∞的取值范围为………………12分
16.新星家俱厂开发了两种新型拳头产品，一种是模拟太空椅，一种是多功能办公桌.2005年该厂生产的模拟太
空椅获利48万元，以后它又以上年利润的1.25倍的速度递增；而多功能办公桌在同年获利75万元，这
个利润是上年利润的
5
4
，以后每年的利润均以此方式产生. 预期计划若干年后两产品利润之和达到174万元. 从2005年起，
（I ）哪一年两产品获利之和最小？
（II ）至少经过几年即可达到或超过预期计划？
16．
分）
）（时取（当且仅当）（分，）（则分）
万元万元，办公桌获利年太空椅获利）设第解：（5”“2120)5
4(754548)3..(..................................................)5
4(7545481......(11
11==≥+=+∴==I ----n y x y x y x n n n n n n n n n n n
故第2006年两产品获利最小.……………………………………………………（6分）
（II ）则有）（，又令）（令,4
5174)5
4(754
5
481
11---==+=+n n n n n t y x
.
8
25
409615625457825
10243125456.8252566254559 (8)
25
45)(2
182502558165825
1611112>==<==<===∴==
∴=+-∴=+
----n n n n n n n t t t t t
t ）时，（当，
）时，（、；当）时，（当分）
（）（舍或， .7年即可超过预期计划故至少经过…………………………………………（1分）
17.（选做题）已知函数)4(44)(≥+-=x x x x f 的反函数为)(1
x f
-，数列{a n }满足：a 1 = 1，
)(),(*11N n a f a n n ∈=-+，数列123121,,,----n n b b b b b b b 是首项为1，公比为3
1
的等比数列.
（Ⅰ）求证：数列}{n a 为等差数列；
（Ⅱ）若n n n b a c ⋅=，求数列}{n c 的前n 项和S n . 17．解：（Ⅰ）)4()2(44)(2≥-=+-=x x x x x f ，
)0()2()(21
≥+=∴-x x x f
，…………………………………………2分
21
1)2()(+==∴-+n n n a a f
a ，即
).(2*1N n a a n n ∈=-+ ………………………………………………4分
∴数列1}{1=a a n 是以为首项，公差为2的等差数列 …………………………6分 （Ⅱ）由（1）得：12)1(21-=-+=n n a n ，即
)()12(*2N n n a n ∈-= ……………………………………………………8分
b 1 = 1，当1
1)3
1(,2--=-≥n n n b b n 时，
)()()(123121--++-+-+=∴n n n b b b b b b b b
12)31()31(311-++++
=n ).311(23n -= 因而.),3
11(23*
N n b n n ∈-= ……………………………………………………10分
),31
1(23)12(n n n n n b a c -⋅-=⋅=
)]3
1
2353331()12(531[232221n n n n n c c c S -++++--++++=+++=∴
令n
n n T 31
233312-+++= ①
则14323
1
233235333131+-+-++++=n n
n n n T ② ①－②，得
111223
12)311(3131312)313131(23132+-+---+=--++++=n n n n n n n T .31
1n n n T +-=∴又1 + 3 + 5 + … +（2n －1）= n 2，
).3
1
1(232n n n n S ++-=∴ …………………………………………………………14分
18.
11(),(0,){}1,();21
n n n x
f x x a a a f a x +=∈+∞==+（选做题）已知函数，数列满足数1111
{},,{}n 1,2,3,
.212()
n n n n n b b b s b n f s +===-列满足其中为数列前项和，
（1）;}{}{的通项公式和数列求数列n n b a （2）.5:,1
112211<+++=n n
n n T b a b a b a T 证明设 18．解:
.
21
1
.
12),(,12)(11
1+=
∴
+=∴=+=
+++n n n n
n n n a a a a a a f a x x
x f 分
为公差等差数列为首项以3.1
21
2)1(11
.211
}1{1
-=
∴⋅-+=∴
=∴n a n a a a n n
n
分
公比为从第二项起成等比数列又62,321,2
1
.3,}{,212,2
1
.
