典型例题一

例1  若，证明（且）．

分析1  用作差法来证明．需分为和两种情况，去掉绝对值符号，然后比较法证明．

解法1 （1）当时，

因为，

所以 

．

（2）当时，

因为 

所以 

   ．

综合（1）（2）知．

分析2  直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号．

解法2  作差比较法．

因为 

，

所以．

说明：解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快．

典型例题二

例2  设，求证： 

分析：发现作差后变形、判断符号较为困难．考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式．

证明： 

∵，∴

∴.  ∴

又∵，

∴.

说明：本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小.

典型例题三

例3 对于任意实数、，求证（当且仅当时取等号）

分析 这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有，展开后很复杂。若使用综合法，从重要不等式：出发，再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。

证明：∵（当且仅当时取等号）

两边同加，

即：                  （1）

又：∵  （当且仅当时取等号）

两边同加

    ∴ 

∴                 （2）

由（1）和（2）可得（当且仅当时取等号）．

说明：此题参考用综合法证明不等式．综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明，要注意均值不等式的变形应用，一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来解．

典型例题四

例4 已知、、，，求证

分析 显然这个题用比较法是不易证出的。若把通分，则会把不等式变得较复杂而不易得到证明．由于右边是一个常数，故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的形式，比如，再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径，这也常称为“凑倒数”的技巧．

证明：∵

∴ 

∵，同理：，。

∴ 

说明：此题考查了变形应用综合法证明不等式．题目中用到了“凑倒数”，这种技巧在很多不等式证明中都可应用，但有时要首先对代数式进行适当变形，以期达到可以“凑倒数”的目的．

典型例题五

例５ 已知，求证：＞0.

分析：此题直接入手不容易，考虑用分析法来证明，由于分析法的过程可以用综合法来书写，所以此题用两种方法来书写证明过程.

证明一：(分析法书写过程)

为了证明＞0

只需要证明＞

∵

∴

∴＞0

∴＞成立

∴＞0成立

证明二：(综合法书写过程)

∵∴

∴＞  ＞0

∴＞成立

∴＞0成立

说明：学会分析法入手，综合法书写证明过程，但有时这两种方法经常混在一起应用，混合应用时，应用语言叙述清楚.

典型例题六

例6  若，且，求证：

分析 这个不等式从形式上不易看出其规律性，与我们掌握的定理和重要的结论也没有什么直接的联系，所以可以采用分析的方法来寻找证明途径．但用“分析”法证不等式，要有严格的格式，即每一步推出的都是上一步的充分条件，直到推出的条件是明显成立的（已知条件或某些定理等）．

证明：为要证

只需证，

即证，

也就是，

即证，

即证，

∵，

∴，故即有，

又 由可得成立，

∴ 所求不等式成立．

    说明：此题考查了用分析法证明不等式．在题目中分析法和综合法是综合运用的，要注意在书写时，分析法的书写过程应该是：“欲证……需证……”，综合法的书写过程是：“因为（∵）……所以（∴）……”，即使在一个题目中是边分析边说明也应该注意不要弄混．

典型例题七

例7 若，求证．

分析：本题结论的反面比原结论更具体、更简、宜用反证法．

证法一：假设，则，

而，故．

∴．从而，

∴．

∴．

∴．

这与假设矛盾，故．

证法二：假设，则，

故，即，即，

这不可能．从而．

证法三：假设，则．

由，得，故．

又，

∴．

∴，即．

这不可能，故．

说明：本题三种方法均采用反证法，有的推至与已知矛盾，有的推至与已知事实矛盾．

一般说来，结论中出现“至少”“至多”“唯一”等字句，或结论以否定语句出现，或结论肯定“过头”时，都可以考虑用反证法．

典型例题八

例8 设、为正数，求证．

分析：用综合法证明比较困难，可试用分析法．

证明：要证，只需证，

即证，

化简得，．

∵，

∴．

∴．

∴原不等式成立．

说明：1．本题证明易出现以下错误证法：，，然后分(1)；(2)；(3)且；(4)且来讨论，结果无效．

2．用分析法证明数学问题，要求相邻两步的关系是，前一步是后一步的必要条件，后一步是前一步的充分条件，当然相互为充要条件也可以．

典型例题九

例9 已知，求证．

分析：联想三角函数知识，进行三角换元，然后利用三角函数的值域进行证明．

证明：从条件看，可用三角代换，但需要引入半径参数．

∵，

∴可设，，其中．

∴．

由，故．

而，，故．

说明：1．三角代换是最常见的变量代换，当条件为或或时，均可用三角代换．2．用换元法一定要注意新元的范围，否则所证不等式的变量和取值的变化会影响其结果的正确性．

典型例题十

例10 设是正整数，求证．

分析：要求一个项分式的范围，它的和又求不出来，可以采用“化整为零”的方法，观察每一项的范围，再求整体的范围．

证明：由，得．

当时，；

当时， 

……

当时，．

∴．

说明：1、用放缩法证明不等式，放缩要适应，否则会走入困境．例如证明．由，如果从第3项开始放缩，正好可证明；如果从第2项放缩，可得小于2．当放缩方式不同，结果也在变化．

2、放缩法一般包括：用缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值缩小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求，第一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩后便于求和．

