一、选择题（3×10）

1．（3分）设x1，x2是方程x2﹣x﹣1=0=0的两根，则x1+x2=（）

    A．    ﹣3    B．    ﹣1    C．    1    D．    3

2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

    A．    等边三角形    B．    平行四边形    C．    正五边形    D．    菱形

3．（3分）如图，在⊙O中，点C是的中点，∠OAB=40°，则∠BOC等于（）

    A．    40°    B．    50°    C．    70°    D．    80°

4．（3分）一个不透明的口袋内装有大小和形状相同的一个白球和两个红球，“从中任取一球，得到白球”这个事件是（）

    A．    必然事件    B．    随机事件    C．    不可能事件    D．    以上都不正确

5．（3分）在“抛硬币”的游戏中，如果抛500次，出现正面频率为45%，这是（）

    A．    可能的    B．    确定的    C．    不可能    D．    以上都不正确

6．（3分）小张外出旅游时带了两件上衣（一件蓝色，一件黄色）和3条长裤（一件蓝色，一件黄色，一件绿色），他任意拿出一件上衣和一条长裤，正好是同色上衣和长裤的概率是（）

    A．        B．        C．        D．    

7．（3分）若函数y=x2﹣6x+c的最小值是4，则c=（）

    A．    4    B．    9    C．    5    D．    13

8．（3分）若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在反比例y=函数的图象上，则（）

    A．    y1＞y2＞y3    B．    y2＞y1＞y3    C．    y3＞y1＞y2    D．    y1＞y3＞y2

9．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a、b、c满足（）

    A．    a＜0，b＜0，c＞0    B．    a＜0，b＜0，c＜0    C．    a＜0，b＞0，c＞0    D．    a＞0，b＜0，c＞0

10．（3分）若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（）

    A．    40°    B．    80°    C．    120°    D．    150°

二、填空题

11．（3分）已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______．

12．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）和点Q关于原点对称，则点Q的坐标是_______．

13．（3分）将抛物线y=﹣2x2向右平移2个单位，得到的抛物线的解析式是_______．

14．（3分）如图，水平放置的一个的截面半径为12cm，其中有油部分油面宽AB为吗12cm，则截面上有油部分（即图中阴影部分）的面积为_______cm2．

15．（3分）小华买了一套科普读物，有上、中、下三册，要整齐地摆放在一层书架上，其中恰好摆成“上、中、下”顺序的概率是_______．

16．（3分）如图，点P是反比例函数y=﹣图象上的一点，PD垂直于x轴于点D，则△POD的面积为_______．

三、解答题

17．如图，△ABC是直角三角形，∠C=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°．

（1）试作出旋转后的△DCE，其中B与D是对应点；

（2）在作出的图形中，已知AB=5，BC=3，求BE的长．

18．解下列方程

（1）3x2﹣4x﹣4=0；                 （2）（2x﹣1）2=（x+3）2．

19．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（0，﹣2），（1，0），（2，4）．    

（1）求该抛物线的解析式；

（2）写出该抛物线的对称轴和顶点坐标．

20．如图，直线y=2x与反比例函数的图象在第一象限的交点为A，AB垂直x轴，垂足为B，已知OB=1，求点A的坐标和这个反比例函数的解析式．

21．张彬和王华两位同学为得到一张观看足球比赛的入场券，各自设计了一种方案：

张彬：如图，设计了一个可以自由转动的转盘，随意转动转盘，当指针指向阴影区域时，张彬得到入场券；否则，王华得到入场券；

王华：将三个完全相同的小球分别标上数字1、2、3后，放入一个不透明的袋子中，从中随机取出上个小球，然后放回袋子；混合均匀后，再随机取出一个小球．若两次取出的小球上的数字之和为偶数，王华得到入场券；否则，张彬得到入场券．

请你运用所学的概率知识，分析张彬和王华的设计方案对双方是否公平？

22．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB=30度．

（1）求∠APB的度数；

（2）当OA=3时，求AP的长．

23．春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：

某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元．请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？

