一．选择题（共5小题）

1．曲线在点，（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为　　

A． B． C．1 D．2

2．函数的单调减区间是　　

A．， B． C．， D．

3．函数在处的切线方程为　　

A． B． C． D．

4．偶函数为的导函数，的图象如图所示，则函数的图象可能为　　

A． B．

C． D．

5．已知定义在上的可导函数，对，都有，当时，，若，则实数的取值范围是　　

A．， B．，，

C．，， D．，

二．多选题（共2小题）

6．已知函数的导函数为，若对恒成立，则下列不等式中，一定成立的是　　

A．（1） B．（1）

C． D．

7．对于函数，，，下列说法正确的是　　

A．存在，使得函数的图像关于原点对称

B．是单调函数的充要条件是

C．若，为函数的两个极值点，则

D．若，则过点作曲线的切线有且仅有2条

三．填空题（共6小题）

8．已知，在处取得极值，则的最小值为 　　．

9．函数在上的最大值为 　　．

10．函数在的切线方程为 　　．

11．已知函数（1），则　　．

12．直线与曲线相切，则　　．

13．若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是 　　．

四．解答题（共10小题）

14．已知函数，．

（1）设函数为的导函数），求的零点个数；

（2）若的最大值是0，求实数的值．

15．已知函数在点处有极小值．

（1）求、的值；

（2）求在，上的值域．

16．已知函数．

（1）当时，求的单调区间；

（2）当时，，求实数的取值范围．

17．已知函数，．

（1）求证：在，（1）处和，处的切线不平行；

（2）讨论的零点个数．

18．已知函数，．

（1）当时，求在，处的切线方程．

（2）讨论函数的单调性；

（3）若对恒成立，求实数的取值范围．

19．已知函数．

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若函数的定义域为，求实数范围；

（3）若函数的值域为，求实数范围；

（4）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．

20．已知函数．

（1）当时，求的单调区间；

（2）若有两个零点，，且，证明：．

21．已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）设函数，若有两个不同的零点，，求证：．

22．已知函数，．

（1）讨论极值点的个数．

（2）若有两个极值点，，且，证明：．

23．设函数．

（Ⅰ）求函数的极值：

（Ⅱ）若在，时恒成立，求的取值范围．

2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：导数

参与试题解析

一．选择题（共5小题）

1．曲线在点，（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为　　

A． B． C．1 D．2

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程

【分析】先利用导数求出切线方程，然后求出切线的横、纵截距，利用面积公式即可求出面积．

【解答】解：由题意知（1），，

故（1），所以切线为，

令得；令得，

故切线与两坐标轴围成的三角形的面积．

故选：．

【点评】本题考查导数的几何意义和三角形面积的计算，属于基础题．

2．函数的单调减区间是　　

A．， B． C．， D．

【考点】利用导数研究函数的单调性

【分析】求导得，当，时，，单调递减，从而可得答案．

【解答】解：，

，

当，时，，单调递减，

函数的单调减区间是，，

故选：．

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，熟练掌握导函数的符号与函数单调性的关系是关键，考查运算能力，属于中档题．

3．函数在处的切线方程为　　

A． B． C． D．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程

【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再求出（1）的值，利用直线方程的点斜式得答案．

【解答】解：由，得，

（1），

又（1），

函数在处的切线方程为，

即．

故选：．

【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．

4．偶函数为的导函数，的图象如图所示，则函数的图象可能为　　

A． B．

C． D．

【考点】导数及其几何意义

【分析】利用导函数的正负确定原函数的单调性，即可判断选项，，由原函数为三次函数，即可判断选选项，．

【解答】解：由题意可知，为偶函数，

设的图象与轴的两个交点的横坐标分别为，，

由图象可得，当时，，则单调递增，

当时，，则单调递减，

当时，，则单调递增，

故选项错误，选项错误；

由的图象可知，在左右的函数值是变化的，不同的，

而选项中，的图象在左右是一条直线，其切线的斜率为定值，即导数为定值，

故选项错误，选项正确．

故选：．

【点评】本题考查了导函数的图象的理解与应用，导函数与原函数之间关系的应用，解题的关键是掌握导数的正负确定原函数的单调性，考查了逻辑推理能力与识图能力，属于中档题．

