【选题明细表】
知识点、方法题号
比较法证明不等式1
综合法证明不等式3
分析法证明不等式2
分析综合法证明不等式4 1.设a>b>0,求证:>.
证明:法一-==
=,
因为a>b>0,
所以a-b>0,ab>0,a2+b2>0,a+b>0.
所以->0,
所以>.
法二因为a>b>0,
所以a+b>0,a-b>0.
所以=·
=
=
=1+>1.
所以>.2.设x≥1,y≥1,求证x+y+≤++xy.
证明:由于x≥1,y≥1,
要证x+y+≤++xy,
只需证xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2.
因为[y+x+(xy)2]-[xy(x+y)+1]
=[(xy)2-1]-[xy(x+y)-(x+y)]
=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)
=(xy-1)(xy-x-y+1)
=(xy-1)(x-1)(y-1),
由条件x≥1,y≥1,
所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0,
从而所要证明的不等式成立.
3.(2015高考湖南卷)设a>0,b>0,且a+b=+.证明:
(1)a+b≥2;
(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.
证明:由a+b=+=,a>0,b>0,
得ab=1.
(1)由基本不等式及ab=1,
有a+b≥2=2,
即a+b≥2.
(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,
则由a2+a<2及a>0得0 4.设a>0,b>0,c>0,求证:++≥. 证明:要证++≥, 只需证+1++1++1≥, 只需证++≥, 只需证(a+b+c)(++)≥. 因为(a+b+c)(++) =[(b+c)+(a+c)+(a+b)]·(++)≥×3×3×=, 当且仅当a=b=c时“=”成立, 故原不等式成立.下载本文
