1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A D 与1BC 所成的角为
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
【答案】D
【解析】
试题分析：如图所示，连接B 1C ，
则B 1C ∥A 1D ，B 1C ⊥BC 1，∴A 1D ⊥BC 1，∴A 1D 与BC 1所成的角为90°．
故选：D ．
考点：异面直线及其所成的角
2．已知平行六面体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB
＝∠A 1AD ＝120°，则异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值（ ）
A
．7 C
【答案】B
【解析】
试题分析：设向量 1,,AB a AD b AA c ===，则11,AC a b c A D b c =++=-，112,7AC A D ∴==， 11111114cos ,7
AC A D
AC A D AC A D ⋅<>==。 考点：空间向量的集合运算及数量积运算。
3．正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别是1AA ,AB ,1BB ,11B C 的中点，则
直线EF 与GH 所成的角是（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
【答案】C
【解析】
试题分析：由三角形中位线可知11,EF
A B GH BC ，所以异面直线所成角为11A BC ∠，大小为60°
考点：异面直线所成角
4．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11B C 的中点，则异面直线1DC 与BE 所成角的
余弦值为（ ）
A
．5
10- D
． 【答案】B
【解析】
试题分析：取BC 中点F ，连结1,FD FC ，则1
D CF ∠为异面直线所成角，设边长为2
，11C F DC DF ∴==
=1cos DC F ∴∠=
考点：异面直线所成角 5．如图，正四棱柱ABCD A B C D ''''-中（底面是正方形，侧棱垂直于底面），
3AA AB '=，则异面直线A B '与AD '所成角的余弦值为（ ）
A 、910
B 、45
C 、710
D 、35
【答案】A
【解析】
试题分析：连结'BC ，异面直线所成角为''A BC ∠，设1AB
=,在''
A BC ∆中
''''AC A B BC ===''9cos 10
A BC ∴∠= 考点：异面直线所成角
6．点P 在正方形ABCD 所在平面外，PA ⊥平面ABCD ，AB PA =，则PB 与AC 所
成的角是
A ．︒60
B ．︒90
C ．︒45
D ．︒30
【答案】A
【解析】
试题分析：作出空间几何体如下图所示：设正方形的边长为2，
.
． 所以PB 与AC 所成的角就是FEA ∠，由题意可知：2=
==AF AE EF ，
所以 60=∠FEA ．
考点：异面直线的位置关系． 7．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱CD 的中点，则→
M A 1与→1DC 所成角的余弦值为（ ）
A.62-
B.62
C. 1010-
D.10
10 【答案】A
【解析】
试题分析：以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -，由棱长为1，则111
(0,0,0),(1,0,1),(0,,0),(0,1,1)2
D A M C ,所以111(1,,1),2A M DC =--(0,1,1=,故11cos ,A M DC <
>=101236+-=-，故选A. 考点：空间向量所成角的余弦值.
8．在正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别为BC AB 、中点，则异面直线EF 与1AB 所成角的余弦值为
A
．33 C
【答案】D
【解析】
试题分析：联结AC 、1B C 则1B AC ∠ 即为所成的角。1B AC 为等边三角形，所以11cos cos602
B A
C ∠== 考点：异面直线所成的角
9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所的 θ角的取值范围是（ ）
A.
B. C. D. 【答案】D
【解析】如图，连结CD'，则异面直线CP 与BA'所成的角θ
等于∠D'CP ，由图可知，当P 点与A 点重合时，θ＝3
π 当P 点无限接近D'点时，θ趋近于0.由于是异面直线，故θ≠0.
选D
考点：空间几何体，异面直线所成角
10．如图，正方体1111ABCD A B C D -，则下列四个命题：
①P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变；
②P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变；
③P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变；
④M 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是过1D 点的直线 其中真命题的个数是
.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】
试题分析：①∵1BC ∥平面1AD ，∴1BC ∥上任意一点到平面C AD 1的距离相等，所以体积不变，正确．②P 在直线1BC 上运动时，直线AB 与平面C AD 1所成角和直线1AC 与平面C AD 1所成角不相等，所以不正确．③当P 在直线1BC 上运动时，AP 的轨迹是平面1PAD ，即二面角C AD P --1的大小不受影响，所以正确．④∵M 是平面1111D C B A 上到点D 和1C 距离相等的点，∴M 点的轨迹是一条与直线1DC 平行的直线，而111C D DD =，所以正确,故答案为：C .
考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；与二面角有关的立体几何综合题 .
11．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB 的中点为M ，DD 1的中点为N ，则异面直线B 1M 与CN 所成的角是（ ）
A. 0
B. 45
C. 60
D. 90
【答案】D
【解析】
试题分析：解：取1AA 的中点E ，连接EN ，BE 交M B 1于点O ，
则BC EN //，且BC EN = ∴四边形BCNE 是平行四边形 CN BE //∴
BOM ∠ 就是异面直线M B 1与CN 所成的角， 而ABE Rt M BB Rt ∆≅∆1
M BB ABE 1∠=∠∴，AEB BMB ∠=∠1， 090=∠∴BOM ．故选D ． 考点：异面直线所成角
12．如图,直四棱柱1111-ABCD A B C D 的底面是边长为1的正方形,
侧棱长1AA 则异面直线11A B 与1BD 的夹角大小等于
【答案】60°
【解析】
试题分析：由直四棱柱1111-ABCD A B C D 的底面是边长为1的正方形,
侧棱长1AA 得12,BD = 由11AB A B 知1ABD ∠就是异面直线11A B 与1BD 的夹角,且111cos ,2
AB ABD BD ∠== 所以1ABD ∠=60°,即异面直线11A B 与1BD 的夹角大小等于
.
