1.函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－3)＝2，则f(0)＋f(3)＝________．

2．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有＜0恒成立，则f(－2)，f(1)，f(3)由小到大的排列顺序是________．

3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，

f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log35)的值

为________．

4．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．

5．若函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且f(x)在(0，＋∞)上为增函数，f(2)＝0，则不等式的x·f(x)＜0解集为________．

6．已知函数f(x)＝sin x－x＋，则关于x的不等式f(1－x2)＋f(5x－7)＜0的解集为________．

7.已知函数f(x)＝ln.

(1)判断函数f(x)的奇偶性，并给出证明；

(2)解不等式：f(x2＋x＋3)＋f(－2x2＋4x－7)＞0.

8．已知二次函数f(x)＝ax2－4x＋c的值域为[0，＋∞)．

(1)判断此函数的奇偶性，并说明理由；

(2)判断此函数在上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；

(3)求出f(x)在[1，＋∞)上的最小值g(a)，并求g(a)的值域．

1．答案：－2.

解析：f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－0)＝－f(0)，f(－3)＝－f(3)，所以f(0)＝0，f(3)＝－2，则f(0)＋f(3)＝－2.

2．答案：f(3)＜f(－2)＜f(1)．

解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，则f(－2)＝f(2)．又任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有＜0恒成立，则任意x2＞x1≥0时，f(x2)－

f(x1)＜0，所以f(x)在[0，

＋∞)上是单调递减函数．所以，f(3)＜f(－2)＜f(1)．

3．答案：－4.

解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝1＋m＝0，于是m＝－1，所以f(－log35)＝

－f(log35)＝－(3log35－1)＝－4.

4．答案：(－1，3)．

解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，则f(－x)＝f(x)＝

f(|x|)，所以f(x－1)＞0可化为f(|x－1|)＞f(2)，又

f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以|x－1|＜2，解得－1＜x＜3.

5．答案：(－2，0)∪(0，2)．

解析：因为函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且

f(x)在(0，＋∞)上为增函数，

f(2)＝0，所以f(x)在(－∞，0)上为增函数，f(－2)＝0.由x·f(x)＜0得，或，即或所以原不等式的解集为(－2，0)∪(0，2)．

6．答案：(2，3)．

解析：f′(x)＝cosx－1－ln2(2－x＋2x)≤cosx－1－2＝cosx－3＜0，则函数f(x)在R上是单调减函数．又f(－x)＝－sinx＋x＋＝

－＝

－f(x)，则函数f(x)是奇函数，所以f(1－x2)＋

f(5x－7)＜0可化为f(1－x2)＜－f(5x－7)＝f(7－5x)，即

1－x2＞7－5x，解得2＜x＜3.所以，不等式f(1－x2)＋f(5x－7)＜0的解集为(2，3)．

7．答案：(1)奇函数；(2)(－∞，1)∪(4，＋∞)．

解析：(1)函数f(x)是奇函数，证明如下：

由＞0，得x＜－1，或x＞1，则函数

f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

f(－x)＝ln＝ln＝ln＝－ln＝

－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．

(2)任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝

ln－ln＝

ln＝

ln

因为x2＞x1＞1，所以x1·x2＋x2－x1－1＞0，x1·x2＋x1－x2－1＞0，且(x1·x2＋x2－x1－1)－(x1·x2＋x1－x2－1)＝2(x2－x1)＞0，

则＞1，所以f(x1)－f(x2)＝

ln＞0，则函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减函数．

因为函数f(x)是奇函数，所以f(x2＋x＋3)＋f(－2x2＋4x－7)＞0可化为：f(x2＋x＋3)＞－f(－2x2＋4x－7)＝f(2x2－4x＋7)，又x2＋x＋3＝＋＞1，2x2－4x＋7＝2(x－1)2＋5＞1，函数f(x)在(1，＋∞)单调递减，所以x2＋x＋3＜2x2－4x＋7，解得x＜1，或x＞4，则原不等式的解集为(－∞，1)∪(4，＋∞)．

8．答案：(1)非奇非偶函数；(2)增函数；(3)[0，＋∞)．

解析：(1)由二次函数f(x)＝ax2－4x＋c的值域为[0，＋∞)，得a＞0且＝0，解得ac＝4.∵f(1)＝a＋c－4，f(－1)＝a＋c＋4，a＞0且c＞0，从而f(－1)≠

f(1)，f(－1)≠－f(1)，∴此函数是非奇非偶函数．

(2)函数的单调递增区间是.

设x1，x2是满足x2＞x1≥的任意两个数，从而有x2－＞x1－≥0，∴＞.又a＞0，

∴a＞a，从而a＋c－＞

a＋c－，即ax22－4x2＋c＞ax12－4x1＋c，从而

f(x2)＞f(x1)，∴函数在上单调递增．

(3)f(x)＝ax2－4x＋c，又a＞0，x0＝，x∈[1，＋∞)．当x0＝≥1，即0＜a≤2时，最小值

g(a)＝f(x0)＝0.当x0＝＜1，即a＞2时，最小值g(a)＝

f(1)＝a＋c－4＝a＋－4.综上，最小值g(a)＝

当0＜a≤2时，最小值g(a)＝0；当a＞2时，最小值

g(a)＝a＋－4∈(0，＋∞)，综上y＝g(a)的值域为[0，＋∞)．下载本文