第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．

1．若集合M＝{x＜|x|＜1}，N＝{x|≤x}，则MN＝（　）

A．　　 B．　　C．　　D．

2．若奇函数f（x）的定义域为R，则有（　）

A．f（x）＞f（-x）　C．f（x）≤f（-x）C．f（x）·f（-x）≤０D．f（x）·f（-x）＞０

3．若a、b是异面直线，且a∥平面α ，那么b与平面α的位置关系是（　）

A．b∥a　　　B．b与α相交 　　C．bα　　　　　D．以上三种情况都有可能

4．（理）已知等比数列{}的前n项和，则…等于（　）

A．　 　B． 　　C．　　　　D．

5．若函数f（x）满足，则f（x）的解析式在下列四式中只有可能是（　）

A．　　　 　B． 　　C．　　　　D．

6．函数y＝sinx|cotx|（0＜x＜π）的图像的大致形状是（　）

7．若△ABC的内角满足sinA＋cosA＞0，tanA-sinA＜0，则角A的取值范围是（　）

A．（0，）　 　B．（，）  　　C．（，）　　　D．（，π）

8．（理）若随机变量ξ的分布列如下表，则Eξ的值为（　）

9．（理）若直线4x-3y-2＝0与圆有两个不同的公共点，则实数a的取值范围是（　）

A．-3＜a＜7　　　B．-6＜a＜4 　　C．-7＜a＜3　　　D．-21＜a＜19

10．我国发射的“神舟3号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点A距地面为m千米，远地点B距地面为n千米，地球半径为R千米，则飞船运行轨道的短轴长为（　）

A．　　　B． 　　C．mn　　　　D．2mn

11．某校有6间不同的电脑室，每天晚上至少开放2间，欲求不同安排方案的种数，现有四位同学分别给出下列四个结果：①；②；③；④．其中正确的结论是（　）

A．仅有①　　　B．仅有②  　　C．②和③　　　D．仅有③

12．将函数y＝2x的图像按向量平移后得到函数y＝2x＋6的图像，给出以下四个命题：①的坐标可以是（-3.0）；②的坐标可以是（0，6）；③的坐标可以是（-3，0）或（0，6）；④的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是（　）

　　A．1　　　　　 B．2　　　　　　C．3　　　　　 D．4

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本题共4小题，共16分，把答案填在题中的横线上

13．已知函数，则________．

14．已知正方体ABCD－，则该正方体的体积、四棱锥-ABCD的体积以及该正方体的外接球的体积之比为________．

15.（理）已知函数在区间（-1，1）上是增函数，则实数a的取值范围是________．

16．（理）已知数列{}前n项和存在，则________．

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知函数．（1）若x∈R，求f（x）的单调递增区间；（2）若x∈[0，]时，f（x）的最大值为4，求a的值，并指出这时x的值．

18．（12分）设两个向量、，满足||＝2，||＝1，、的夹角为60°，若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

19甲．（12分）如图，平面VAD⊥平面ABCD，△VAD是等边三角形，ABCD是矩形，AB∶AD＝∶1，F是AB的中点．

（1）求VC与平面ABCD所成的角；（2）求二面角V-FC-B的度数；

（3）当V到平面ABCD的距离是3时，求B到平面VFC的距离．

20．（12分）商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2002年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款（年利率5％，按复利计算），公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元．其余部分全部在年底还建行贷款．

（1）若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款；

（2）若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元（精确到元）．（参考数据：lg1.7343＝0.2391，lgl.05＝0.0212，＝1.4774）

21．（12分）已知数列{}中，（n≥2，），数列，满足（）（1）求证数列{}是等差数列；

（2）求数列{}中的最大项与最小项，并说明理由；

（3）记…，求．

22．（14分）（理）设双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为e，若准线l与两条渐近线相交于P、Q两点，F为右焦点，△FPQ为等边三角形．

（1）求双曲线C的离心率e的值；（2）若双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为求双曲线c的方程．

