参与试题解析

一．解答题（共14小题）

1．为了推动“龙江经济带”建设，我省某蔬菜企业决定通过加大种植面积、增加种植种类，促进经济发展．2017年春，预计种植西红柿、马铃薯、青椒共100公顷（三种蔬菜的种植面积均为整数），青椒的种植面积是西红柿种植面积的2倍，经预算，种植西红柿的利润可达1万元/公顷，青椒1.5万元/公顷，马铃薯2万元/公顷，设种植西红柿x公顷，总利润为y万元．

（1）求总利润y（万元）与种植西红柿的面积x（公顷）之间的关系式．

（2）若预计总利润不低于180万元，西红柿的种植面积不低于8公顷，有多少种种植方案？

（3）在（2）的前提下，该企业决定投资不超过获得最大利润的在冬季同时建造A、B两种类型的温室大棚，开辟新的经济增长点，经测算，投资A种类型的大棚5万元/个，B种类型的大棚8万元/个，请直接写出有哪几种建造方案？

【解答】解：（1）由题意y=x+1.5×2x+2（100﹣3x）=﹣2x+200．

（2）由题意﹣2x+200≥180，

解得x≤10，

∵x≥8，

∴8≤x≤10．

∵x为整数，

∴x=8，9，10．

∴有3种种植方案，

方案一：种植西红柿8公顷、马铃薯76公顷、青椒16公顷．

方案二：种植西红柿9公顷、马铃薯73公顷、青椒18公顷．

方案三：种植西红柿10公顷、马铃薯70公顷、青椒20公顷．

（3）∵y=﹣2x+200，

﹣2＜0，

∴x=8时，利润最大，最大利润为184万元．

设投资A种类型的大棚a个，B种类型的大棚b个，

由题意5a+8b≤×184，

∴5a+8b≤23，

∴a=1，b=1或2，

a=2，b=1，

a=3，b=1，

∴可以投资A种类型的大棚1个，B种类型的大棚1个，

或投资A种类型的大棚1个，B种类型的大棚2个，

或投资A种类型的大棚2个，B种类型的大棚1个，

或投资A种类型的大棚3个，B种类型的大棚1个．

2．某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，图中的折线ODE表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．

（1）第24天的日销售量是　330　件，日销售利润是　660　元．

（2）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）日销售利润不低于0元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？

【解答】解：（1）340﹣（24﹣22）×5=330（件），

330×（8﹣6）=660（元）．

故答案为：330；660．

（2）设线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y=kx，

将（17，340）代入y=kx中，

340=17k，解得：k=20，

∴线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y=20x．

根据题意得：线段DE所表示的y与x之间的函数关系式为y=340﹣5（x﹣22）=﹣5x+450．

联立两线段所表示的函数关系式成方程组，

得，解得：，

∴交点D的坐标为（18，360），

∴y与x之间的函数关系式为y=．

（3）当0≤x≤18时，根据题意得：（8﹣6）×20x≥0，

解得：x≥16；

当18＜x≤30时，根据题意得：（8﹣6）×（﹣5x+450）≥0，

解得：x≤26．

∴16≤x≤26．

26﹣16+1=11（天），

∴日销售利润不低于0元的天数共有11天．

∵点D的坐标为（18，360），

∴日最大销售量为360件，

360×2=720（元），

∴试销售期间，日销售最大利润是720元．

3．2016年底郑州市雾霾天气趋于严重，某商场根据民众健康需要，从厂家购进了A、B两种型号的空气净化器，如果销售10台A型和20台B型空气净化器的利润为4000元，销售20台A型和10台B型空气净化器的利润为3500元．

（1）求每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润；

（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B型空气净化器的进货量不超过A型空气净化器的2倍，设购进A型空气净化器x台，这100台空气净化器的销售总利润为y元．

