一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1．﹣的相反数是（　　）

A．    B．﹣    C．    D．﹣

2．如图是由5个大小相同的小正方体拼成的几何体，下列说法中，正确的是（　　）

A．主视图是轴对称图形    B．左视图是轴对称图形

C．俯视图是轴对称图形    D．三个视图都不是轴对称图形

3．总投资约160亿元，线路全长约29.06km的合肥地铁一号线已于2016年12月31日正式运营，这标志着合肥从此进入了地铁时代，将160亿用科学记数法表示为（　　）

A．160×108    B．16×109    C．1.6×1010    D．1.6×1011

4．如图，直线a∥b，若∠1=50°，∠3=95°，则∠2的度数为（　　）

A．35°    B．40°    C．45°    D．55°

5．下列运算中，正确的是（　　）

A．3x3•2x2=6x6    B．（﹣x2y）2=x4y    C．（2x2）3=6x6    D．x5÷x=2x4

6．蜀山区三月中旬每天平均空气质量指数（AQI）分别为：118，96，60，82，56，69，86，112，108，94，为了描述这十天空气质量的变化情况，最适合用的统计图是（　　）

A．折线统计图    B．频数分布直方图

C．条形统计图    D．扇形统计图

7．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（　　）

A．    B．    C．    D．

8．随着电子商务的发展，越来越多的人选择网上购物，导致各地商铺出租价格持续走低，某商业街的商铺今年1月份的出租价格为a元/平方米，2月份比1月份下降了5%，若3，4月份的出租价格按相同的百分率x继续下降，则4月份该商业街商铺的出租价格为：（　　）

A．（1﹣5%）a（1﹣2x）元    B．（1﹣5%）a（1﹣x）2元    C．（a﹣5%）（a﹣2）x元    D．a（1﹣5%﹣2x）元

9．如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，则下列结论中错误的是（　　）

A．AF=CF

B．∠DCF=∠DFC

C．图中与△AEF相似的三角形共有4个

D．tan∠CAD=

10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=3，点D在BC上且BD=2CD，E，F分别在AB，AC上运动且始终保持∠EDF=45°，设BE=x，CF=y，则y与x之间的函数关系用图象表示为：（　　）

A．    B．    C．    D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11．分解因式：2ab3﹣8ab=　　．

12．在某校“我爱我班”班歌比赛中，有11个班级参加了决赛，各班决赛的最终成绩各不相同，参加了决赛的六班班长想知道自己班级能否获得一等奖（根据比赛规则：最终成绩前5名的班级为一等奖），他不仅要知道自己班级的成绩，还要知道参加决赛的11个班级最终成绩的　　（从“平均数、众数、中位数、方差”中选择答案）

13．A，B两地相距120km．甲、乙两辆汽车同时从A地出发去B地，已知甲车的速度是乙车速度的1.2倍，结果甲车比乙车提前20分钟到达，则甲车的速度是　　km/h．

14．如图，点E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上一点，AC，BD交于点O，且∠EAF=45°，AE，AF分别交对角线BD于点M，N，则有以下结论：①∠AEB=∠AEF=∠ANM；②EF=BE+DF；③△AOM∽△ADF；④S△AEF=2S△AMN

以上结论中，正确的是　　（请把正确结论的序号都填上）

三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

15．计算：﹣2sin45°+||﹣（）﹣2+（）0．

16．用配方法解一元二次方程：x2﹣6x+6=0．

四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

17．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）．

（1）在图中画出将△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后得到的△A1B1C1；

（2）在图中画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2；

（3）在（2）的条件下，计算点A所经过的路径的长度．

18．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A，如图所示依次作正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，…，正方形AnBnCnCn﹣1，使得点A1、A2、A3…An在直线l上，点C1、C2、C3…Cn在y轴正半轴上，请解决下列问题：

（1）点A6的坐标是　　；点B6的坐标是　　；

（2）点An的坐标是　　；正方形AnBnCnCn﹣1的面积是　　．

五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

19．如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C，用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为30°，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E处（C，E，B三点在同一直线上），又测得主教学楼顶端A的仰角为60°，已知测角器CD的高度为1.6米，请计算主教学楼AB的高度．（≈1.73，结果精确到0.1米）

20．合肥市2017年中考的理化生实验操作考试已经顺利结束了，绝大部分同学都取得了满分成绩，某校对九年级20个班级的实验操作考试平均分x进行了分组统计，结果如下表所示：