24．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接DE．

（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系？并说明理由；

（2）若⊙O的半径为，DE=3，求AE的长．

25．如图，P是射线y=x（x＞0）上的一个动点，以点P为圆心的圆与y轴相切于点C，与x轴的正半轴交于A、B两点．

（1）若⊙P的半径为5，求A、P两点的坐标？

（2）在（1）的条件下求以P为顶点，且经过点A的抛物线所对应的函数关系式？并判断该抛物线是否经过点C关于原点的对称点D？请说明理由．

（3）试问：是否存在这样的直线l，当点P在运动过程中，经过A、B、C三点的抛物线的顶点都在直线l上？若存在，请求出直线l所对应的函数关系式；若不存在，请说明理由．

参与试题解析

一、选择题（3×10）

1．（3分）设x1，x2是方程x2﹣x﹣1=0=0的两根，则x1+x2=（）

    A．    ﹣3    B．    ﹣1    C．    1    D．    3

考点：    根与系数的关系．

分析：    直接根据根与系数的关系求解．

解答：    解：根据题意得x1+x2=1．

故选C．

点评：    本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．

2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

    A．    等边三角形    B．    平行四边形    C．    正五边形    D．    菱形

考点：    中心对称图形；轴对称图形．

分析：    根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

解答：    解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；

D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．

故选D．

点评：    本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

3．（3分）如图，在⊙O中，点C是的中点，∠OAB=40°，则∠BOC等于（）

    A．    40°    B．    50°    C．    70°    D．    80°

考点：    垂径定理．

分析：    根据垂径定理求解．

解答：    解：∵点C是的中点，

∴OC⊥AB，

∴∠AOC=50°，

∴∠BOC=50°．故选B．

点评：    此题主要考查垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

4．（3分）一个不透明的口袋内装有大小和形状相同的一个白球和两个红球，“从中任取一球，得到白球”这个事件是（）

    A．    必然事件    B．    随机事件    C．    不可能事件    D．    以上都不正确

考点：    随机事件．

分析：    根据随机事件是不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，可得答案．

解答：    解：一个不透明的口袋内装有大小和形状相同的一个白球和两个红球，“从中任取一球，得到白球”这个事件是随机事件，

故选：B．

点评：    本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

5．（3分）在“抛硬币”的游戏中，如果抛500次，出现正面频率为45%，这是（）

    A．    可能的    B．    确定的    C．    不可能    D．    以上都不正确

考点：    可能性的大小．

分析：    根据可能性大小，对出现正面频率为45%的可能性进行判断即可．

解答：    解：在“抛硬币”的游戏中，如果抛500次，出现正面频率为45%，这是可能的；

故选：A．

点评：    本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．

6．（3分）小张外出旅游时带了两件上衣（一件蓝色，一件黄色）和3条长裤（一件蓝色，一件黄色，一件绿色），他任意拿出一件上衣和一条长裤，正好是同色上衣和长裤的概率是（）