①求y关于x的函数关系式；

②该公司购进A型、B型空气净化器各多少台，才能使销售总利润最大？

（3）已知A型空气净化器净化能力为340m3/h，B型空气净化器净化能力为240m3/h．某公司室内办公场地总面积为600m2，室内墙高3.5m．受二胎影响，近期孕妇数量激增，为保证胎儿健康成长，该公司计划购买15台空气净化器净化空气，每天花费30分钟将室内空气净化一新，若不考虑空气对流等因素，该公司至少要购买　6　台A型空气净化器．（请直接写出答案）

【解答】解：（1）设每台A型空气净化器的销售利润为a元，每台B型空气净化器的销售利润为b元，

依题意得：，

解得：．

答：每台A型空气净化器的销售利润为100元，每台B型空气净化器的销售利润为150元．

（2）①设购进A型空气净化器x台，则购进B型空气净化器（100﹣x）台，

由已知得：100﹣x≤2x，

解得：x≥，

∴x≥34．

∴y=100x+150（100﹣x）=﹣50x+15000（x≥34，且x为正整数）．

②∵y=﹣50x+15000中，k=﹣50＜0，

∴y随x的增大而减小，

∴当x=34时，y取最大值，此时100﹣x=66．

故购进34台A型空气净化器和66台B型空气净化器的销售利润最大．

（3）该公司要购买A型空气净化器m台，

根据题意得[340m+240（15﹣m）]≥600×3.5

解得m≥6，

故该公司至少要购买A型空气净化器6台．

故答案为：6．

4．如图，有一个底面积为15cm×12cm的长方体容器A，和一个棱长为6cm×5cm×10cm的长方体铁块B．

（1）若将铁块B的6cm×10cm面放到容器A的底面上往A中注水，注水过程中A中水面高度y（cm）与注水时间x（s）的函数图象如图①所示．

①容器A的高度是　8　cm．

②求（1）中注水速度v（cm/s ）和图①中的t的值

（2）若将铁块B的6cm×5cm面和5cm×10cm面分别放入容器A底面，以同样速度向容器注水，请在图②、图③中画出水面水面高度y（cm）与注水时间x（s）的函数关系大致图象．

【解答】解：（1）①到8cm时，注水停止，

∴容器A的高度是8cm，

故答案为8；

②注到5cm时水的容积为：（15×12﹣6×10）×5=600cm3，

注水速度v=600÷40=15cm/s；

t=40+15×12×3÷15=76s；

（2）铁块B的6cm×5cm面放置于容器A中，水的容积为：（15×12﹣6×5）×8=1200cm3，

∴注满用的时间为：1200÷15=80s；

5cm×10cm面置于容器A中，

注水到达6cm时水的体积为：（15×12﹣10×5）×6=780cm3，

780÷15=52s；

5．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．

（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；

（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．

①求y关于x的函数关系式；

②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？

【解答】解：（1）设每台A型电脑销售利润为x元，每台B型电脑的销售利润为y元，

根据题意得，

解得．

答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元；

（2）①据题意得，y=100x+150（100﹣x），

即y=﹣50x+15000，

②据题意得，100﹣x≤2x，

解得x≥33，

∵y=﹣50x+15000，

∴y随x的增大而减小，

∵x为正整数，

∴当x=34时，y取最大值，则100﹣x=66，

即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．

6．某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示：

（1）该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？

（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量，已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的3倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过17.25万元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润．

【解答】解：（1）设该商场计划购进甲种手机x部，乙种手机y部，由题意得

，

解得．

答：该商场计划购进甲种手机20部，乙种手机30部；

（2）设甲种手机减少a部，则乙种手机增加3a部，由题意得4000（20﹣a）+2500（30+3a）≤172500

解得a≤5

设全部销售后的毛利润为w元．则

w=300（20﹣a）+500（30+3a）=1200a+21000．

∵1200＞0，

∴w随着a的增大而增大，

∴当a=5时，w有最大值，w最大=1200×5+21000=27000

答：当商场购进甲种手机15部，乙种手机45部时，全部销售后毛利润最大，最大毛利润是2.7万元．

7．甲、乙两组同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y（件）与时间x（时）的函数图象如图所示．

（1）直接写出甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式　y=60x　；

（2）求乙组加工零件总量a的值；

（3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每满300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？