3).(2.12.121
2211
,)
(211
,12)(2121121121211 ⎪⎩
⎪⎨⎧≥⋅==∴=+==
=∴-=-∴+=∴+=+-
=
∴-=+=-+++++++++n n b b s b b b b s s b b s b s s s b s f b x x x f n n n n n n n n n n n n n n
n n n
12322
222)3
1()12()31()32()31(7)31(531331)
3
1()12()31(731513]
)3
1
)(12()31(731513[212:)2(----⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=⋅-++⋅+⋅+⋅=-++⋅+⋅+⋅+=n n n n n n n n n A n A n T 令依题意
证明 1
21
232)31)(12(3
11]
)31(1[3123)3
1()12(])31()31()31(31[21332--------⋅+=⋅--++++⋅=∴n n n n n n n A
分分12.5)3
1)(12(43)31(4359)31)(12(23)31(2361212 <-⋅-⋅-=∴-⋅--=∴----n n n n n n n T n A （2009 天津卷） 已知等差数列{}n a 的公差为)0(≠d d ，等比数列{}n b 的公比为)1(>q q .设1122......n n n S a b a b a b =+++,*12211,)1(N n b a b a b a T n n n n ∈-+⋅⋅⋅+-=-
（Ⅰ）若,3,2,111====q d b a 求 3S 的值；
（Ⅱ）若11=b ，证明：2*2222(1)(1)(1),1n n n dq q q S q T n N q
---+=∈- （Ⅲ）若正整数n 满足2≤n ≤q ，设1212,,...,,,...,12...
n n k k k l l l 和是，，n 的两个不同的排列，12112...n k k k n c a b a b a b =+++，12212...n l l l n c a b a b a b =+++ 证明12c c ≠。
本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分14分。
（Ⅰ）解：由题设，可得1*21,3,n n n a n b n N -=-=∈
所以，311223311335955S a b a b a b =++=⨯+⨯+⨯=
（Ⅱ）证明：由题设可得1n n b q -=则
22121232.....,n n n S a a q a q a q -=++++ ①
2321212342.....,n n n T a a q a q a q a q -=-+-+- ②
①式减去②式，得
321222422(...)n n n n S T a q a q a q --=++-
①式加上②式，得
2222213212(....)n n n n S T a a q a q --+=+++ ③
③式两边同乘q ，得
321221321()2(....)n n n n q S T a q a q a q --+=+++
所以，
222222(1)(1)()()n n n n n n q S q T S T q S T --+=--+
3212*2
2()
2(1),1n n d q q q dq q n N q -=+++-=∈-K (Ⅲ)证明：11221212()()()n n k l k l k l n c c a a b a a b a a b -=-+-++-K 11112211()()()n n n k l db k l db q k l db q -=-+-++-K 因为10,0,d b ≠≠所以 11211221
()()()n n n c c k l k l q k l q db --=-+-++-K （1） 若n n k l ≠，取i=n
（2） 若n n k l =，取i 满足i i k l ≠且,1j j k l i j n =+≤≤
由（1）,(2)及题设知，1i n <≤且 21121122111
()()()()i i i i i i c c k l k l q k l q k l q db -----=-+-+-+-K ① 当i i k l <时，得1,1,1,2,3.....1i i i i k l q n k l q i i -≤-≥-≤-=-由，得 即111k l q -≤-，22()(1)k l q q q -≤-…，2211()(1)i i i i k l q q q -----≤- 又11(),i i i i k l q q ---≤-所以 1
211211(1)(1)(1)(1)1i i i c c q q q q q q q q db q
-----=-+-+--=--K 因此12120,c c c c -≠≠即
② 当i i k l >同理可得
1211c c db -<-，因此12c c ≠ 综上， 12c c ≠下载本文