参

　　1．D　2．C　3．D　4．（理）D　（文）A　5．C　6．B　7．C　8．（理）C　（文）A　9．（理）B　（文）D　10．A　11．C　12．D

　　13．-2　14．6∶2∶　15．（文）7　（理）a≥3　16．（文）a≥3（理）1

　　17．解析：（1）．

　　解不等式．得

　　∴　f（x）的单调增区间为，．

　　（2）∵　]．

　　∴　当即时，．

　　∵　3＋a＝4，∴　a＝1，此时．

　　18．解析：由已知得，，．

　　∴　．

　　欲使夹角为钝角，需．得　．

　　设．∴　，∴　．

∴　，此时．即时，向量与的夹角为π ．

　　∴　夹角为钝角时，t的取值范围是（-7，（，）．

　　19．解析：（甲）取AD的中点G，连结VG，CG．

　　（1）∵　△ADV为正三角形，∴　VG⊥AD．又平面VAD⊥平面ABCD．AD为交线，

　　∴　VG⊥平面ABCD，则∠VCG为CV与平面ABCD所成的角．

　　设AD＝a，则，．在Rt△GDC中，

　　．在Rt△VGC中，．

　　∴　．即VC与平面ABCD成30°．

　　（2）连结GF，则．

　　而　．在△GFC中，．　∴　GF⊥FC．

　　连结VF，由VG⊥平面ABCD知VF⊥FC，则∠VFG即为二面角V-FC-D的平面角．

在Rt△VFG中，．∴　∠VFG＝45°．二面角V-FC-B的度数为135°．

　　（3）设B到平面VFC的距离为h，当V到平面ABCD的距离是3时，即VG＝3．

　　此时，，，．

　　∴　，．∵　，

　　∴　．∴　．

　　∴　　即B到面VCF的距离为．

　　（乙）以D为原点，DA、DC、所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a，则D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），（0，0，a），E（a，a，），F（a，，0），G（，a，0）．

　　（1），，-a），，0，，

　　∵　，∴　．

　　（2），a，），∴　．

　　∴　．∵　，∴　平面AEG．

　　（3）由，a，），＝（a，a，），

　　∴　，．

　　20．解析：依题意，公寓2002年底建成，2003年开始使用．

　　（1）设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为1000×80（元）＝800000（元）＝80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元．

　　依题意有　…．

　　化简得．∴　．

　　两边取对数整理得．∴　取n＝12（年）．

　　∴　到2014年底可全部还清贷款．

　　（2）设每生和每年的最低收费标准为x元，因到2010年底公寓共使用了8年，

　　依题意有…．

　　化简得．

∴　（元）

　　故每生每年的最低收费标准为992元．

　　21．解析：（1），而　，

　　∴　．

　　∴　{}是首项为，公差为1的等差数列．

　　（2）依题意有，而，∴　．

　　对于函数，在x＞3.5时，y＞0，，在（3.5，）上为减函数．

　　故当n＝4时，取最大值3，而函数在x＜3.5时，y＜0，，在（，3.5）上也为减函数．故当n＝3时，取最小值，＝-1．

　　（3），，

　　∴　．

　　22．解析：（1）双曲线C的右准线l的方程为：x＝，两条渐近线方程为：．

　　∴　两交点坐标为　，、，．

　　∵　△PFQ为等边三角形，则有（如图）．

∴，即．解得　，c＝2a．∴　．

　　（2）由（1）得双曲线C的方程为把．

　　把代入得．

　　依题意　　∴　，且．

　　∴　双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为

　　∵　．∴　．

　　整理得　．∴　或．

　　∴　双曲线C的方程为：或．

　　（文）（1）设B点的坐标为（0，），则C点坐标为（0，＋2）（-3≤≤1），

　　则BC边的垂直平分线为y＝＋1　①　　　　　　　 ②

　　由①②消去，得．∵　，∴　．

　　故所求的△ABC外心的轨迹方程为：．

　　（2）将代入得．

　　由及，得．所以方程①在区间，2有两个实根．

设，则方程③在，2上有两个不等实根的充要条件是：

　　 之得．

　　∵　

　　∴　由弦长公式，得

　　又原点到直线l的距离为，

　　∴　

　　∵　，∴　．∴　当，即时，．下载本文