    A．        B．        C．        D．    

考点：    概率公式．

分析：    列举出所有情况，看正好是同色上衣和长裤的情况数占总情况数的多少即可．

解答：    解：共有2×3=6种可能，正好是同色上衣和长裤的有2种，所以正好是同色上衣和长裤的概率是，故选C．

点评：    用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

7．（3分）若函数y=x2﹣6x+c的最小值是4，则c=（）

    A．    4    B．    9    C．    5    D．    13

考点：    二次函数的最值．

分析：    首先用配方法将一般式化为顶点式，顶点纵坐标即为最小值，列方程求解．

解答：    解：y=x2﹣6x+c=（x﹣3）2+c﹣9，则

c﹣9=4，

解得 c=13．

故选：D．

点评：    本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．

8．（3分）若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在反比例y=函数的图象上，则（）

    A．    y1＞y2＞y3    B．    y2＞y1＞y3    C．    y3＞y1＞y2    D．    y1＞y3＞y2

考点：    反比例函数图象上点的坐标特征．

专题：    计算题．

分析：    根据反比例函数图象上点的坐标特征得到﹣2•y1=1，﹣1•y2=1，1•y3=1，然后分别计算出y1，y2，y3的值，再比较大小即可．

解答：    解：∵点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在反比例y=函数的图象上，

∴﹣2•y1=1，﹣1•y2=1，1•y3=1，

∴y1=﹣，y2=﹣1，y3=1，

∴y2＜y1＜y3．

故选C．

点评：    本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．

9．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a、b、c满足（）

    A．    a＜0，b＜0，c＞0    B．    a＜0，b＜0，c＜0    C．    a＜0，b＞0，c＞0    D．    a＞0，b＜0，c＞0

考点：    二次函数图象与系数的关系．

专题：    压轴题．

分析：    由于开口向下可以判断a＜0，由与y轴交于正半轴得到c＞0，又由于对称轴x=﹣＜0，可以得到b＜0，所以可以找到结果．

解答：    解：根据二次函数图象的性质，

∵开口向下，

∴a＜0，

∵与y轴交于正半轴，

∴c＞0，

又∵对称轴x=﹣＜0，

∴b＜0，

所以A正确．

故选A．

点评：    考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．

10．（3分）若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（）

    A．    40°    B．    80°    C．    120°    D．    150°

考点：    弧长的计算．

分析：    正确理解圆锥侧面与其展开得到的扇形的关系：圆锥的母线长等于扇形的半径，圆锥的底面周长等于扇形的弧长．因而圆锥的侧面展开图扇形的弧长是4πcm，半径是6cm，根据扇形的弧长公式l=，就可以求出n的值．

解答：    解：圆锥侧面展开图的扇形面积半径为6cm，弧长为4πcm，

代入扇形弧长公式l=，

即4π=，

解得n=120，

即扇形圆心角为120度．

故选C．

点评：    本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．

二、填空题

11．（3分）已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m＜1．

考点：    根的判别式．

专题：    推理填空题．

分析：    关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于m的不等式，从而求得m的范围．

解答：    解：∵a=1，b=﹣2，c=m，

∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×m=4﹣4m＞0，

解得：m＜1．

故答案为m＜1．

点评：    本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

12．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）和点Q关于原点对称，则点Q的坐标是（3，﹣4）．

考点：    关于原点对称的点的坐标．

分析：    利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案．

解答：    解：P（﹣3，4）关于原点的对称点Q的坐标是（3，﹣4）．

故答案是：（3，﹣4）．

点评：    此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握横纵坐标关系是解题关键．

13．（3分）将抛物线y=﹣2x2向右平移2个单位，得到的抛物线的解析式是y=﹣2（x﹣2）2．

考点：    二次函数图象与几何变换．

分析：    根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．

解答：    解：抛物线y=﹣2x2向右平移2个单位后的函数抛物线的解析式为：y=﹣2（x﹣2）2．

故答案是：y=﹣2（x﹣2）2．

点评：    主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．

14．（3分）如图，水平放置的一个的截面半径为12cm，其中有油部分油面宽AB为12cm，则截面上有油部分（即图中阴影部分）的面积为（48π﹣36）cm2．

考点：    垂径定理的应用；勾股定理；扇形面积的计算．

分析：    连接OA、OB，由于油面宽AB为12cm可求出AC的长，在Rt△AOC中利用三角函数的定义可求出∠AOC的度数，由垂径定理可知，∠AOC=∠BOC，进而可求出∠AOB的度数，根据扇形及三角形的面积可求出弓形的面积．

