一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

2．若三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值可能是（　　）

A．1 B．6 C．7 D．10

3．分式有意义的条件是（　　）

A．x≠0 B．y≠0 C．x≠3 D．x≠﹣3

4．计算（﹣）2018×（1.5）2019的结果是（　　）

A．﹣ B． C． D．﹣

5．下列分式中，是最简分式的是（　　）

A． B． C． D．

6．如图，在矩形ABCD中，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N作直线MN，交BC于点E，交AD于点F，若BE＝3，AF＝5，则矩形的周长为（　　）

A．24 B．12 C．8 D．36

7．已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc＝b2+ac，则△ABC是（　　）

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形

8．画△ABC的边BC上的高，正确的是（　　）

A． B．    

C． D．

9．如图△ABC中，AB＝AC，∠EBD＝20°，AD＝DE＝EB，则∠C的度数为（　　）

A．70° B．60° C．80° D．65°

10．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F，作CM⊥AD，垂足为M，下列结论不正确的是（　　）

A．AD＝CE B．MF＝CF C．∠BEC＝∠CDA D．AM＝CM

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11．数0.000015用科学记数法表示为　   　．

12．分解因式：xy2﹣4x＝　   　．

13．如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC上的两点，∠1+∠2＝214°，则∠A＝　   　度．

14．一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是　   　边形．

15．如图，在5×2的正方形网格中，点A，P，B为格点，则∠APB＝　   　．

16．在Rt△ABC中，CA＝CB，AB＝9，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD＝，则BD的长为　   　．

三．解答题（共8小题，满分38分）

17．计算

（1）；

（2）（x+y）2﹣（x﹣y）（x+y）；

（3）．

18．解分式方程：

（1）；

（2）．

19．已知：BE⊥CD，BE＝DE，EC＝EA．

求证：（1）△BEC≌△DEA；

（2）DF⊥BC．

20．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC的延长线于点D．

（1）求CD的长；

（2）求点C到ED的距离．

21．为了迎接五一黄金周的购物高峰，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：

（1）求m的值．

（2）若购进乙种运动鞋x（双），要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于13000元且不超过13500元，问该专卖店有几种进货方案？

（3）在（2）的条件下求出总利润y（元）与购进乙种运动鞋x（双）的函数关系式，并用关系式说明哪种方案的利润最大，最大利润是多少？

22．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点且∠ADC＝60°，CE⊥AD于点E，点A关于点E的对称点为点F，CF交AB于点G．

（1）依题意补全图形；

（2）求∠AGC的度数；

（3）写出AD、BD、CD之间的等量关系，并证明．

23．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．

（1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”是　   　（填写序号即可）；

（2）若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值；

（3）在化简时，

小东和小强分别进行了如下三步变形：

小东：＝＝

小强：＝＝

显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：　   　，

请你接着小强的方法完成化简．

24．在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．

特例感知：

（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B．通过观察、测量BF与CG的长度，得到BF＝CG．请给予证明．

猜想论证：

（2）当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作DE⊥BA垂足为E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想．

联系拓展：

（3）当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）

参与试题解析

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．解：A、是轴对称图形，故本选项正确；

B、不是轴对称图形，故本选项错误；

C、不是轴对称图形，故本选项错误；

D、不是轴对称图形，故本选项错误．

故选：A．

2．解：∵4﹣3＝1，4+3＝7，

∴1＜x＜7，

∴x的值可能是6．

故选：B．

3．解：根据分式有意义的条件，得x﹣3≠0

解得x≠3．

故选：C．

4．解：（﹣）2018×（1.5）2019

＝（）2018×（1.5）2018×1.5

＝

＝．

故选：B．

5．解：A．原式＝，

所以A选项不符合题意；

B．原式＝﹣1，

所以B选项不符合题意；

C．原式＝a+2，

所以C选项不符合题意；

D．原式是最简分式．

故选：D．

6．解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∴∠FAC＝∠ECA，

根据作图过程可知：

MN是AC的垂直平分线，

∴∠FOA＝∠EOC＝90°，AO＝CO，

在△AFO和△CEO中，

，

∴△AFO≌△CEO（ASA），

∴AF＝CE，

连接AE，

∵AE＝CE，

∴AE＝CE＝AF＝5，

∴BC＝BE+CE＝3+5＝8，

在Rt△ABE中，根据勾股定理，得

AB＝＝4，

∴矩形的周长为2（AB+BC）＝2（4+8）＝24．

故选：A．

7．解：已知等式变形得：（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，即（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，