【解答】解：（1）∵图象经过原点及（6，360），

∴设解析式为：y=kx，

∴6k=360，

解得：k=60，

∴y=60x（0＜x≤6）；

故答案为：y=60x（0＜x≤6）；

（2）乙2小时加工100件，

∴乙的加工速度是：每小时50件，

∴乙组在工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．

∴更换设备后，乙组的工作速度是：每小时加工50×2=100件，

a=100+100×（4.8﹣2.8）=300；

（3）乙组更换设备后，乙组加工的零件的个数y与时间x的函数关系式为：

y=100+100（x﹣2.8）=100x﹣180，

当0≤x≤2时，60x+50x=300，解得：x=（不合题意舍去）；

当2＜x≤2.8时，100+60x=300，解得：x=（不合题意舍去）；

∵当2.8＜x≤4.8时，60x+100x﹣180=300，

解得x=3，

∴经过3小时恰好装满第1箱．

答：经过3小时恰好装满第一箱．

8．某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表：

（2）若要求总利润不低于17560元，有多少种不同分配方案，并将各种方案设计出来；

（3）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利a元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的A，B型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？

【解答】解：由题意得，甲店B型产品有（70﹣x）件，乙店A型有（40﹣x）件，B型有（x﹣10）件，

则（1）W=200x+170（70﹣x）+160（40﹣x）+150（x﹣10）=20x+16800．

由，

解得10≤x≤40；

（2）由W=20x+16800≥17560，

解得x≥38．

故38≤x≤40，x=38，39，40．

则有三种不同的分配方案．

①x=38时，甲店A型38件，B型32件，乙店A型2件，B型28件；

②x=39时，甲店A型39件，B型31件，乙店A型1件，B型29件；

③x=40时，甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件；

（3）依题意：W=（200﹣a）x+170（70﹣x）+160（40﹣x）+150（x﹣10）=（20﹣a）x+16800．

①当0＜a＜20时，x=40，即甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件，能使总利润达到最大．

②当a=20时，10≤x≤40，符合题意的各种方案，使总利润都一样．

③当20＜a＜30时，x=10，即甲店A型10件，B型60件，乙店A型30件，B型0件，能使总利润达到最大．

9．如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽中的水匀速注人乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：

（1）图2中折线ABC表示　乙　槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示　甲　槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选塡“甲”或“乙”），点B的纵坐标表示的实际意义是　乙槽中铁块的高度为14cm　；

（2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同；

（3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积；

（4）若乙槽中铁块的体积为112立方厘米，求甲槽底面积（壁厚不计）．（直接写成结果）

【解答】解：（1）乙；甲；乙槽中铁块的高度为14cm；

（2）设线段AB、DE的解析式分别为：y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，

∵AB经过点（0，2）和（4，14），DE经过（0，12）和（6，0）

∴，

解得 ，

，

解得：，

∴解析式为y=3x+2和y=﹣2x+12，

令3x+2=﹣2x+12，

解得x=2，

∴当2分钟时两个水槽水面一样高．

（3）由图象知：当水槽中没有没过铁块时4分钟水面上升了12cm，即1分钟上升3cm，

当水面没过铁块时，2分钟上升了5cm，即1分钟上升2.5cm，

设铁块的底面积为acm2，

则乙水槽中不放铁块的体积分别为：2.5×36cm3，

放了铁块的体积为3×（36﹣a）cm3，

∴1×3×（36﹣a）=1×2.5×36，

解得a=6，

∴铁块的体积为：6×14=84（cm3）．

（4）60cm2．

∵铁块的体积为112cm3，

∴铁块的底面积为112÷14=8（cm2），

可设甲槽的底面积为m，乙槽的底面积为n，则根据前4分钟和后2分钟甲槽中流出的水的体积和乙槽中流入的水的体积分别相等列二元一次方程组，

∵“匀速注水”，没过铁块前和没过铁块后注水速度未变，则总水体积不变

∴，

解得：m=60（cm2）．

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