解答：    解：连接OA、OB，

∵AB=12cm，

∴AC=6cm，

∵OA=OD=12cm，

∴sin∠AOC===，

∴∠AOC=60°

∴AC=OA•cos∠AOC=12×=6cm，∠AOB=2∠AOE=2×60°=120°，

∴S阴影=S扇形OAB﹣S△OAB=﹣×12×6=48π﹣36cm2．

故答案为：（48π﹣36）．

点评：    本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

15．（3分）小华买了一套科普读物，有上、中、下三册，要整齐地摆放在一层书架上，其中恰好摆成“上、中、下”顺序的概率是．

考点：    概率公式．

分析：    三册数，要整齐地摆放在一层书架上，有3×2=6种排放方法，其中恰好摆成“上、中、下”顺序的概率是．

解答：    解：P（上、中、下）=．

故本题答案为：．

点评：    此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

16．（3分）如图，点P是反比例函数y=﹣图象上的一点，PD垂直于x轴于点D，则△POD的面积为1．

考点：    反比例函数系数k的几何意义．

专题：    计算题；压轴题；数形结合．

分析：    因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值|k|，△POD的面积为矩形面积的一半，即|k|．

解答：    解：由于点P是反比例函数y=﹣图象上的一点，

所以△POD的面积S=|k|=|﹣2|=1．

故答案为：1．

点评：    主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．

三、解答题

17．如图，△ABC是直角三角形，∠C=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°．

（1）试作出旋转后的△DCE，其中B与D是对应点；

（2）在作出的图形中，已知AB=5，BC=3，求BE的长．

考点：    作图－旋转变换．

分析：    （1）根据图形旋转的性质画出图形即可；

（2）先根据勾股定理求出AC的长，再根据旋转的性质求出CE的长，由BE=BC+CE即可得出结论．

解答：    解：（1）如图所示；

（2）∵AB=5，BC=3，∠C=90°，

∴AC===4．

∵△DCE由△ABC旋转而成，

∴CE=AC=4，

∴BE=BC+CE=3+4=7．

点评：    本题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．

18．解下列方程

（1）3x2﹣4x﹣4=0；（2）（2x﹣1）2=（x+3）2．

考点：    解一元二次方程－因式分解法；解一元二次方程－公式法．

分析：    （1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；

（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

解答：    解：（1）3x2﹣4x﹣4=0，

（3x+2）（x﹣2）=0，

3x+2=0，x﹣2=0，

x1=﹣，x2=2；

（2）移项得：（2x﹣1）2﹣（x+3）2=0，

[（（2x﹣1）+（x+3）][（2x﹣1）﹣（x+3）]=0，

（2x﹣1）+（x+3）=0，（2x﹣1）﹣（x+3）=0，

x1=﹣，x2=4．

点评：    本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．

19．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（0，﹣2），（1，0），（2，4）．    

（1）求该抛物线的解析式；

（2）写出该抛物线的对称轴和顶点坐标．

考点：    待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．

分析：    （1）利用待定系数法把（0，﹣2），（1，0），（2，4）代入y=ax2+bx+c中，可以解得a，b，c的值，从而求得函数关系式；

（2）根据（1）中的函数解析式，利用配方法求出对称轴及顶点坐标．

解答：    解：（1）把（0，﹣2），（1，0），（2，4）代入y=ax2+bx+c，

得：，解得：．

则抛物线的解析式为y=x2+x﹣2；

（2）y=x2+x﹣2=（x+）2﹣，

则对称轴为x=﹣，顶点坐标为（﹣，﹣）．

点评：    本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法，难度中．

20．如图，直线y=2x与反比例函数的图象在第一象限的交点为A，AB垂直x轴，垂足为B，已知OB=1，求点A的坐标和这个反比例函数的解析式．

考点：    反比例函数综合题．

专题：    综合题．

