【教材分析】

初中学习了整数指数幂的运算，本节将整数指数扩充到有理数指数和实数指数，着重是有理数指数（分数指数）的运算，完成了指数幂运算的扩充，一方面使指数运算知识更加完整，揭示了开方（根式）运算与乘方（指数式）运算的内在联系，另一方面为学习指数的运算性质和指数函数的性质奠定了基础。

【教学目标】

（1）知识目标：掌握有理数指数幂的含义和运算；掌握根式运算与指数运算的内在联系；正确进行有理数指数幂的运算；理解实数指数幂的含义。

（2）核心素养目标：通过实数指数幂的扩充和相关运算，使学生了解指数运算的发展过程，提高学生数算的核心素养。

【教学重难点】

（1）正分数指数幂的含义和运算；

（2）有理数指数幂的运算；

（3）根式与分数指数幂的相互转化。

【教学准备】

多媒体课件

【教学过程】

一、知识引入

在初中，学习了整数指数幂的运算及性质

， ， 

。

思考讨论：

（1）薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它侵害田地的面积(单位hm2)与年数（年）的关系式为

。

其中为侵害面积的初始值

如果求10年后侵害的面积，则；如果求15.5年后侵害的面积，就需要计算，这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢？

提示：指数是分数。

（2）对于分数指数幂，该如何运算呢？如？。

提示：，又，可见。

二、新知识

1、给定正数和正整数(且互素)，若存在唯一的正数，使得，则称为的次幂。

记作，这就是正分数指数幂。

例如：，则；，则

注意：

当是正整数时，分数指数幂满足：

与类似，当底数时，，其中读作“次根号下”，也叫根式运算。

例如：，；

根据分数指数幂的定义，分数指数幂的条件是：底数

虽然，但不能写成

例1．把下列各式中的正数写成正分数指数幂的形式：

（1）；        （2）；

（3）；    （4）。

解：（1）；                （2）；

（3）；                （4）

2、类似负整数指数幂的定义，给定，正整数(且互素)，定义

。

至此，指数运算的指数已经扩充到有理数了。

那么，指数是无理数的情况呢？以为例说明如下

因为，所以

上式左边的数称为的不足近似值，右边的数称为的过剩近似值

借助计算器，可算出越来越趋近于同一个数，即

一般的，给定正数，对任意无理数，都是一个确定的实数。

同理

这样，指数运算的指数已经扩充到全体实数了。

注意：

给定一个正数，对任意实数，指数幂都大于0；

0的任意正实数幂都等于0；

0的0指数幂和负实数指数幂都没有意义。

例2．计算：

（1）；     （2）；  （3）。

解：（1）；

（2）；

（3）

思考讨论（综合练习）

（1）计算下列各式：

；    。

（2）用分数指数幂表示下列各式（字母均表示正实数）。

提示：（1） 

。

（2）。

【教学反思】

（1）负数的分数指数幂，在某些情况下是没有意义的，如，但却是有意义的，避免情况过于复杂，所以对分数指数幂的底数统一要求为正数，这也是后面指数函数底数要求为正数的原因。

（2）为了便于指数幂的运算，一般都将根式化成分数指数进行运算，这样便于利用指数运算律进行指数幂的运算。下载本文