数学试题

 注意事项：

 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分。满分120分，考试时间120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01。

卷一（选择题，共60分）

一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上）

1.已知集合，，则等于    （ ）

【答案】B【解析】因为,,所以.

2.已知集合A，B，则“”是“”的 （ ）

 充分不必要条件 必要不充分条件

 充要条件 既不充分也不必要条件

【答案】 B 【解析】又，“”是

“”的必要不充分条件.

3.不等式的解集是（ ）

【答案】A【解析】，即不等式的解集为

.

4.若奇函数在上的图像如图所示，则该函数在上的图像可能是（ ）

第4题图GD21

 GD22   GD23  

GD24  GD25

【答案】D【解析】因为已知是奇函数，根据奇函数的性质是关于原点对称，根据选项只能选D.

5.若实数a>0，则下列等式成立的是（ ）

A.       

【答案】D【解析】A中，B中，C中，故D选项正确.

6.已知数列是等比数列，其中，，则该数列的公比q等于  （ ）

   ..4        D.8

【答案】 B【解析】 ，，，则q=2.

7.某职业学校的一个数学兴趣小组有4名男生和3名女生，若从这7名学生中任选3名参加数学竞赛，要求既有男生又有女生，则不同选法的种数是（ ）

 ..30   D.10

【答案】C【解析】由题知，有两种选法①两名男生一名女生种，②两名女生一名男生种，所以一共有种.

8.下列说法正确的是(   )

 函数的图像经过点（a,b）

 函数（a>0且a≠1）的图像经过点（1,0）

 函数（a>0且a≠1）的图像经过点（0,1）

 函数（）的图像经过点（1,1）

【答案】D【解析】A中，函数的图像经过点（-a,b）；B中，函数（a>0且a≠1）的图像经过点（0,1）；C中，函数（a>0且a≠1）的图像经过点（1,0）；D中，把点代入，可知图象必经过点.

9.如图所示，在平行四边形OABC中，点A（1，－2），C（3,1），则向量的坐标是（ ）

第9题图GD26

 A.（4，－1） （4,1） （1，－4） （1,4）

【答案】A【解析】A（1，－2），C（3,1），，又，

.

10.过点P（1,2）与圆相切的直线方程是（ ）

    B.    D. 

【答案】B【解析】将点代入圆方程，可知点在圆上，又因为将点代入C,D等式不成立，可排除C,D，又因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，又圆心为（0,0），半径为，即圆心到直线的距离，圆心到直线的距离，则只有B符合.

11.表中数据是我国各种能源消费量占当年能源消费总量的百分率，由表可知，从2011年到2014年，消费量占比增长率最大的能源是（ ）

 天然气 核能 水利发电 再生能源

表 我国各种能源消费的百分率

 12.若角的终边过点，则角的终边与圆的交点坐标是（ ）

【答案】A【解析】因为，所以长度为，设交点为，又因为圆的半径为，因此有，，又因为终边在第二象限，所以选A.

13.关于x，y的方程和在同一坐标系中的图象大致是（ ）

GD27GD28

GD29GD30

【答案】D【解析】 当的图象为椭圆时，，则的图象单调递增，且与y轴的截距大于0，A、B均不符；当的图象为双曲线时，当时，双曲线的焦点在y轴上，的图象单调递减，且与y轴的截距大于0；当时，双曲线的焦点在x轴上，的图象单调递增，且与y轴的截距小于0，综上所述，选项D正确.

14.已知的二项展开式有7项，则展开式中二项式系数最大的项的系数是（ ）

 －2－1.160    D.560

【答案】B【解析】 的二项展开式有7项，，，又展开式中二项式系数最大的项为第4项，则，则其系数为.

15.若有7名同学排成一排照相，恰好甲、乙两名同学相邻，并且丙、丁两名同学不相邻的概率是（ ）

【答案】A【解析】先利用捆绑法将甲乙进行捆绑并全排列，有种排列方法，将甲乙作为一个整体，除去丙丁将其他人进行全排列，有种排列方法，再利用插空法将丙丁进行插空，有种排列方法；总共有种排列方法，所以概率为. 

16.函数在一个周期内的图像可能是（ ）

 GD31GD34

GD32GD33

【答案】A【解析】B选项中当，C选项中当时，，D选项中，当.

17.在中，若,则等于（ ）

     －2    D.2

【答案】C【解析】因为，所以是等边三角形，所以各个角均为，.

18.如图所示，若满足约束条件则目标函数的最大值是（ ）

第18题图 GD35

A..3    D.1

【答案】B【解析】  由图可知，目标函数在点（2,2）处取得最大值，即.