∵a+b﹣c≠0，

∴a﹣b＝0，即a＝b，

则△ABC为等腰三角形．

故选：C．

8．解：A．此图形知BD不是三角形的高，不符合题意；

B．此图形中BD是AC边上的高，不符合题意；

C．此图形中CD是AB边上的高，不符合题意；

D．此图形中AD是BC边上的高，符合题意；

故选：D．

9．解：∵∠EBD＝20°，AD＝DE＝EB．

∴∠EBD＝∠EDB＝20°，∠A＝∠AED．

∵∠AED＝∠EBD+∠EDB＝40°，

∴∠A＝40°．

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C＝＝70°．故选A．

10．解：A正确；理由如下：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC＝∠B＝60°，AB＝AC

又∵AE＝BD

在△AEC与△BDA中，

，

∴△AEC≌△BDA（SAS），

∴AD＝CE；

B正确；理由如下：

∵△AEC≌△BDA，

∴∠BAD＝∠ACE，

∴∠AFE＝∠ACE+∠CAD＝∠BAD+∠CAD＝∠BAC＝60°，

∴∠CFM＝∠AFE＝60°，

∵CM⊥AD，

∴在Rt△CFM中，∠FCM＝30°，

∴MF＝CF；

C正确；理由如下：

∵∠BEC＝∠BAD+∠AFE，∠AFE＝60°，

∴∠BEC＝∠BAD+∠AFE＝∠BAD+60°，

∵∠CDA＝∠BAD+∠CBA＝∠BAD+60°，

∴∠BEC＝∠CDA；

D不正确；理由如下：

要使AM＝CM，则必须使∠DAC＝45°，由已知条件知∠DAC的度数为大于0°小于60°均可，

∴AM＝CM不成立；

故选：D．

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11．解：0.000015＝1.5×10﹣5，

故答案为：1.5×10﹣5．

12．解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），

故答案为：x（y+2）（y﹣2）

13．解：方法一：

∵∠1+∠AEF＝180°，∠2+∠AFE＝180°

∴∠1+∠AEF+∠2+∠AFE＝360°

∵∠1+∠2＝214°

∴∠AEF+∠AFE＝360°﹣214°＝146°

∵在△AEF中：∠A+∠AEF+∠AFE＝180°（三角形内角和定理）

∴∠A＝180°﹣146°＝34°

方法二：

∵在四边形BCEF中：∠B+∠C+∠1+∠2＝360°（四边形内角和为360°）

∠1+∠2＝214°

∴∠B+∠C＝360°﹣214°＝146°

∵在△ABC中：∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理）

∴∠A＝180°﹣146°＝34°

14．解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和等于它的外角和，则内角和是360度，

∴这个多边形是四边形．

故答案为四．

15．解：如图，延长AP交网格于点C，连接BC．

∵PC＝＝，BC＝＝，PB＝＝，

∴PC＝BC，PC2+BC2＝PB2，

∴△PBC是等腰直角三角形，

∴∠BPC＝45°，

∴∠APB＝180°﹣∠BPC＝135°．

故答案为：135°．

16．解：如图，∵在Rt△ABC中，CA＝CB，AB＝9，

∴CA2+CB2＝AB2，

∴CA＝CB＝9，

∵在Rt△ACD中，tan∠CAD＝，

∴CD＝3，

∴BD＝BC﹣CD＝9﹣3＝6．

故答案为：6．

三．解答题（共8小题，满分38分）

17．解：（1）

＝﹣a3﹣1b5﹣5

＝﹣a2；

（2）（x+y）2﹣（x﹣y）（x+y）

＝x2+2xy+y2﹣x2+y2

＝2xy+2y2；

（3）

＝•

＝﹣1﹣m．

18．解：（1）方程两边同乘（x﹣2），

得1﹣3（x﹣2）＝﹣（x﹣1），

解得：x＝3，

检验：当x＝3时，x﹣2≠0，

所以x＝3是原分式方程的解；

（2）方程两边同乘x（x+1），

得5x+2＝3x，

解得：x＝﹣1，

检验：当x＝﹣1时，x（x+1）＝0，

因此x＝﹣1不是原分式方程的解，

所以原分式方程无解．

19．解：（1）证明：∵BE⊥CD，