（2）若用扇形统计图来描述，求第三小组对应的扇形的圆心角度数；

（3）把在第二小组内的两个班分别记为：A1，A2，在第五小组内的三个班分别记为：B1，B2，B3，从第二小组和第五小组总共5个班级中随机抽取2个班级进行“你对中考实验操作考试的看法”的问卷调查，求第二小组至少有1个班级被选中的概率．

六、解答题（满分12分）

21．如图，已知一次函数y=ax+b（a，b为常数，a≠0）的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，且与反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象在第二象限内交于点C，作CD⊥x轴于D，若OA=OD=OB=3．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）观察图象直接写出不等式0＜ax+b≤的解集；

（3）在y轴上是否存在点P，使得△PBC是以BC为一腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

七、解答题（满分12分）

22．如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，CD是⊙O切线，D在AB的延长线上，作AE⊥CD于E．

（1）求证：AC平分∠BAE；

（2）若AC=2CE=6，求⊙O的半径；

（3）请探索：线段AD，BD，CD之间有何数量关系？请证明你的结论．

八、解答题

23．在2016年巴西里约奥运会上，中国女排克服重重困难，凭借顽强的毅力和超强的实力先后战胜了实力同样超强的巴西队，荷兰队和塞尔维亚队，获得了奥运冠军，为祖国和人民争了光．

如图，已知女排球场的长度OD为18米，位于球场中线处的球网AB的高度为2.24米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方2米的C点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点O的水平距离OE为6米时，到达最高点F，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）当排球运行的最大高度为2.8米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的函数关系式．

（2）在（1）的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由．

（3）喜欢打排球的李明同学经研究后发现，发球要想过网，球运行的最大高度h（米）应满足h＞2.32，但是他不知道如何确定h的取值范围，使排球不会出界（排球压线属于没出界），请你帮忙解决并指出使球既能过网又不会出界的h的取值范围．

2017年安徽省合肥市蜀山区中考数学一模试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1．﹣的相反数是（　　）

A．    B．﹣    C．    D．﹣

【考点】相反数．

【分析】根据相反数的定义，可以得知负数的相反数为负，绝对值没变，此题得解．

【解答】解：﹣（﹣）=，

故选A．

2．如图是由5个大小相同的小正方体拼成的几何体，下列说法中，正确的是（　　）

A．主视图是轴对称图形    B．左视图是轴对称图形

C．俯视图是轴对称图形    D．三个视图都不是轴对称图形

【考点】简单组合体的三视图；轴对称图形．

【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，再根据轴对称图形的定义可得答案．

【解答】解：如图所示：左视图是轴对称图形．

故选：B．

3．总投资约160亿元，线路全长约29.06km的合肥地铁一号线已于2016年12月31日正式运营，这标志着合肥从此进入了地铁时代，将160亿用科学记数法表示为（　　）

A．160×108    B．16×109    C．1.6×1010    D．1.6×1011

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将160亿用科学记数法表示为：1.6×1010．

故选：C．

4．如图，直线a∥b，若∠1=50°，∠3=95°，则∠2的度数为（　　）

A．35°    B．40°    C．45°    D．55°

【考点】平行线的性质．

【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得到∠4的度数，再根据平行线的性质，即可得出∠2的度数．

【解答】解：根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+∠4，

∴∠4=∠3﹣∠1=95°﹣50°=45°，

∵a∥b，

∴∠2=∠4=45°．

故选：C．

5．下列运算中，正确的是（　　）

A．3x3•2x2=6x6    B．（﹣x2y）2=x4y    C．（2x2）3=6x6    D．x5÷x=2x4

【考点】整式的除法；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．

【分析】根据整式的除法，幂的乘方与积的乘方，以及单项式乘单项式的方法，逐项判定即可．

【解答】解：A、3x3•2x2=6x5，故选项错误；

 B、（﹣x2y）2=x4y2，故选项错误；

C、（2x2）3=8x6，故选项错误；

D、x5÷x=2x4，故选项正确．

故选：D．

6．蜀山区三月中旬每天平均空气质量指数（AQI）分别为：118，96，60，82，56，69，86，112，108，94，为了描述这十天空气质量的变化情况，最适合用的统计图是（　　）

