一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（5分）已知集合，，，那么
A．， B．， C．，0， D．，，0，
2．（5分）方程组的解集是
A．， B．，
C．， D．，
3．（5分）函数的定义域是
A．， B． C．，， D．，，
4．（5分）下列四个函数中，在上单调递减的是
A． B． C． D．
5．（5分）设，，，则，，的大小关系为
A． B． C． D．
6．（5分）若，，则一定有
A． B． C． D．
7．（5分）设，．则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（5分）某种药物的含量在病人血液中以每小时的比例递减．现医生为某病人注射了该药物，那么小时后病人血液中这种药物的含量为
A． B．
C． D．
9．（5分）如图，向量等于
A． B． C． D．
10．（5分）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为，观影人数记为，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后与的函数图象．
给出下列四种说法：
①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；
②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；
③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；
④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．
其中，正确的说法是
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）已知方程的两根为和，则 ．
12．（4分）已知向量，，其中．若，共线，则 ．
13．（4分）已知函数．若正数，满足，则（a）（b） ．
14．（4分）函数的零点个数是 ；满足的的取值范围是 ．
15．（4分）已知集合，，其中．
①集合 ；
②若，都有或，则的取值范围是 ．
16．（4分）给定函数，设集合，．若对于，，使得成立，则称函数具有性质．给出下列三个函数：
①； ②； ③．
其中，具有性质的函数的序号是 ．
三、解答题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．（12分）某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．
（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？
（Ⅱ）从这5人中随机抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．
18．（12分）在直角坐标系中，记函数的图象为曲线，函数的图象为曲线．
（Ⅰ）比较（2）和1的大小，并说明理由；
（Ⅱ）当曲线在直线的下方时，求的取值范围；
（Ⅲ）证明：曲线和没有交点．
19．（13分）根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分布情况如图所示．
假设每名队员每次射击相互．
（Ⅰ）求图中的值；
（Ⅱ）队员甲进行2次射击．用频率估计概率，求甲恰有1次中靶环数大于7的概率；
（Ⅲ）在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明）
20．（13分）已知函数．
（Ⅰ）证明：为偶函数；
（Ⅱ）用定义证明：是上的减函数；
（Ⅲ）当，时，求的值域．
21．（13分）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本（单位：万元）与生产量（单位：千件）间的函数关系是；销售收入（单位：万元）与生产量间的函数关系是
（Ⅰ）把商品的利润表示为生产量的函数；
（Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？
22．（13分）设函数其中，是非空数集．记，，，．
（Ⅰ）若，，，求；
（Ⅱ）若，且是定义在上的增函数，求集合，；
（Ⅲ）判断命题“若，则”的真假，并加以证明．
2019-2020学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷
参与试题解析
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（5分）已知集合，，，那么
A．， B．， C．，0， D．，，0，
【解答】解：集合，，，
，0，．
故选：．
2．（5分）方程组的解集是
A．， B．，
C．， D．，
【解答】解：记，由①得：③，将③代入②得，解得，
当时，，当时，，
故原方程组的解集为，，
故选：．
3．（5分）函数的定义域是
A．， B． C．，， D．，，
【解答】解：依题意，，解得且，即函数的定义域为，，，
故选：．
4．（5分）下列四个函数中，在上单调递减的是
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，为一次函数，在上单调递增，不符合题意；
对于，，为二次函数，在上单调递增，不符合题意；
对于，，为指数函数，在上单调递增，不符合题意；
对于，，为对数函数，在上单调递减，符合题意；
故选：．
5．（5分）设，，，则，，的大小关系为
A． B． C． D．
【解答】解：，，
，，
，，
，
故选：．
6．（5分）若，，则一定有
A． B． C． D．
【解答】解：若，，则：
，故，
故错误，正确；
与的大小无法确定，
故，错误；
故选：．
7．（5分）设，．则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若，取，，则，则“”是“”不充分条件；
若，取，，则，则“”是‘”不必要条件；
则，．“”是“”的既不充分也不必要条件，
故选：．
8．（5分）某种药物的含量在病人血液中以每小时的比例递减．现医生为某病人注射了该药物，那么小时后病人血液中这种药物的含量为
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意知，该种药物在血液中以每小时的比例递减，给某病人注射了该药物，经过个小时后，
药物在病人血液中的量为，
即与的关系式为．
故选：．
9．（5分）如图，向量等于
A． B． C． D．
【解答】解：如图，设，
．
故选：．
10．（5分）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为，观影人数记为，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后与的函数图象．