典型例题十一

例11 已知，求证：．

分析：欲证不等式看起来较为“复杂”，宜将它化为较“简单”的形式，因而用分析法证明较好．

证明：欲证，

只须证．

即要证，

即要证．

即要证，

即要证．

即要证，即．

即要证　　　（*）

∵，∴（*）显然成立，

故

说明：分析法证明不等式，实质上是寻求结论成立的一个充分条件．分析法通常采用“欲证——只要证——即证——已知”的格式．

典型例题十二

例12 如果，， ，求证：．

分析：注意到不等式左边各字母在项中的分布处于分离状态，而右边却结合在一起，因而要寻求一个熟知的不等式具有这种转换功能（保持两边项数相同），由，易得，此式的外形特征符合要求，因此，我们用如下的结合法证明．

证明：∵

　　　　　　　　　    ．

∴．

说明：分析时也可以认为是连续应用基本不等式而得到的．左右两边都是三项，实质上是公式的连续使用．

如果原题限定，， ，则不等式可作如下变形：进一步可得到：．

显然其证明过程仍然可套用原题的思路，但比原题要难，因为发现思路还要有一个转化的过程．

典型例题十三

例13 已知，，，求证：在三数中，不可能都大于．

分析：此命题的形式为否定式，宜采用反证法证明．假设命题不成立，则三数都大于，从这个结论出发，进一步去导出矛盾．

证明：假设三数都大于，

即，，．

又∵，，，

∴，，．

∴　　　①

又∵，，．

以上三式相加，即得：

　　②

显然①与②相矛盾，假设不成立，故命题获证．

说明：一般情况下，如果命题中有“至多”、“至少”、“都”等字样，通常情况下要用反证法，反证法的关键在于“归谬”，同时，在反证法的证明过程中，也贯穿了分析法和综合法的解题思想．

典型例题十四

例14 已知、、都是正数，求证：．

分析：用分析法去找一找证题的突破口．要证原不等式，只需证，即只需证．把变为，问题就解决了．或有分析法的途径，也很容易用综合法的形式写出证明过程．

证法一：要证，

只需证，

即，移项，得．

由、、为正数，得．

∴原不等式成立．

证法二：∵、、为正数，

．

即，故．

，

．

说明：题中给出的，，，，只因为、、都是正数，形式同算术平均数与几何平均数定理一样，不加分析就用算术平均数与几何平均数定理来求证，问题就不好解决了．

原不等式中是用“不大于”连结，应该知道取等号的条件，本题当且仅当时取“＝”号．证明不等式不论采用何种方法，仅仅是一个手段或形式问题，我们必须掌握证题的关键．本题的关键是证明．

典型例题十五

例15 已知，，且．求证：．

分析：记，欲证，联想到正、余弦函数的值域，本题采用三角换元，借助三角函数的变换手段将很方便，由条件，可换元，围绕公式来进行．

证明：令，，且，

则

∵，∴，即成立．

说明：换元的思想随处可见，这里用的是三角代换法，这种代换如能将其几何意义挖掘出来，对代换实质的认识将会深刻得多，常用的换元法有：(1)若，可设；(2)若，可设，，；(3)若，可设，，且．

典型例题十六

例16 已知是不等于1的正数，是正整数，求证．

分析：从求证的不等式看，左边是两项式的积，且各项均为正，右边有2的因子，因此可考虑使用均值不等式．

证明：∵是不等于1的正数，

∴，

∴．　　　　①

又．　　　　②

将式①，②两边分别相乘得

，

∴．

说明：本题看起来很复杂，但根据题中特点，选择综合法求证非常顺利．由特点选方法是解题的关键，这里因为，所以等号不成立，又因为①，②两个不等式两边均为正，所以可利用不等式的同向乘性证得结果．这也是今后解题中要注意的问题．

典型例题十七

例17 已知，，， ，且，求证．

分析：从本题结构和特点看，使用比较法和综合法都难以奏效．为找出使不等式成立的充分条件不妨先用分析法一试，待思路清晰后，再决定证题方法．

证明：要证，

只需证，

只需证．

∵，， ，

∴，，，

∴，

∴成立．

∴．

说明：此题若一味地用分析法去做，难以得到结果．在题中得到只需证后，思路已较清晰，这时改用综合法，是一种好的做法．通过此例可以看出，用分析法寻求不等式的证明途径时，有时还要与比较法、综合法等结合运用，决不可把某种方法看成是孤立的．

典型例题十八

例18 求证．

分析：此题的难度在于，所求证不等式的左端有多项和且难以合并，右边只有一项．注意到这是一个严格不等式，为了左边的合并需要考查左边的式子是否有规律，这只需从下手考查即可．

证明：∵，

∴．

说明：此题证明过程并不复杂，但思路难寻．本题所采用的方法也是解不等式时常用的一种方法，即放缩法．这类题目灵活多样，需要巧妙变形，问题才能化隐为显，这里变形的这一步极为关键．

典型例题十九

例19 在中，角、、的对边分别为，，，若，求证．

分析：因为涉及到三角形的边角关系，故可用正弦定理或余弦定理进行边角的转化．

证明：∵，∴．

由余弦定理得

∴，

∴

　　　　     =

说明：三角形中最常使用的两个定理就是正弦和余弦定理，另外还有面积公式．本题应用知识较为丰富，变形较多．这种综合、变形能力需要读者在平时解题时体会和总结，证明不等式的能力和直觉需要长期培养．下载本文