5．已知定义在上的可导函数，对，都有，当时，，若，则实数的取值范围是　　

A．， B．，， C．，， D．，

【考点】利用导数研究函数的单调性

【分析】令，判断的单调性和奇偶性，根据，得到，再求出的取值范围．

【解答】解：令，则当时，，

所以在区间单调递减，

又，

所以为偶函数，且在区间单调递增，

又，即，

所以，即，解得或，

所以的取值范围为，，．

故选：．

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和函数的奇偶性，考查了转化思想，属中档题．

二．多选题（共2小题）

6．已知函数的导函数为，若对恒成立，则下列不等式中，一定成立的是　　

A．（1） B．（1）

C． D．

【考点】利用导数研究函数的最值

【分析】设，，，求出函数的导数，根据函数的单调性判断即可．

【解答】解：设，，，

则，，

因为对恒成立，

所以，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

则（1）（2），（1），

即，，

即（1），（1），

故选：．

【点评】本题考查导数与不等式的综合应用，考查构造函数的方法的灵活应用与推理论证能力．

7．对于函数，，，下列说法正确的是　　

A．存在，使得函数的图像关于原点对称

B．是单调函数的充要条件是

C．若，为函数的两个极值点，则

D．若，则过点作曲线的切线有且仅有2条

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；命题的真假判断与应用；利用导数研究函数的极值

【分析】利用奇函数的定义即可判断选项，求出，利用导数的正负与函数单调性的关系，求解即可判断选项，利用极值的定义以及指数的性质、韦达定理求解，即可判断选项，求出函数的极值点，作出函数的大致图，即可判断选项．

【解答】解：若存在，使得函数的图象关于原点对称，

则函数为奇函数，

因为函数，，，

则，

因为对于任意的，不满足，

所以函数不是奇函数，

故选项错误；

因为函数，，，

则，要使得是单调函数，

必满足△，解得，

故选项正确；

若函数有两个极值点，必满足△，即，

此时，

所以，

则，

因为，

所以，

所以，

故选项正确；

若，则，

所以，

令，解得或，

当时，，则单调递增，

当时，，则单调递减，

当时，，则单调递增，

所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，

作出函数的大致图象如图所示，

其中两条虚线代表两条相切的切线，

故选项正确．

故选：．

【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了导数的综合应用，主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值的理解与应用，利用导数研究曲线的切线问题，函数图象的理解与应用，奇函数定义的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．