分析：    由题意知A点横坐标为1，因为直线y=2x过A点，所以A点纵坐标为2，即A（1，2），又A点在反比例函数图象上，把A点坐标代入解析式求解．

解答：    解：∵AB垂直于x轴于点B，OB=1，且点A在第一象限，

∴点A的横坐标为1，

又∵直线y=2x的图象过点A，

∴y=2x=2×1=2，

即点A的坐标为（1，2），

∵y=的图象过点A（1，2），

∴2=，

∴k=2，

∴这个反比例函数的解析式为y=．

点评：    本题考查了反比例函数的综合应用，解答本题的关键是根据交点坐标满足两个函数关系式．

21．张彬和王华两位同学为得到一张观看足球比赛的入场券，各自设计了一种方案：

张彬：如图，设计了一个可以自由转动的转盘，随意转动转盘，当指针指向阴影区域时，张彬得到入场券；否则，王华得到入场券；

王华：将三个完全相同的小球分别标上数字1、2、3后，放入一个不透明的袋子中，从中随机取出上个小球，然后放回袋子；混合均匀后，再随机取出一个小球．若两次取出的小球上的数字之和为偶数，王华得到入场券；否则，张彬得到入场券．

请你运用所学的概率知识，分析张彬和王华的设计方案对双方是否公平？

考点：    游戏公平性．

专题：    阅读型；方案型．

分析：    本题考查概率问题中的公平性问题，解决本题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可．

解答：    解：张彬的设计方案：

因为P（张彬得到入场券）=，

P（王华得到入场券）=，

因为，所以，张彬的设计方案不公平．

王华的设计方案：

可能出现的所有结果列表如下：

∴P（王华得到入场券）=P（和为偶数）=，

P（张彬得到入场券）=P（和不是偶数）=因为，

所以，王华的设计方案也不公平．

 第一次

第二次    1    2    3

 1    2    3    4

 2    3    4    5

 3    4    5    6

点评：    本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

22．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB=30度．

（1）求∠APB的度数；

（2）当OA=3时，求AP的长．

考点：    切线的性质．

分析：    （1）方法1，根据四边形的内角和为360°，根据切线的性质可知：∠OAP=∠OBP=90°，求出∠AOB的度数，可将∠APB的度数求出；方法2，证明△ABP为等边三角形，从而可将∠APB的度数求出；

（2）方法1，作辅助线，连接OP，在Rt△OAP中，利用三角函数，可将AP的长求出；方法2，作辅助线，过点O作OD⊥AB于点D，在Rt△OAD中，将AD的长求出，从而将AB的长求出，也即AP的长．

解答：    解：（1）方法一：

∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，

∴∠AOB=180°﹣2×30°=120°，

∵PA、PB是⊙O的切线，

∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，

∴在四边形OAPB中，

∠APB=360°﹣120°﹣90°﹣90°=60°．

方法二：

∵PA、PB是⊙O的切线∴PA=PB，OA⊥PA；

∵∠OAB=30°，OA⊥PA，

∴∠BAP=90°﹣30°=60°，

∴△ABP是等边三角形，

∴∠APB=60°．

（2）方法一：如图①，连接OP；

∵PA、PB是⊙O的切线，

∴PO平分∠APB，即∠APO=∠APB=30°，

又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°，

∴AP==3．

方法二：如图②，作OD⊥AB交AB于点D；

∵在△OAB中，OA=OB，

∴AD=AB；

∵在Rt△AOD中，OA=3，∠OAD=30°，

∴AD=OA•cos30°=，

∴AP=AB=．

点评：    本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．

23．春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：

某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元．请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？

考点：    一元二次方程的应用．

专题：    其他问题．

分析：    首先根据共支付给春秋旅行社旅游费用27 000元，确定旅游的人数的范围，然后根据每人的旅游费用×人数=总费用，设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游．即可由对话框，超过25人的人数为（x﹣25）人，每人降低20元，共降低了20（x﹣25）元．实际每人收了[1000﹣20（x﹣25）]元，列出方程求解．