A．折线统计图    B．频数分布直方图

C．条形统计图    D．扇形统计图

【考点】统计图的选择．

【分析】根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．

【解答】解：这七天空气质量变化情况最适合用折线统计图，

故选：A．

7．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】相似三角形的判定与性质．

【分析】证明BE：EC=1：3，进而证明BE：BC=1：4；证明△DOE∽△AOC，得到=，借助相似三角形的性质即可解决问题．

【解答】解：∵S△BDE：S△CDE=1：3，

∴BE：EC=1：3；

∴BE：BC=1：4；

∵DE∥AC，

∴△DOE∽△AOC，

∴=，

∴S△DOE：S△AOC==，

故选D．

8．随着电子商务的发展，越来越多的人选择网上购物，导致各地商铺出租价格持续走低，某商业街的商铺今年1月份的出租价格为a元/平方米，2月份比1月份下降了5%，若3，4月份的出租价格按相同的百分率x继续下降，则4月份该商业街商铺的出租价格为：（　　）

A．（1﹣5%）a（1﹣2x）元    B．（1﹣5%）a（1﹣x）2元    C．（a﹣5%）（a﹣2）x元    D．a（1﹣5%﹣2x）元

【考点】列代数式．

【分析】根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），二月份的价格为a（1﹣5%），3，4每次降价的百分率都为x，后经过两次降价，则为（1﹣5%）a（1﹣x）2．

【解答】解：由题意得，4月份该商业街商铺的出租价格为（1﹣5%）a（1﹣x）2元

故选B．

9．如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，则下列结论中错误的是（　　）

A．AF=CF

B．∠DCF=∠DFC

C．图中与△AEF相似的三角形共有4个

D．tan∠CAD=

【考点】相似三角形的判定；矩形的性质；解直角三角形．

【分析】由AE=AD=BC，又AD∥BC，所以==，故A正确，不符合题意；

过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B正确，不符合题意；

根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；

由△BAE∽△ADC，得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求tan∠CAD的值，故D错误，符合题意．

【解答】解：A、∵AD∥BC，

∴△AEF∽△CBF，

∴=，

∵AE=AD=BC，

∴=，故A正确，不符合题意；

B、过D作DM∥BE交AC于N，

∵DE∥BM，BE∥DM，

∴四边形BMDE是平行四边形，

∴BM=DE=BC，

∴BM=CM，

∴CN=NF，

∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，

∴DN⊥CF，

∴DF=DC，

∴∠DCF=∠DFC，故B正确，不符合题意；

C、图中与△AEF相似的三角形有△ACD，△BAF，△CBF，△CAB，共有4个，故C正确，不符合题意；

D、设AD=a，AB=b由△BAE∽△ADC，有=．

∵tan∠CAD===，

故D错误，符合题意．

故选D．

10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=3，点D在BC上且BD=2CD，E，F分别在AB，AC上运动且始终保持∠EDF=45°，设BE=x，CF=y，则y与x之间的函数关系用图象表示为：（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】动点问题的函数图象．

【分析】根据等边对等角得出∠B=∠C，再证明∠BED=∠CDF=135°﹣∠BDE，那么△BED∽△CDF，根据相似三角形对应边成比例求出y与x的函数关系式，结合函数值的取值范围即可求解．

【解答】解：∵∠BAC=90°，AB=AC=3，

∴∠B=∠C=45°，BC=3．

∴∠BDE+∠BED=180°﹣∠B=135°，

∵∠EDF=45°，

∴∠BDE+∠CDF=180°﹣∠EDF=135°，

∴∠BED=∠CDF，

∴△BED∽△CDF，

∴=．

∵BD=2CD，

∴BD=BC=2，CD=BC=，

∴=，

∴y=，故B、C错误；

∵E，F分别在AB，AC上运动，

∴0＜x≤3，0＜y≤3，故A错误．

故选D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11．分解因式：2ab3﹣8ab=　2ab（b+2）（b﹣2）　．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．

【解答】解：原式=2ab（b2﹣4）=2ab（b+2）（b﹣2），

故答案为：2ab（b+2）（b﹣2）

12．在某校“我爱我班”班歌比赛中，有11个班级参加了决赛，各班决赛的最终成绩各不相同，参加了决赛的六班班长想知道自己班级能否获得一等奖（根据比赛规则：最终成绩前5名的班级为一等奖），他不仅要知道自己班级的成绩，还要知道参加决赛的11个班级最终成绩的　中位数　（从“平均数、众数、中位数、方差”中选择答案）

【考点】统计量的选择．

【分析】根据题意和平均数、众数、中位数、方差的含义可以解答本题．

【解答】解：由题意可得，

11个班级中取前5名，

故只要知道参加决赛的11个班级最终成绩的中位数即可，

故答案为：中位数．

13．A，B两地相距120km．甲、乙两辆汽车同时从A地出发去B地，已知甲车的速度是乙车速度的1.2倍，结果甲车比乙车提前20分钟到达，则甲车的速度是　72　km/h．