三．填空题（共6小题）

8．已知，在处取得极值，则的最小值为 　3　．

【考点】利用导数研究函数的极值

【分析】根据在处取得极值，求出，由基本不等式“1“的应用代入求最小值．

【解答】解：，因为在处取得极值，所以（1），

即，所以．

所以，

当且仅当时取等号．

把，代入检验得，是的极值点，

故的最小值为3．

故答案为：3．

【点评】本题主要考查利用导数研究极值的方法，基本不等式求最值的方法等知识，属于中等题．

9．函数在上的最大值为 　　．

【考点】利用导数研究函数的最值

【分析】求导分析，可求得（2），，作差（2），可得答案．

【解答】解：，

，

当，时，，单调递减，当，时，单调递增，

当时，取得最小值，（2），，

又（2），

所以，

故答案为：．

【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．

10．函数在的切线方程为 　　．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程

【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再求出，利用直线方程的点斜式得答案．

【解答】解：由，得，

则，又，

函数在的切线方程为，

即．

故答案为：．

【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．

11．已知函数（1），则　　．

【考点】导数的运算

【分析】根据导数的公式即可得到结论．

【解答】解：（1），

（1），

（1）（1），

（1），

，

故答案为：．

【点评】本题主要考查导数的基本运算，比较基础．

12．直线与曲线相切，则　或5　．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程

【分析】求出原函数的导函数，设出切点坐标，由题意可得切点横坐标与的方程组，求解得答案．

【解答】解：由，得，

设切点为，

则，解得或．

或5．

故答案为：或5．

【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．

13．若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是 　，　．

【考点】利用导数研究函数的最值

【分析】对求导得，求得其最大值点，再根据在区间上有最大值，求出的取值范围．

【解答】解：因为函数，所以，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以当时，取得最大值，

又（2），且在区间上有最大值，

所以，解得，

所以实数的取值范围是，．

故答案为：，．

【点评】本题考查导数的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．

四．解答题（共10小题）

14．已知函数，．

（1）设函数为的导函数），求的零点个数；

（2）若的最大值是0，求实数的值．

【考点】利用导数研究函数的最值

【分析】（1）由题意得，令，得，设，求导可知函数的单调递增区间是，单调递减区间是，作出函数的大致图象，数形结合即可求出的零点个数．

（2）由（1）可知当和时，函数无最大值，当时，存在，，使得，由单调性可知，从而求出的值．

【解答】解：（1）由题意得，

令，得，

设，则，

当时，；当时，，

函数的单调递增区间是，单调递减区间是，

，

作出函数的大致图象如图所示，

数形结合可知，

当或，即或时，函数有1个零点；

当，即时，函数没有零点；

当，即时，函数有2个零点．

（2）由1可知，

①当时，恒成立，在上单调递减，无最大值，

②当时，存在唯一的，，使得，

当时，，当时，，

在上单调递减，，上单调递增，无最大值，

③当时，存在，，使得，

易得在，，上单调递减，在，上单调递增，

又当时，，

，

解得：，

．

【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了方程的根与函数零点的关系，同时考查了数形结合的数学思想，属于中档题．

15．已知函数在点处有极小值．

（1）求、的值；

（2）求在，上的值域．

【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的极值

【分析】（1）依题意，得（1），（1），联立方程组，即可解得、的值；

（2）可求得，，，分别解不等式和，可得函数的单调增区间与单调递减区间，从而可求得在，上的值域．

【解答】解：（1）函数在点处有极小值，

，（1），①

且（1），②

联立①②得：，；

（2）由（1）得，

，，，

由得；

由得，

函数在区间，上单调递减，在区间，上单调递增；

又，（1），（2），

在，上的值域为，．

【点评】本题考查利用导数求函数的极值与最值，考查导数的几何意义，考查方程思想与转化化归思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题．

16．已知函数．

（1）当时，求的单调区间；

（2）当时，，求实数的取值范围．

【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性

【分析】（1）对求导，利用导数与单调性的关系即可求解的单调区间；

（2），令，求出，对分类讨论，即可求解满足题意的的取值范围．

【解答】解：（1）当时，，则．

令，则或0，

当，，时，；当时，；

的单调递增区间为，，单调递减区间为．

（2）由题设，，令，则．

若，当时，，为增函数，而，

当时，，即．

若，当时，，为减函数，而，

当时，，即，不符合题意．

综上，实数的取值范围为，．

【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．

17．已知函数，．

（1）求证：在，（1）处和，处的切线不平行；

（2）讨论的零点个数．

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程

【分析】（1）依题意，若（1），则，与矛盾，从而证得结论成立；

（2）由①知，在，上单调递增，在上单调递减，分，时，三类讨论，可得答案．

【解答】解：（1）证明：，，①

若在，（1）处和，处的切线平行，

则（1），即，

解得，与矛盾，

所以在，（1）处和，处的切线不平行；

（2），，

，使得；

由①知，在，上单调递增，在上单调递减，

在上有唯一零点；

又，

当时，，由单调性知有且仅有一个零点；

当时，，由单调性知有且仅有两个零点和1；

当时，，，

，使得；，，此时共有3个零点、，；

综上，当时，有且仅有一个零点；

当时，有且仅有两个零点；

当时，有且仅有3个零点．

【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论思想、转化与化归思想的综合运用，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题．