解答：    解：设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游．

因为1000×25=25000＜27000，所以员工人数一定超过25人．

可得方程[1000﹣20（x﹣25）]x=27000．

整理得x2﹣75x+1350=0，

解得x1=45，x2=30．

当x1=45时，1000﹣20（x﹣25）=600＜700，故舍去x1；

当x2=30时，1000﹣20（x﹣25）=900＞700，符合题意．

答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游．

点评：    此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．

24．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接DE．

（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系？并说明理由；

（2）若⊙O的半径为，DE=3，求AE的长．

考点：    切线的判定．

分析：    （1）直线DE与⊙相切．根据切线的判定定理只需证明OE⊥DE即可；

（2）根据（1）中的证明过程，会发现BC=2DE，根据勾股定理求得AC的长，进一步求得直角三角形斜边上的高BE，最后根据勾股定理求得AE的长．

解答：    解：（1）直线DE与⊙相切．理由如下：

连接OE，BE，

∵AB是直径．

∴BE⊥AC．

∵D是BC的中点，

∴DE=DB．

∴∠DBE=∠DEB．

又OE=OB，

∴∠OBE=∠OEB．

∴∠DBE+∠OBE=∠DEB+∠OEB．

即∠ABD=∠OED．

但∠ABC=90°，

∴∠OED=90°，

又∵EO为⊙O半径，

∴DE是⊙O的切线．

（2）∵∠ABC=90°，AB=2，BC=2DE=6，

∴AC=4．

∴BE=3．

∴AE=．

点评：    本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．

25．如图，P是射线y=x（x＞0）上的一个动点，以点P为圆心的圆与y轴相切于点C，与x轴的正半轴交于A、B两点．

（1）若⊙P的半径为5，求A、P两点的坐标？

（2）在（1）的条件下求以P为顶点，且经过点A的抛物线所对应的函数关系式？并判断该抛物线是否经过点C关于原点的对称点D？请说明理由．

（3）试问：是否存在这样的直线l，当点P在运动过程中，经过A、B、C三点的抛物线的顶点都在直线l上？若存在，请求出直线l所对应的函数关系式；若不存在，请说明理由．

考点：    圆的综合题．

分析：    （1）根据射线的斜率先求出C点坐标，进而求得P点坐标，再利用勾股定理求出A点坐标；

（2）设抛物线的解析式为y=a（x﹣5）2+3，将A点坐标代入即可求得抛物线的解析式；

（3）先求出D点坐标，再将D点坐标代入抛物线解析式，即可验证点D不在抛物线上；

（4）可先根据直线OP的解析式设出P点的坐标，然后用P点的横坐标仿照（1）的方法求出A，B两点的坐标，然后用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的解析式，求出其顶点坐标，根据这个顶点坐标即可得出所求的直线解析式．

解答：    解：（1）如图所示：连接CP，AP，过点P作PQ⊥AB于点Q，

由题意可知=，已知PC=5，

解得：OC=3=yP，则xP=5，

故P点坐标为P（5，3），

∵AP=5，PQ=3，

∴AQ=4，

可知A点坐标为：（1，0）；

（2）设抛物线的解析式为y=a（x﹣5）2+3（a≠0），

将A点坐标为A（1，0），代入y=a（x﹣5）2+3，

解得a=﹣，

故抛物线的解析式为y=﹣（x﹣5）2+3，

（3）因为D与C关于原点对称，故D点坐标为D（0，﹣3），

将D点坐标代入y=﹣（x﹣5）2+3，

即﹣3≠﹣（0﹣5）2+3=﹣，

故点D不在抛物线上；

（4）设P（m，n），m＞0，则n=m，

由题意可得：AQ=BQ，

∵PA=PC=m，PQ=m，

∴AQ=m，

∴A（m，0），B（m，0），C（0，m），

设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=a′（x﹣m）（x﹣m）（a′≠0），

将C（0，）代入解析式，得a′=，

∴y=（x﹣m）（x﹣m）=（x2﹣2mx+m2）=[（x﹣m）2﹣m2]

∴y=（x﹣m）2﹣m

∴抛物线的顶点坐标为（m，﹣m）

∴存在直线l：y=﹣x，

当P在射线y=x上运动时，过A，B，C三点的抛物线的顶点都在直线上．存在直线l：y=﹣x．

点评：    此题主要考查了圆的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和圆的性质等知识点，是各地2015届中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．下载本文