.
60°．
考点：1正四棱柱；2异面直线所成角
13．如果直线AB 与平面α相交于B ，且与α内过点B 的三条直线BC ，BD ，BE 所成的角相同，则直线AB 与CD 所成的角=_________. 【答案】090
【解析】
试题分析：因为，直线AB 与平面α相交于B ，且与α内过点B 的三条直线
,,BC BD BE 所成的角相同，所以，直线AB 在平面α内的射影应是,BC BD 夹角的平
分线，同时也应是,BD BE 夹角及,BC BE 的平分线，因此，直线AB 在平面α内的射影是点B ，即AB α⊥，而CD α⊂，所以AB CD ⊥，直线AB 与CD 所成的角为090 考点：直线与直线、直线与平面的位置关系.
14．平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为60°，则1DB 和11C A 所成角大小为____________.
【答案】arccos 6
【解析】 试
题
分
析
：
由
于
C A AA DB +=-+=1111,，而
=
⋅111A C DB AD
AB AB AD AB AD AA AB ⋅+=+⋅-+2
1)(][AB
AD AD AA AB AA ⋅-⋅+⋅+11-
2
4
=，同理
求
1
112AA AB AA ⋅AA AB ⋅-⋅-1122
=8,1DB =22 ，同理
32，设1DB 和11C A 所成角大小为θ，
则
663
2224,cos cos 111=⋅<=A C DB θ，66
arccos =θ. 考点：1.向量的加法和减法；2.向量的数量积；3.向量的模；4.异面直线所成的角； 15．已知四面体ABCD
中，DA DB DC ===，且,,DA DB DC 两两互相垂直，点O 是ABC ∆的中心，将DAO ∆绕直线DO 旋转一周，则在旋转过程中，直线DA 与
直线BC
所成角的余弦值的最大值是___ _
试卷第8页，总15页
【解析】
试题分析：当BC OA //时，直线DA 与直线BC 所成角最小，对应的余弦值最大，即OAD ∠cos ；
易知：6===BC AC AB ,32336=⨯=OA ,3
62332cos ===∠DA OA OAD . 考点：异面直线所成的角.
16．如图所示，1111D C B A ABCD -为正方体，给出以下五个结论：
①//BD 平面11D CB ； ②1AC ⊥平面11D CB ；
③1AC 与底面ABCD
④二面角111C D B C --
；
⑤过点1A 且与异面直线AD 和 1CB 均成70°角的直线有2条．
其中，所有正确结论的序号为________．
【答案】①②④ 【解析】
试题分析：如下图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 中，
由于BD ∥B 1D 1 ，由直线和平面平行的判定定理可得BD ∥平面CB 1D 1 ，故①正确． 由正方体的性质可得B 1D 1⊥A 1C 1，CC 1⊥B 1D 1，故B 1D 1⊥平面 ACC 1A 1，故 B 1D 1⊥AC 1．
同理可得 B 1C ⊥AC 1．再根据直线和平面垂直的判定定理可得，AC 1⊥平面CB 1D 1 ，故②正确．
AC 1与底面ABCD
所成角的正切值为
12CC AC ==
，故③不正确． 取B 1D 1 的中点M ，则∠CMC 1 即为二面角C ﹣B 1D 1﹣C 1的平面角，Rt △CMC 1中，tan ∠CMC 1
=
112
CC C M ==
.
.
如下图，由于异面直线AD 与CB 1成45°的二面角，过A 1 作MN ∥AD 、PQ ∥CB 1，设MN 与PQ 确定平面α，∠PA 1M=45°，过A 1 在面α上方作射线A 1H ，
则满足与MN 、PQ 成70°的射线A 1H 有4条：满足∠MA 1H=∠PA 1H=70°的有一条，满足∠PA 1H=∠NA 1H=70°的有一条，满足∠NA 1H=∠QA 1H=70°的有一条，
满足QA 1H=∠MA 1H=70°的有一条．故满足与MN 、PQ 成70°的直线有4条，故过点A 1与异面直线AD 与CB 1成70°角的直线有4条，故⑤不正确．
故答案为 ①②④．
考点：二面角的定义及求法；直线和平面平行的判定；直线和平面垂直的判定；异面直线的判定.