18．已知函数，．

（1）当时，求在，处的切线方程．

（2）讨论函数的单调性；

（3）若对恒成立，求实数的取值范围．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值

【分析】（1）根据题意可得，当时，，求导得，由导数的几何意义可得，又，即可得出答案．

（2）求导得，，分两种情况：，，讨论的正负，进而可得的单调区间．

（3）由于，则对任意恒成立，设，求导分析的单调性，进而可得对任意恒成立，设，，只需，即可得出答案．

【解答】解：（1）当时，，

，

所以，

又，

所以在，处的切线方程为，即．

（2）因为，，

所以，，

若，即，

当时，，单调递减，

若，即，，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

综上所述，当时，函数在上单调递减，

当时，函数在上单调递减，在，上单调递增．

（3）因为，

所以，

即对任意恒成立，

设，

则，

当时，，在上单调递增，

又，，所以，

由得对任意恒成立，即对任意恒成立，

设，，

则，

所以在上单调递增，

所以（1），

所以的取值范围为，．

【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．

19．已知函数．

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若函数的定义域为，求实数范围；

（3）若函数的值域为，求实数范围；

（4）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．

【考点】函数的定义域及其求法；利用导数研究函数的单调性

【分析】（1）时，，利用符合函数的单调性可求函数的单调区间；

（2）因为的定义域为，所以对恒成立，转化为含参数的一元二次不等式恒成立问题求解；

（3）由函数的值域为，则可取所有大于0的实数，分析可知和时均有符合条件的，解不等式可得的取值范围；

（4）由符合函数的单调性可转化为在上为减函数，且，分三种情况求解即可．

【解答】解：（1）时，，

由，解得，

故函数定义域为，

令，则，

因为在单调递增，在，单调递减，

而在时单调递减，

由复合函数的单调性可知，

在单调递减，在单调递增，

故的单调递增区间为，单调递减区间为；

（2）因为的定义域为，

所以对恒成立，

当时，，所以，不合题意；

当时，开口向下，必有的部分，不合题意；

当时，由△得，，解得，

综上，的取值范围是，；

（3）若函数的值域为，

可取所有大于0的实数，

当时，，符合题意；

当时，即，时符合题意，

综上，的取值范围是，；

（4）令，则，

因为在时单调递减，

由复合函数的单调性可知，

要满足若函数在区间上是增函数，

则在上为减函数，且，

①当时，需，解得；

②当时，，只需（1）即可，即，成立，故符合题意；

③当时，需即，结合可知此情况无解；

综上，实数的取值范围是，．

【点评】本题考查了符合函数的单调性，以及利用符合函数单调性求解参数范围的问题，属于中档题．

20．已知函数．

（1）当时，求的单调区间；

（2）若有两个零点，，且，证明：．

【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性

【分析】（1）当时，求得，即可求得的单调区间；

（2）依题意，得，结合式子的特点构造函数，求导，利用函数的导数与函数单调性的关系即可证明结论成立．

【解答】解：（1）当时，，

，

令，得，令，得，

的单调增区间是，单调减区间是；

（2）证明：若有两个零点，，

则，

．

由，令，则，

，，

．

令，则，

令，则，

在上单调递增，

，

，则在上单调递增，

，即，

．

【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查分离参数法与构造函数法的综合运用，考查转化与化归思想及逻辑推理能力、综合运算能力、抽象思维能力，属于难题．

21．已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）设函数，若有两个不同的零点，，求证：．

【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性

【分析】（1）由题意，代入，对函数求导，再求单调区间即可，

（2）由题意，有两个零点，可利用分离参数法，将两个根转化为关于的函数，再证明结论即可．

【解答】解：（1）当时，，

由，得的单调增区间为；

由，得的单调减区间为．

证明：（2）由题意．得有两个根有两个根，．

令．

由．

在上单调递增，在上单调递减．

有两个不同的零点，不妨设．

要证明：，

需证：．

需证：．（※）

又．

．

今，且，

得．

令，得．

在上单调递增，（1），即．

在上单调递增

，（1），

，

（※）式成立．

【点评】本题考查导数的综合应用，考查学生的综合能力，属于难题．

22．已知函数，．

（1）讨论极值点的个数．

（2）若有两个极值点，，且，证明：．

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的最值

【分析】（1）先求导，根据导数和函数的单调性的关系即可判断函数的极值点；

（2）构造函数，利用导数和函数单调性和最值的关系，可得要证，即可证明，再根据导数和极值的关系去证明，再利用换元法，再构造导数，利用导数和函数的最值的关系即可证明．

【解答】解：（1），函数的定义域为，

，

令，

，

当时，解得，

当时，，函数得到递增，

当时，，函数得到递减，

（1），

①当时，恒成立，

函数在上单调递减，

函数无极值点，

②当时，，

（1），，，

存在，，，则，即，

故有2个极值点，

综上所述当时，无极值点，当时，有2个极值点．

（2）证明：，，

则，

则，

，

，

，

，

，

，

，

在上单调递增，则（1），即，

在上单调递减，则（1），

，

，

要证，

只需证，

，，，

在，上是增函数，

只需要证，

即证，

由，，

两式相减可得，

即，

，

，

下面证明，

即证，

令，

即证，

令，，

则，

在上单调递增，

（1），

，

又，

，

，

问题得以证明．

【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．

23．设函数．

（Ⅰ）求函数的极值：

（Ⅱ）若在，时恒成立，求的取值范围．

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的最值

【分析】（Ⅰ）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；根据单调性即可求得的极值

（Ⅱ）参变分离，将问题转化为用导数求函数的最值问题

【解答】解：（Ⅰ）由题可知，

①当，，在上单调递增，没有极值；

②当，时，．

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

在时取得极大值，没有极小值

综上所述，当时，无极值；

当时，有极大值，无极小值；

（Ⅱ）

，，，

令，则原问题，，，

，，

，，，单调递增；，，单调递减；

，

的取值范围为，．

【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，利用导数研究不等式恒成立问题等知识，属于中等题．下载本文