考点分析

2、熟练运用公理、定理解决一些常见的题型

（一）知识网络

（二）知识回顾

公理1：                                                                               

公理2：                                                                         

公理3：                                                                         

推论1：                                                                         

推论2：                                                                         

推论3：                                                                         

公理4：                                                                         

异面直线的判定定理：                                                             

线、面平行的判定定理：                                                           

线、面平行的性质定理：                                                             

线、面垂直的判定定理：                                                             

线、面垂直的性质定理：                                                             

三垂线定理：                                                                       

三垂线定理的逆定理：                                                               

面面平行的判定定理：                                                               

面面平行的性质定理：                                                               

面面垂直的判定定理：                                                               

面面垂直的性质定理：                                                               

2、例题精讲

（1）点共线的问题

例1：已知E、F、G、H分别为空间四边形(四个顶点不共面的四边形)ABCD各边AB、AD、BC、CD上的点, 且直线EF和GH交于点P, 求证: B、D、P在同一条直线上.

追踪训练

如图, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为AB,AA1中点，求证CE,D1F,DA三条直线交于一点。

（2）线共面的问题

例2：已知: 如图A∈l , B∈l, C∈l, Dl, 求证: 直线AD、BD、CD共面.

追踪训练

证明空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内．

（3）点共面的问题

    例3：在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,M,N分别是正方体棱AA1,AB,BC,CC1,C1D1,A1D1的中点,求证:E,F,G,H,M,N这六点共面

（4）线面平行的问题

    例4：四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，

   求证：MN∥平面PAD；

追踪训练

已知正方形ABCD所在的平面和正方形ABEF所在的平面相交与AB，M、N分别是AC、BF上的点且AM=FN，求证：MN//平面BCE

F

E

N

B

A

M

D

C

（5）面面平行的问题

例5：如图，在长方体ABCD-A’B’C’D’，

求证：平面C’DB∥平面AB’D

追踪训练

已知正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F、G、H分别是棱A1D1，A1B1，B1C1，C1D1的中点。

求证：平面AEF∥平面GHDB。

（6）线面垂直的问题

例6：如图所示，已知点S是平面ABC外一点，

∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在直线SB和SC上的

射影分别为点E、F，求证：EF⊥SC.

追踪训练

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M． 

（7）面面垂直的问题

例7：

追踪训练

（8）立体几何证明的综合题型

例8：在三棱柱中，，分别为线段的中点，求证：

（1）平面平面;

（2）面； 

（3）平面

例9：如图，在长方体中，分别是的

中点，分别是的中点， 

（Ⅰ）求证：面；

（Ⅱ）求二面角的大小。

（Ⅲ）求三棱锥的体积。

例10：如图已知正方体中，点为的动点，

求证：;

当恰为的中点时，求证：平面

例11：在三棱锥中，△是边长为的正三角形，平面平面，、分别为的中点。

（Ⅰ）证明：⊥；

（Ⅱ）求二面角--的大小；

（Ⅲ）求点到平面的距离。

3、小结与提炼

一)、线线平行的证明方法：

1.利用平面几何中的定理：三角形（或梯形）的中位线与底边平行、平行四边形的对边平行、利用比例、……

2.利用公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行

3.利用线面平行的性质定理：

如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线和交线平行

4.利用面面平行的性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，

5.利用线面垂直的性质定理：

垂直于同一个平面的两条直线平行

二)、线面平行的证明方法：

1、定义法：直线与平面没有公共点。

2、如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（线面平行的判定定理）

3、两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行   于另一个平面。

4、如果一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，那么它也平行于另一个平面。切记直线不在平面内.

5、如果两条平行直线中的一条和一个平面平行，那么另一条也平行于这个平面。切记直线不在平面内.

三)、面面平行的证明方法：

1、定义法：两平面没有公共点。

2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，

   那么这两个平面平行。（面面平行的判定定理）

3、平行于同一平面的两个平面平行。

4、垂直于同一直线的两个平面平行。

5、面面平行的判定定理的推论。

四)、线线垂直的证明方法：

1、勾股定理。

2、等腰三角形，三线合一

3、菱形对角线，等几何图形

4、直径所对的圆周角是直角。

5、点在线上的射影。

6、如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线就和这个平面内任意的直线都垂直。

7、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，则另一条也垂直于这条直线。

五)、线面垂直的证明方法：

1、定义法：直线与平面内任意直线都垂直。

2、点在面内的射影。

3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（线面垂直的判定定理）

4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（面面垂直的性质定理）

5、两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面。

6、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则必垂直于另一个平面。

7、两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面。（小题用）

8、过一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。（小题用）

9、过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。（小题用）

六)、面面垂直的证明方法：

1、定义法：两个平面的二面角是直二面角。

2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（面面垂直的判定定理）

3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直。

4、如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直。

   （I）求证：AF//平面BCE；

   （II）求证：平面BCE⊥平面CDE；

2、如图，分别是正方体的棱的中点．

（1）求证： //平面；（2）求证：平面平面．

3、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．

（1）求证：EF∥平面CB1D1；

（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．

4、已知正方体ABCD—中，E为棱CC上的动点，

（1）求证：⊥；

（2）当E恰为棱CC的中点时，求证：平面⊥；

5、如图, 在矩形中, ,分别为线段的中点,⊥平面.

(1) 求证:∥平面；

(2) 求证:平面⊥平面；

6、如图，已知平面，平面，△为等边三角形，，为的中点.

(1) 求证：平面；

(2) 求证：平面平面；

 ○ 特别满意   ○ 满意    ○ 一般   ○ 差   

                                                 学生签字：

1、 学生上次作业评价：   ○ 非常好  ○好   ○ 一般   ○ 需要优化

2、 学生本次上课情况评价：○非常 好 ○好   ○ 一般   ○ 需要优化

                                                 教师签字：