一、解答题（共9小题，满分100分）
1．（6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：（1）A∪B，（2）A∩B．
2．（8分）（1981•北京）化简：．
3．（6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果．
4．（10分）（1981•北京）求函数f（x）=sinx+cosx在区间（﹣π，π）上的最大值．
5．（10分）（1981•北京）写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明．
6．（10分）（1981•北京）已知正方形ABCD的相对顶点A（0，﹣1）和C（2，5），求顶点B和D的坐标．
7．（17分）设1980年底我国人口以10亿计算．
（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？
（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？
8．（15分）（1981•北京）ABCD﹣A1B1C1D1为一正四棱柱，过A、C、B1三点作一截面，求证：截面ACB1⊥对角面DBB1D1．
9．（18分）（1981•北京）（1）设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得的弦长为，求k的值．
（2）以本题（1）得到的弦为底边，以x轴上的点P为顶点做成三角形，当这三角形的面积为9时，求P的坐标．
1981年全国统一高考数学试卷（文科）
参与试题解析
一、解答题（共9小题，满分100分）
1．（6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：（1）A∪B，（2）A∩B．
| 考点： | 交集及其运算；并集及其运算． |
| 分析： | 根据实数可分为有理数、无理数两大类，可得A∪B，又由有理数、无理数的定义，可得A∩B． |
| 解答： | 解：（1）根据实数可分为有理数、无理数两大类，可得A∪B=R， （2）有理数、无理数的定义，没有一个数既是有理数又是无理数， 则A∩B=Φ． |
| 点评： | 本题结合实数的分类与有理数、无理数的关系，考查集合间的交集、并集的运算，是概念类型的试题，难度较小． |
2．（8分）（1981•北京）化简：．
| 考点： | 方根与根式及根式的化简运算． |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 利用指数幂的运算法则，把原式转化为，由此能求出其结果． |
| 解答： | 解：原式= = =． |
| 点评： | 本题考查指数幂的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用． |
3．（6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果．
| 考点： | 组合及组合数公式；排列及排列数公式． |
| 专题： | 计算题；阅读型． |
| 分析： | （1）由题意知本题是一个从四个元素中选两个元素的问题，只要用排列数表示出来即可，列举时注意可以按照一定的顺序进行，比如先写出包含A的，再写包含B的去掉重复的． （2）本题和前一个问题是有一定的区别的，上一问选正、副班长各一人包括选出来，安排谁当什么，而本题只是选出三个人即可，与顺序无关． |
| 解答： | 解：（1）选举种数A42=12（种）所有可能的选举结果： AB、AC、AD、BC、BD、CD、 BA、CA、DA、CB、DB、DC． （2）选举种数C43=4（种）所有可能的选举结果：ABC、ABD、ACD、BCD． |
| 点评： | 排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有条件的元素． |
4．（10分）（1981•北京）求函数f（x）=sinx+cosx在区间（﹣π，π）上的最大值．
| 考点： | 三角函数的最值． |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 把函数f（x）的解析式提取，然后利用两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用周期公式T=求出函数的周期，得到（﹣π，π）为函数的一个周期，根据正弦函数的最大值为1得到f（x）的最大值即可． |
| 解答： | 解：f（x）=（sinxcos+cosxsin）=， 所以f（x）以为振幅，以2π为周期，区间（﹣π，π）恰好是f（x）的一个周期的定义区间， 故f（x）在区间上取得最大值． |
| 点评： | 考查学生灵活运用两角和的正弦函数公式化简求值，会求正弦函数的周期和最大值． |
5．（10分）（1981•北京）写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明．
| 考点： | 正弦定理． |
| 专题： | 证明题． |
| 分析： | 先写出正弦定理，然后证明．先分别作BC、AC边上的高线，根据三角形的面积公式分别表示出以BC、AC、AB为底边的面积，然后根据同一个三角形的面积相等得到等式，最后同时除以可得证． |