【考点】分式方程的应用．

【分析】根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题，注意分式方程要检验．

【解答】解：设乙车的速度为xkm/h，

，

解得，x=60，

经检验x=60是原分式方程的根，

∴1.2x=1.2×60=72，

故答案为：72．

14．如图，点E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上一点，AC，BD交于点O，且∠EAF=45°，AE，AF分别交对角线BD于点M，N，则有以下结论：①∠AEB=∠AEF=∠ANM；②EF=BE+DF；③△AOM∽△ADF；④S△AEF=2S△AMN

以上结论中，正确的是　①②③④　（请把正确结论的序号都填上）

【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．

【分析】如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，由旋转的性质得，BH=DF，AH=AF，∠BAH=∠DAF，由已知条件得到∠EAH=∠EAF=45°，根据全等三角形的性质得到EH=EF，∴∠AEB=∠AEF，求得BE+BH=BE+DF=EF，故②正确；根据三角形的外角的性质得到∠ANM=∠AEB，于是得到∠AEB=∠AEF=∠ANM；故①正确；根据相似三角形的判定定理得到△OAM∽△DAF，故③正确；由△AMN∽△BME，得到，推出△AMB∽△NME，根据相似三角形的性质得到∠AEN=∠ABD=45°，推出△AEN是等腰直角三角形，根据勾股定理得到AE=AN，根据相似三角形的性质得到EF=MN，于是得到S△AEF=2S△AMN故④正确．

【解答】解：如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，

由旋转的性质得，BH=DF，AH=AF，∠BAH=∠DAF，

∵∠EAF=45°，

∴∠EAH=∠BAH+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°﹣∠EAF=45°，

∴∠EAH=∠EAF=45°，

在△AEF和△AEH中，

，

∴△AEF≌△AEH（SAS），

∴EH=EF，

∴∠AEB=∠AEF，

∴BE+BH=BE+DF=EF，故②正确；

∵∠ANM=∠ADB+∠DAN=45°+∠DAN，

∠AEB=90°﹣∠BAE=90°﹣（∠HAE﹣∠BAH）=90°﹣（45°﹣∠BAH）=45°+∠BAH，

∴∠ANM=∠AEB，

∴∠AEB=∠AEF=∠ANM；故①正确；

∵AC⊥BD，

∴∠AOM=∠ADF=90°，

∵∠MAO=45°﹣∠NAO，∠DAF=45°﹣∠NAO，

∴△OAM∽△DAF，故③正确；

连接NE，

∵∠MAN=∠MBE=45°，∠AMN=∠BME，

∴△AMN∽△BME，

∴，

∴，∵∠AMB=∠EMN，

∴△AMB∽△NME，

∴∠AEN=∠ABD=45°，

∵∠EAN=45°，

∴∠NAE=∠NEA=45°，

∴△AEN是等腰直角三角形，

∴AE=AN，

∵△AMN∽△BME，△AFE∽△BME，

∴△AMN∽△AFE，

∴=，

∴EF=MN，

∵AB=AO，

∴S△AEF=S△AHE=HE•AB=EF•AB=MNAO=2×MN•AO=2S△AMN．故④正确．

故答案为：①②③④．

三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

15．计算：﹣2sin45°+||﹣（）﹣2+（）0．

【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

【分析】原式利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，以及零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果．

【解答】解：原式=2﹣2×+2﹣﹣4+1=﹣1．

16．用配方法解一元二次方程：x2﹣6x+6=0．

【考点】解一元二次方程﹣配方法．

【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式，再开方即可得．

【解答】解：∵x2﹣6x=﹣6，

∴x2﹣6x+9=﹣6+9，即（x﹣3）2=3，

则x﹣3=±，

∴x=3．

四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

17．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）．

（1）在图中画出将△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后得到的△A1B1C1；

（2）在图中画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2；

（3）在（2）的条件下，计算点A所经过的路径的长度．

【考点】作图﹣旋转变换；轨迹；作图﹣平移变换．

【分析】（1）利用点平移的坐标规律写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；

（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2；

（3）先计算出OA，然后利用弧长公式计算．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；

（2）如图，△A2B2C2为所作；

（3）OA==2，

所以点A所经过的路径的长度==π．

18．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A，如图所示依次作正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，…，正方形AnBnCnCn﹣1，使得点A1、A2、A3…An在直线l上，点C1、C2、C3…Cn在y轴正半轴上，请解决下列问题：