给出下列四种说法：
①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；
②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；
③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；
④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．
其中，正确的说法是
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【解答】解：由图可知，点纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，
故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即②对；图（3）成本保持不变，但提高了票价，即③对；
故选：．
二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）已知方程的两根为和，则 14 ．
【解答】解：方程的两根为和，
，，
，
故答案为：14．
12．（4分）已知向量，，其中．若，共线，则 ．
【解答】解：共线，
，
，，
．
故答案为：．
13．（4分）已知函数．若正数，满足，则（a）（b） ．
【解答】解：正数，满足，，
则（a）（b）．
故答案为：．
14．（4分）函数的零点个数是 2 ；满足的的取值范围是 ．
【解答】解：函数
可得时，，解得；
时，，解得，
函数的零点有2个．
满足，可得，解得．
，解得．
故答案为：2；，，．
15．（4分）已知集合，，其中．
①集合 ；
②若，都有或，则的取值范围是 ．
【解答】解：①集合或，
；
②对，都有或，，
集合或，，
，
的取值范围是：，，
故答案为：，，．
16．（4分）给定函数，设集合，．若对于，，使得成立，则称函数具有性质．给出下列三个函数：
①； ②； ③．
其中，具有性质的函数的序号是 ①③ ．
【解答】解：对①，，，，，，，显然对于，，使得成立，即具有性质；
对②，，，当时，不存在，使得成立，即不具有性质；
对③，，，显然对于，，使得成立，即具有性质；
故答案为：①③．
三、解答题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．（12分）某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．
（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？
（Ⅱ）从这5人中随机抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．
【解答】解：（Ⅰ）这5人中男生人数为，女生人数为．
（Ⅱ）记这5人中的3名男生为，，，2名女生为，，
则样本空间为：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
样本空间中，共包含10个样本点．
设事件为“抽取的2人中恰有1名女生”，
则，，，，，，，，，，，，
事件共包含6个样本点．从而．
所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为．
18．（12分）在直角坐标系中，记函数的图象为曲线，函数的图象为曲线．
（Ⅰ）比较（2）和1的大小，并说明理由；
（Ⅱ）当曲线在直线的下方时，求的取值范围；
（Ⅲ）证明：曲线和没有交点．
【解答】解：（Ⅰ）因为，
又函数是上的增函数，
所以（2）．
（Ⅱ）因为“曲线在直线的下方”等价于“”，
所以．
因为 函数是上的增函数，
所以，
即，
所以的取值范围是，．
（Ⅲ）因为有意义当且仅当，
解得．
所以的定义域为．
有意义当且仅当，
解得．
所以的定义域为，．
因为，
所以曲线和没有交点．
19．（13分）根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分布情况如图所示．
假设每名队员每次射击相互．
（Ⅰ）求图中的值；
（Ⅱ）队员甲进行2次射击．用频率估计概率，求甲恰有1次中靶环数大于7的概率；
（Ⅲ）在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明）
【解答】解：（Ⅰ）由图可得，
所以．
（Ⅱ）设事件为“队员甲进行1次射击，中靶环数大于7”．
则事件包含三个两两互斥的事件：中靶环数为8，9，10，
所以（A）．
设事件为“队员甲第次射击，中靶环数大于7”，其中，2，
则．
设事件为“队员甲进行2次射击，恰有1次中靶环数大于7”．
则，，．
所以．
所以，甲恰有1次中靶环数大于7的概率为．
（Ⅲ）队员甲的射击成绩更稳定．
20．（13分）已知函数．
（Ⅰ）证明：为偶函数；
（Ⅱ）用定义证明：是上的减函数；
（Ⅲ）当，时，求的值域．
【解答】解：（Ⅰ）证明：根据题意，，则的定义域为，且；
对于任意，因为，
所以为偶函数．
（Ⅱ）当时，，
任取，，且，
那么；
因为，所以，，
从而，即．
所以是上的减函数；
（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）得，在，上单调递增，
又由，，
则有；
所以当，时，的值域是．
21．（13分）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本（单位：万元）与生产量（单位：千件）间的函数关系是；销售收入（单位：万元）与生产量间的函数关系是
（Ⅰ）把商品的利润表示为生产量的函数；
（Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？
【解答】解：（Ⅰ）设商品的利润为（万元），
依题意得．
（Ⅱ）当时，．
所以
．
当且仅当，即时取等号，
所以，当时，有最大值6（万元）．
当时，．
综上，当时，取得最大值6（万元）．
因此，当生产量确定为5千件时，商品的利润取得最大值6万元．
22．（13分）设函数其中，是非空数集．记，，，．
（Ⅰ）若，，，求；
（Ⅱ）若，且是定义在上的增函数，求集合，；
（Ⅲ）判断命题“若，则”的真假，并加以证明．
【解答】解：（Ⅰ）因为，，，
所以，，，，
所以，．
（Ⅱ）因为是定义在上的增函数，且，
所以当时，，
所以． 同理可证．
因为，
所以，，，．
（Ⅲ）该命题为真命题．证明如下：
假设存在非空数集，，且，但．
首先证明．否则，若，则，且，
则，且，
即，这与矛盾．
若，且，则，且，
所以，且．
因为，
所以，且．
所以，且．
所以，且，
根据函数的定义，必有，即，这与矛盾．
综上，该命题为真命题．
纯公益资料，欢迎用于学术研讨，禁止用于任何的商业模式下载本文