| 解答： | 解：． 证：引AD垂直BC于D；引BE垂直CA的延长线于E． 设△ABC的面积为S，则=； ∴， 将上式除以，得：． |
| 点评： | 本题主要考查正弦定理的证明．属基础题． |
6．（10分）（1981•北京）已知正方形ABCD的相对顶点A（0，﹣1）和C（2，5），求顶点B和D的坐标．
| 考点： | 直线和圆的方程的应用；中点坐标公式． |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 本题可利用正方形在平面坐标系中中心的性质，对角线的斜率乘积为﹣1，进行解题，联立方程，求解即可． |
| 解答： | 解：设AC中点为M（x，y），则有，∴M（x，y）=M（1，2）． 又设AC斜率为k，则k=3，因此得BD的斜率为． 故有直线BD的方程：， 又以M点为圆心，|MA|为半径的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=10 （2） 解方程（1）、（2）得B、D的坐标为（4，1）及（﹣2，3）． （注：用复数法解亦可） |
| 点评： | 本题考查学生对于直线和坐标系的运用，及直线垂直，中点的关系等，是中档题． |
7．（17分）设1980年底我国人口以10亿计算．
（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？
（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？
| 考点： | 数列的应用． |
| 专题： | 应用题． |
| 分析： | （1）由题意知所求人口数x（亿）x=10×（1.02）20，两边取对数可的答案． （2）设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10×（1+y%）20≤12，（1+y%）20≤1.2．由此解可得答案． |
| 解答： | 解：（1）所求人口数x（亿）是等比数列 10，10×1.02，10×（1.02）2，的第21项，即 x=10×（1.02）20， 两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200， ∴x=14.859（亿） （2）设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得 10×（1+y%）20≤12， （1+y%）20≤1.2． 根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得 20lg（1+y%）≤lg1.2， 即lg（1+y%）≤0.00396， ∴1+y%≤1.0092，y%≤0.0092． |
| 点评： | 本题考查数列性质的综合应用，解题时要注意公式的灵活运用． |
8．（15分）（1981•北京）ABCD﹣A1B1C1D1为一正四棱柱，过A、C、B1三点作一截面，求证：截面ACB1⊥对角面DBB1D1．
| 考点： | 平面与平面垂直的判定． |
| 专题： | 证明题；综合题． |
| 分析： | 设AC、BD交于O点，作截面ACB1、对角面BB1D1D以及它们的交线OB1，要证明截面ACB1⊥对角面DBB1D1，只需证明截面ACB1内的直线AC垂直对角面DBB1D1内的相交直线BB1、BD即可． |
| 解答： | 证明：设AC、BD交于O点， 作截面ACB1、对角面BB1D1D以及它们的交线OB1如图， 由于AC1是正四棱柱， 所以ABCD是正方形，故AC⊥BD；又BB1⊥底面ABCD， 故BB1⊥AC，∴AC⊥对角面BB1D1D， 已知AC在截面ACB1内， 故有截面ACB1⊥对角面BB1D1D． |
| 点评： | 本题考查平面与平面的垂直，考查逻辑思维能力，是中档题． |
9．（18分）（1981•北京）（1）设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得的弦长为，求k的值．
（2）以本题（1）得到的弦为底边，以x轴上的点P为顶点做成三角形，当这三角形的面积为9时，求P的坐标．
| 考点： | 直线与圆锥曲线的关系． |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | （1）设出交点坐标，联立直线和抛物线的方程，整理，由韦达定理，算出（x1﹣x2）2，（y1﹣y2）2，再有两点间距离公式计算出弦长．求出k． （2）设出P点坐标，由点p到直线的距离求出三角形的高，再由面积公式代入求解，即得． |
| 解答： | 解：（1）设直线与抛物线的交点为P1（x1，y1），P2（x2，y2）． 解方程组：，得（2x+k）2=4x， 即4x2+4（k﹣1）x+k2=0， 故有x1+x2=1﹣k，x1x2=． ∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2 =． 又因P1，P2在直线y=2x+k上，故 （y1﹣y2）2=4（x1﹣x2）2=4（1﹣2k）． 根据题设条件， 即（1﹣2k）+4（1﹣2k）=45，解得：k=﹣4． （2）设x轴上一点P的坐标为（a，0）又点P到直线P1P2的距离为h，则有． 依题意得△PP1P2的面积关系：，即6=|2a﹣4|， ∴a=5，a=﹣1． |
| 点评： | “设而不求”仍是圆锥曲线问题的常用方法，在第一题的处理中，也可直接用弦长公式lAB=|x1﹣x2|． |