17．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是正方形ADD 1A 1和ABCD 的中心，G 是CC 1的中点。设GF ，C 1E 与AB 所成的分别为βα,，则=+βα
【答案】
2
π 【解析】
试题分析：取正方形B 1C 1CB 的中点为点O ，连结,1OC ,OE 取BC 的中点为点A ，连结
,GH FH ，通过分析可知//1OC ,GH //OE FH
得平面//1EO C 平面,GFH 设正方形边长为2，在GFH ∆中，,2=
GH 1=FH ，
3
=GF ，则
,
3
1
c o s ,32s i n ==αα在
EO
C 1∆中
，
试卷第10页，总15页
,2=OE ,6!=E C 21=OC ，则,3
16
2sin =
=
β
,3
26
2cos =
=
β所以=
+βα2
π。 考点：直线与平面所成角，面面平行问题。
18．如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1的夹角是
【答案】
3
π 【解析】
试题分析：如图所示，建立空间直角坐标系．由于AB=BC=AA 1，不妨取AB=2，则E （0，1，0），F （0，0，1），C 1（2，0，2）．∴EF =（0，﹣1，1），1BC =（2，0，2）．∴
1111cos ,2
||||2EF BC EF BC EF BC ⋅<
>=
==⋅．∴异面直线EF 和BC 1的夹角为3π
．故
答案为:
3
π
．
考点：用空间向量求直线间的夹角、距离；异面直线及其所成的角．
19．如图，在直三棱柱111ABC A B
C -中，0
190,
2,1ACB AA AC BC ∠====，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是____________．
【答案】
6
.
.
【解析】
试题分析：由于AC ∥11A C ，所以11BA C ∠（或其补角）就是所求异面直线所成的角，
在11BA C ∆
中，1A B =，11
1AC =
，1BC =
，11cos BAC ∠==
． 考点：异面直线所成的角．
20． 在正三棱柱111C B A ABC -中，各棱长均相等，C B BC 11与的交点为D ，则AD 与平面C C BB 11所成角的大小是_______． 【答案】60o
【解析】
试题分析：如图所示取BC 中点E ，连接AE ，DE ，
易得AD 与平面C C BB 11所成角为ADE ∠，设正三棱柱棱长为2，则等边三角形ABC ，
边上的中线AE =
，1DE =，直角三角形中60o
ADE ∠=
考点：直线与平面所成的角.
21．如图，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝1，AA 1＝2，∠B 1A 1C 1＝90°，D 为BB 1的中点，则异面直线C 1D 与A 1C 所成角的余弦值为__________．
【答案】
15
【解析】
试题分析：求异面直线所成的角，关键是作出这个角，一般把异面直线的一条平移后与另一条相交，得到要求的角（当然异面直线所成的角不大于90︒）本题中我们就可以把
试卷第12页，总15页
1C D 向下平移到过点C （实际作图时，是延长1B B 到E ，使1BE B D =，则有1CE C D ∥，然后在1A CE ∆中求出1A CE ∠，就可得出题中要求的角．
考点：异面直线所成的角．
22．四棱锥P —ABCD
ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与PA
所成角的余弦值为 . 【答案】
5
5 【解析】
试题分析：∵正方形ABCD 中，CD ∥AB ，∴∠PAB 或其补角就是异面直线CD 与
考点：1.余弦定理的应用；2.异面直线及其所成的角
23．如图所示，正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，将此正方形沿EF 折成直二面角后，异面直线AF 与BE 所成角的余弦值为 .
【答案】
12
【解析】
试题分析：过F 做FH //DC ，过A 做AG
EF ⊥，连接GH ，
在三角形AGH 中，AH =
， AFH ∠即为异面直线AF 与
BE 所成角. 设正方形ABCD 的边长为2，则在AFH 中，AF 1FH 2AH ===， ∴1cos AFH 2∠=
，故答案为12
. 考点：异面直线所成的角的计算
F
A
E
B
C
D
.
.
1111ABCD A B C D -11E C D 为AE BC
【答案】 23
【解析】如图，由AD BC DAE ⇒∠∥是异面直线AE 与BC 所成角，连结DE ， 则DE ⊂平面1CD 中
11DE AD DE AD ⊂⎫⇒⊥⎬⊥⎭
平面CD 平面CD 设正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，则
2,AD DE ====
Rt ADE ∆在中,
3==
2cos 3
AD DAE AE ∠== 25．有一中多面体的饰品，其表面右6个正方形和8各正三角形组成（如图），AB 与CD 所成的角的大小是_____________
【答案】3
π
因
为
和是正三角
形的两边，
则
A B
D
C
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26．如图，在空间直角坐标系中的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，棱长为1，已知B 1E 1=D 1F 1
BE 1与DF 1所成的角的余弦值为 .
【解析】略
27．
图2是正方体的展开图，其中直线AB 与CD 在原正方体中的成角的大小是_______。
【答案】60度
【解析】
28．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在A 上，且
AB ，点P 在平面ABCD 上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy 中，动点P 的轨迹方程是 .
【解析】【思路分析】过P 点作PQ ⊥AD 于Q ，再过Q 作QH ⊥A 1D 1于H ，连PH ，利用三垂线定理可证PH ⊥A 1D 1. 设P （x ，y ），
B A x M
.
. ∵|PH|2 - |PH|2 = 1，∴x 2
2+y 2] =1
【命题分析】以空间图形为载体，考查直线与平面的位置关系以及轨迹方程的求法.