（1）点A6的坐标是　A6（32，31）　；点B6的坐标是　（32，63）　；

（2）点An的坐标是　（2n﹣1，2n﹣1）　；正方形AnBnCnCn﹣1的面积是　22n﹣2　．

【考点】一次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．

【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征找出A1、A2、A3、A4的坐标，结合图形即可得知点Bn是线段CnAn+1的中点，由此即可得出点Bn的坐标，然后根据正方形的面积公式即可得到结论．

【解答】解：（1）观察，发现：A1（1，0），A2（2，1），A3（4，3），A4（8，7），A5（16，15），A6（32，31），…，

∴An（2n﹣1，2n﹣1﹣1）（n为正整数）．

观察图形可知：点Bn是线段CnAn+1的中点，

∴点Bn的坐标是（2n﹣1，2n﹣1），

∴B6的坐标是（32，63）；

故答案为：（32，31），（32，63）；

（2）由（1）得An（2n﹣1，2n﹣1﹣1）（n为正整数），

∴正方形AnBnCnCn﹣1的面积是（2n﹣1）2=22n﹣2，

故答案为：（2n﹣1，2n﹣1）（n为正整数）．

五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

19．如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C，用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为30°，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E处（C，E，B三点在同一直线上），又测得主教学楼顶端A的仰角为60°，已知测角器CD的高度为1.6米，请计算主教学楼AB的高度．（≈1.73，结果精确到0.1米）

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【分析】利用60°的正切值可表示出FG长，进而利用∠ACG的正切函数求AG长，加上1.6m即为主教学楼的高度AB．

【解答】解：在Rt△AFG中，tan∠AFG=，

∴FG==，

在Rt△ACG中，tan∠ACG=，

∴CG==AG．

又∵CG﹣FG=24m，

即AG﹣=24m，

∴AG=12m，

∴AB=12+1.6≈22.4m．

20．合肥市2017年中考的理化生实验操作考试已经顺利结束了，绝大部分同学都取得了满分成绩，某校对九年级20个班级的实验操作考试平均分x进行了分组统计，结果如下表所示：

（2）若用扇形统计图来描述，求第三小组对应的扇形的圆心角度数；

（3）把在第二小组内的两个班分别记为：A1，A2，在第五小组内的三个班分别记为：B1，B2，B3，从第二小组和第五小组总共5个班级中随机抽取2个班级进行“你对中考实验操作考试的看法”的问卷调查，求第二小组至少有1个班级被选中的概率．

【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；扇形统计图．

【分析】（1）由总班数20﹣1﹣2﹣8﹣3即可求出a的值；

（2）由（1）求出的a值，即可求出第三小组对应的扇形的圆心角度数；

（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与第二小组至少有1个班级被选中的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：

（1）a=20﹣1﹣2﹣8﹣3=6；

（2）第三小组对应的扇形的圆心角度数=×360°=108°；

（3）画树状图得：

由树状图可知共有20种可能情况，其中第二小组至少有1个班级被选中的情况数有14种，

所以第二小组至少有1个班级被选中的概率==．

六、解答题（满分12分）

21．如图，已知一次函数y=ax+b（a，b为常数，a≠0）的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，且与反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象在第二象限内交于点C，作CD⊥x轴于D，若OA=OD=OB=3．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）观察图象直接写出不等式0＜ax+b≤的解集；