19.已知表示平面，表示直线，下列结论正确的是（ ）

A.若则 若

C.若   若

16.D【解析】A,B,C选项,直线l与m相交、平行、异面都有可能；D选项，∵，∴存在一个平面，使得且，∵∴，.

20.已知椭圆的焦点分别是,点在椭圆上，如果,那么点到轴的距离是（ ）

【答案】B【解析】  椭圆，即，设点的坐标为，又，点又在以原点为圆心，半径为2的圆上，圆方程为，即①，又②，联立①②得，点到轴的距离是.

卷二（非选择题，共60分）

二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上）

21.已知，则的值是        .

【答案】【解析】分式上下同除以得，把代入得原式=2.

22.若表面积为6的正方体内接于球，则该球的表面积等于        .

【答案】【解析】设正方体的边长为，，则边长为，所以正方体上下两个面的斜线长为，则圆的直径为，.

23.如果抛物线上的点M到y轴的距离是3，那么点M到该抛物线焦点F的距离是       .

【答案】【解析】因为抛物线上的点M到y轴的距离是3，所以点的横坐标为3，再将代入得到，所以点，又因为，准线，则点M到该抛物线焦点F的距离是5.

24.某职业学校有三个年级，共有1000名学生，其中一年级有350名，若从全校学生中任意选出一名学生，则恰好选到二年级学生的概率是0.32.现计划利用分层抽样的方法，从全体学生中选出100名参加座谈会，那么需要从三年级学生中选出     名.

【答案】33【解析】恰好选到二年级学生的概率是0.32，恰好选到一年级学生的概率是0.35，

则选到三年级学生的概率是1-0.35-0.32=0.33，那么需要从三年级抽取100×0.33=33人.

25.设命题p；函数在上是减函数；

 命题q：.

 若是真命题，是假命题，则实数a的取值范围是      .

【答案】或【解析】 是真命题，是假命题，pq同为真或pq同为假，当pq同为真时，函数在上是减函数，函数的对称轴为，即，，即恒成立，设，即，则；同理，当pq同为假时，或，综上所述得，实数a的取值范围为或.

三、解答题（本大题5小题，共40分）

26.（本小题6分）已知某城市2015年底的人口总数为200万，假设此后该城市人口的年增长率为1%（不考虑其他因素）.

 （1）若经过x年该城市人口总数为y万，试写出y关于x的函数关系式；

 （2）如果该城市人口总数达到210万，那么至少需要经过多少年（精确到1年）？

【解】（1）由题意可得；

（2）如果该城市人口总数达到210万，则，那么至少需要经过5年.

27.（本小题8分）已知数列的前n项和.求：

 （1）第二项；

 （2）通项公式.

【解】（1）因为，所以，，，所以.

（ 2 ），.

28.（本小题8分）如图所示，已知四边形ABCD是圆柱的轴截面，是下底面圆周上不与点重合的点.

 （1）求证：平面DMB平面DAM；

    （2）若是等腰三角形，求该圆柱与三棱锥D-AMB体积的比值.

GD36

 第28题图

【解】（1）∵是下底面圆周上不与点重合的点,∴在一个平面上，

 又∵四边形是圆柱的轴截面，∴边过圆心，平面,,

根据定理以直径为斜边的三角形为直角三角形，所以,

∵平面,且,∴平面,

又∵平面，∴平面平面.

（2）设底面圆的半径为，圆柱的高为，

又∵是等腰直角三角形，所以两个直角边长为，

所以，所以，

所以.

29.（本小题8分）如图所示，要测量河两岸P，Q两点之间的距离，在与点P同侧的岸边选取了A,B两点（A,B,P,Q四点在同一平面内），并测得AP=20m，BP=10m，，，.试求P，Q两点之间的距离.

SH17

 第29题图

【解】 连接AB，又，AP=20m，BP=10m，则，则

，又，，

，在中，由正弦定理得，

，即，在

中，由余弦定理得，

，，P，Q两点之间的距离为米.

30.（本小题10分）如图所示，已知双曲线的中心在坐标原点O，焦点分别是，且双曲线上的任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于2.

 （1）求该双曲线的标准方程、离心率及渐近线方程；

 （2）若直线l经过双曲线的右焦点，并与双曲线交于M,N两点，向量是直线l的法向量，点P是双曲线左支上的一个动点.求面积的最小值.

GD39

第30题图

【解】（1）根据题意设双曲线的标准方程为，双曲线上的任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于2，，即，则该双曲线的标准方程为，离心率，渐近线方程为；

（2）向量是直线l的法向量，直线的斜率，又直线l经过双曲线的右焦点，即直线l的方程为，设，又双曲线的方程为，即

，，则

，要使面积的最小值，即点P到直线l的距离最小，则点P坐标为，，则

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