∴∠BEC＝∠DEA＝90°，

在△BEC和△DEA中，

，

∴△BEC≌△DEA（SAS）；

（2）∵△BEC≌△DEA，

∴∠B＝∠D．

∵∠D+∠DAE＝90°，∠DAE＝∠BAF，

∴∠BAF+∠B＝90°．

即DF⊥BC．

20．解：如图，

（1）过A点作AF⊥BC于点F．

∵AB＝AC＝6，BC＝4，AF⊥BC，

∴BF＝FC＝2，∠BFA＝90°，

∴在Rt△ABF中，，

∵AB的垂直平分线交AB于点E，AB＝6，

∴AE＝BE＝3，∠DEB＝90°，

在Rt△DEB中，，

∴BD＝9，

∴CD＝5．

（2）过C点作CH⊥ED于点H，

∵CH⊥ED，AB⊥ED，

∴∠DEB＝∠DHC＝90°，

∴CH∥AB，

∴，

∵BE＝3，BD＝9，CD＝5，

∴．

∴点C到ED的距离CH为．

21．解：（1）由题意可得，

，

解得，m＝150，

经检验，m＝150是原分式方程的解，

m﹣30＝120，

即m的值是150；

（2）∵购进乙种运动鞋x双，购进的甲、乙两种运动鞋共200双，

∴购进甲种运动鞋为（200﹣x）双，

∵购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于13000元且不超过13500元，

∴13000≤（240﹣150）×（200﹣x）+（160﹣120）x≤13500，

解得，90≤x≤100，

∵x为整数，

∴x＝90，91，92，93，…，100，

∴该专卖店有11种进货方案；

（3）由题意可得，

y＝（240﹣150）×（200﹣x）+（160﹣120）x＝﹣50x+18000，

∵90≤x≤100且x为整数，

∴当x＝90时，y取得最大值，此时y＝﹣50×90+18000＝13500，200﹣x＝110，

答：在（2）的条件下总利润y（元）与购进乙种运动鞋x（双）的函数关系式是y＝﹣50x+18000，当购进甲种运动鞋110双，乙种运动鞋90双时获得最大利润，最大利润是13500元．

22．解：（1）根据题意画出图形如图1，

（2）∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB，

∵点A关于点E的对称点为点F，CE⊥AD，

∴AC＝AF，∠ACE＝∠ECF，

∴∠AGC＝∠B+∠BCG＝∠B+∠ACB﹣∠ACF＝2∠B﹣2∠ECF，

∵∠ECF＝90°﹣∠EFC，∠EFC＝60°+∠BCG，

∴∠AGC＝2∠B﹣180°+120°+2∠BCG，

∴∠AGC＝60°；

（3）CD＝AD+BD．

证明：如图2，在CD是取点P，使FP＝FD，连接FP，

∵∠ADC＝60°，

∴△PDF为等边三角形，

∴∠DPF＝60°，

∴∠FPC＝120°，

∴∠ADB＝∠FPC，

又∵AC＝CF，AB＝AC，

∴AB＝CF，

∵∠BAD＝∠BCG，

∴△CPF≌△ADB（AAS），

∴AD＝PC，BD＝PF，

∴CD＝DP+PC＝AD+BD．

23．解：（1）②分式＝，不可约分，

∴分式是和谐分式，

故答案为：②；

（2）∵分式为和谐分式，且a为正整数，

∴a＝4，a＝5；

（3）小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母，

原式＝＝＝＝

故答案为：小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母．

24．（1）证明：如图1中，

∵∠F＝∠G＝90°，∠FAB＝∠CAG，AB＝AC，

∴△FAB≌△GAC（AAS），

∴FB＝CG．

（2）解：结论：CG＝DE+DF．

理由：如图2中，连接AD．

∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，

∴•AB•CG＝•AB•DE+•AC•DF，

∵AB＝AC，

∴CG＝DE+DF．

（3）解：结论不变：CG＝DE+DF．

理由：如图3中，连接AD．

∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，

∴•AB•CG＝•AB•DE+•AC•DF，

∵AB＝AC，

∴CG＝DE+DF．下载本文