（3）在y轴上是否存在点P，使得△PBC是以BC为一腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

【考点】反比例函数综合题．

【分析】（1）由平行线分线段成比例可求得CD的长，则可求得A、B、C、的坐标，再利用待定系数法可求得函数解析式；

（2）由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围，结合函数图象可求得答案；

（3）由B、C的坐标可求得BC的长，当BC=BP时，则可求得P点坐标，当BC=PC时，可知点C在线段BP的垂直平分线上，则可求得BP的中点坐标，可求得P点坐标．

【解答】解：

（1）∵CD⊥OA，

∴DC∥OB，

∴===，

∴CD=2OB=8，

∵OA=OD=OB=3，

∴A（3，0），B（0，4），C（﹣3，8），

把A、B两点的坐标分别代入y=ax+b可得，解得，

∴一次函数解析式为y=﹣x+4，

∵反比例函数y=的图象经过点C，

∴k=﹣24，

∴反比例函数的解析式为y=﹣；

（2）由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围，

即线段AC（包含A点，不包含C点）所对应的自变量x的取值范围，

∵C（﹣3，8），

∴0＜﹣x+4≤﹣的解集为﹣3≤x＜0；

（3）∵B（0，4），C（﹣3，8），

∴BC=5，

∵△PBC是以BC为一腰的等腰三角形，

∴有BC=BP或BC=PC两种情况，

①当BC=BP时，即BP=5，

∴OP=BP+OB=4+5=9，或OP=BP﹣PB=5﹣4=1，

∴P点坐标为（0，9）或（0，﹣1）；

②当BC=PC时，则点C在线段BP的垂直平分线上，

∴线段BP的中点坐标为（0，8），

∴P点坐标为（0，12）；

综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（0，﹣1）或（0，9）或（0，12）．

七、解答题（满分12分）

22．如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，CD是⊙O切线，D在AB的延长线上，作AE⊥CD于E．

（1）求证：AC平分∠BAE；

（2）若AC=2CE=6，求⊙O的半径；

（3）请探索：线段AD，BD，CD之间有何数量关系？请证明你的结论．

【考点】切线的性质．

【分析】（1）连接OC，由CD是⊙O切线，得到OC⊥CD，根据平行线的性质得到∠EAC=∠ACO，有等腰三角形的性质得到∠CAO=∠ACO，于是得到结论；

（2）连接BC，由三角函数的定义得到sin∠CAE==，得到∠CAE=30°，于是得到∠CAB=∠CAE=30°，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，解直角三角形即可得到结论；

（3）根据余角的性质得到∠DCB=∠ACO根据相似三角形的性质得到结论．

【解答】（1）证明：连接OC，

∵CD是⊙O切线，

∴OC⊥CD，

∵AE⊥CD，

∴OC∥AE，

∴∠EAC=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠CAO=∠ACO，

∴∠EAC=∠A=CAO，

即AC平分∠BAE；

（2）解：连接BC，

∵AE⊥CE，AC=2CE=6，

∴sin∠CAE==，

∴∠CAE=30°，

∴∠CAB=∠CAE=30°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴cos∠CAB==，

∴AB=4，

∴⊙O的半径是2；

（3）CD2=BD•AD，

证明：∵∠DCB+∠BCO=90°，∠ACO+∠BCO=90°，

∴∠DCB=∠ACO，

∴∠DCB=∠ACO=∠CAD，

∵∠D=∠D，

∴△BCD∽△CAD，

∴，

即CD2=BD•AD．

八、解答题

23．在2016年巴西里约奥运会上，中国女排克服重重困难，凭借顽强的毅力和超强的实力先后战胜了实力同样超强的巴西队，荷兰队和塞尔维亚队，获得了奥运冠军，为祖国和人民争了光．

如图，已知女排球场的长度OD为18米，位于球场中线处的球网AB的高度为2.24米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方2米的C点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点O的水平距离OE为6米时，到达最高点F，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）当排球运行的最大高度为2.8米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的函数关系式．

（2）在（1）的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由．

（3）喜欢打排球的李明同学经研究后发现，发球要想过网，球运行的最大高度h（米）应满足h＞2.32，但是他不知道如何确定h的取值范围，使排球不会出界（排球压线属于没出界），请你帮忙解决并指出使球既能过网又不会出界的h的取值范围．

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）利用抛物线的顶点F的坐标为（6，2.8），将点（0，2）代入解析式求出即可；

（2）利用当x=9时，y=﹣（x﹣6）2+2.8=2.6，当y=0时，﹣（x﹣6）2+2.8=﹣0.4，分别得出即可；

（3）设抛物线解析式为y=a（x﹣6）2+h，由点C（0，2）得解析式为y=（x﹣6）2+h，再依据x=18时y≤0即可得h的范围．

【解答】解：（1）由题意可得抛物线的顶点F的坐标为（6，2.8），

设抛物线的解析式为y=a（x﹣6）2+2.8，

将点C（0，2）代入，得：36a+2.8=2，

解得：a=﹣，

∴y=﹣（x﹣6）2+2.8；

（2）当x=9时，y=﹣（9﹣6）2+2.8=2.6＞2.24，

当x=18时，y=﹣（18﹣6）2+2.8=﹣0.4＜0，

∴这次发球可以过网且不出边界；

（3）设抛物线解析式为y=a（x﹣6）2+h，

将点C（0，2）代入，得：36a+h=2，即a=，

∴此时抛物线解析式为y=（x﹣6）2+h，

根据题意，得： +h≤0，

解得：h≥，

又∵h＞2.32，

∴h≥

答：球既能过网又不会出界的h的取值范围是h≥．

2017年4月21日下载本文