一．选择题（共15小题）
1．已知函数f（2x﹣1）=4x+3，且f（t）=6，则t=（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则函数f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）=x2﹣1 B．f（x）=x2+1
C．f（x）=x2﹣1（x≥0） D．f（x）=x2+1（x≥0）
3．已知f（x﹣1）=x2+4x﹣5，则f（x）的表达式是（ ）
A．x2+6x B．x2+8x+7 C．x2+2x﹣3 D．x2+6x﹣10
4．如果f（）=，则当x≠0时，f（x）等于（ ）
A． B． C． D．﹣1
5．已知函数f（x）=3x+4，则f（x+1）﹣f（x﹣1）等于（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
6．下列函数中，不满足f（3x）=3f（x）的是（ ）
A．f（x）=|x| B．f（x）=﹣x C．f（x）=x﹣|x| D．f（x）=x+3
7．设f（x）=2x+3，g（x）=f（x﹣2），则g（x）等于（ ）
A．2x+1 B．2x﹣1 C．2x﹣3 D．2x+7
8．设，则等于（ ）
A．f（x） B．﹣f（x） C． D．
9．已知f（）=，则f（x）的解析式可取为（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
10．已知f（x）是一次函数，且f（﹣2）=﹣1，f（0）+f（2）=10，则f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）=3x+5 B．f（x）=3x+2 C．f（x）=2x+3 D．f（x）=2x﹣3
11．已知f（）=x2﹣1，则f（）=（ ）
A．﹣ B．﹣ C．8 D．﹣8
12．已知，则f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）= B．f（x）= C．f（x）=1+x D．f（x）=（x≠0）
13．已知函数f（x）满足f（）+f（﹣x）=2x（x≠0），则f（﹣2）=（ ）
A． B． C． D．
14．已知f（）=2x+3，f（m）=6，则m等于（ ）
A． B． C． D．
15．若函数f（x）满足关系式f（x）+2f（）=4x﹣，则f（）=（ ）
A．﹣ B．﹣2 C．3 D．
二．填空题（共12小题）
16．若f（2x）=3x2+1，则函数f（x）的解析式是 ．
17．函数 f （ x ）=，g （ x ）=，则 f （ x）g （ x ）= ．
18．已知f（2x+1）=3x﹣4，f（a）=4，则a= ．
19．已知函数f（x）是二次函数且f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=x﹣1，则函数f（x）= ．
20．若函数，，则f（x）+g（x）= ．
21．已知f（x）=x2﹣1，则f（2x）= ．
22．已知y=f（x）是一次函数，且有f[f（x）]=16x﹣15，则f（x）的解析式为 ．
23．已知函数f（x+1）=3x+2，则f（x）的解析式是 ．
24．已知f（x﹣1）=2x2﹣8x+11，则函数f（x）的解析式为 ．
25．已知函数满足2f（x）﹣f（﹣x）=3x，则f（x）的解析式为 ．
26．已知，则函数f（x）的解析式为 ．
27．已知函数f（x）满足f（+1）=x+3，则f（3）= ．
三．解答题（共3小题）
28．（1）已知f（x）满足2f（x）+f（）=3x，求f（x）．
（2）已知二次函数f（x）满足f（1+x）+f（2+x）=2x2+4x+3，求f（x）的解析式．
29．已知函数f（x）=．
（1）求f（x）的定义域．
（2）若f（a）=2，求a的值；
（3）求证：f（）=﹣f（x）
30．已知函数f（x）满足f（2x﹣1）=4x，求f（﹣1）值和f（x﹣1）解析式．
2018年09月11日郁金香的高中数学组卷
参与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．
【分析】由换元法求出函数f（x）的解析式，令函数值为6，解出t值即可．
【解答】解：令2x﹣1=u，则x=，
由f（2x﹣1）=4x+3，
可得f（u）=4×+3=2u+5，
则f（t）=2t+5=6，
解得t=，
故选：A．
【点评】本题考查函数解析式的求法，属于基础题．
2．
【分析】根据已知中f（）=x+1，令t=，则x=t2，进而利用换元法，可得答案．
【解答】解：令t=，则t≥0，
则=t，x=t2，
则由f（）=x+1可得
f（t）=t2+1，
故函数f（x）的解析式为：f（x）=x2+1，（x≥0），
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求法﹣﹣换元法，解答时一定要注意中间元的范围，对函数定义域的影响．
3．
【分析】令x﹣1=t，得x=t+1，将已知表达式写成关于t的表达式，再将t换回x即可得到f（x）的表达式．
【解答】解：令x﹣1=t，得x=t+1
∵f（x﹣1）=x2+4x﹣5，
∴f（t）=（t+1）2+4（t+1）﹣5=t2+6t，
由此可得f（x）=x2+6x
故选：A．
【点评】本题给出函数f（x﹣1）的表达式，求f（x）的表达式．考查了函数的定义和解析式的求法等知识，属于基础题．
4．
【分析】由题意利用配凑法即可得到函数的解析式．
【解答】解：函数的解析式：，∴．
故选：B．
【点评】本题考查函数解析式的求解，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．
5．
【分析】直接利用解析式计算即可．
【解答】解：f（x+1）=3（x+1）+4=3x+7，f（x﹣1）=3（x﹣1）+4=3x+1，
∴f（x+1）﹣f（x﹣1）=6．
故选：A．
【点评】本题考查了函数解析式的意义，属于基础题．
6．
【分析】逐一检验各个选项中的函数是否满足f（3x）=3f（x），从而得出结论．
【解答】解：对于A，∵f（3x）=|3x|，3f（x）=3|x|，满足f（3x）=3f（x）；
对于B，f（3x）=﹣3x，3f（x）=3（﹣x）=﹣3x，满足 f（3x）=3f（x）；
对于C，f（3x）=3x﹣|3x|，3f（x）=3（x﹣|x|），满足f（3x）=3f（x）；
对于D，f（3x）=3x+3，3f（x）=3（x+3）=3x+9，显然不满足f（3x）=3f（x），
故选：D．
【点评】本题主要考查求函数的解析式，属于基础题．
7．
【分析】先由f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x）求得g（x+2）再利用换元法将x+2=t求得g（t），再令x=t即得g（x）．
【解答】解：根据题意：f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），
∴g（x+2）=2x+3，
令x+2=t，则x=t﹣2
∴g（t）=2t﹣1
令x=t
∴g（x）=2x﹣1
故选：B．
【点评】本题主要考查求函数的解析式，这里用到了换元法，常用方法还有配方法，待定系数法，方程法等等．
8．
【分析】根据已知中，求出的解析式，可得答案．
【解答】解：∵，
∴===﹣f（x），
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求解方法﹣﹣代入法，难度不大，属于基础题．
9．
【分析】利用换元法，设，则x=，代入从而化简可得．
【解答】解：已知f（）=，
设，则x=，
那么：f（）=转化为g（t）==，
∴f（x）的解析式可取为f（x）=，
故选：C．
【点评】本题考查了函数解析式的求法，利用了换元法，属于基础题．
10．
【分析】设出函数的解析式，待定系数法求解即可．
【解答】解：设f（x）=ax+b，
由f（﹣2）=﹣1，f（0）+f（2）=10，
得，解得：a=2，b=3，
故f（x）=2x+3，
故选：C．
【点评】本题考查了求一次函数的解析式问题，考查代入求值，是一道基础题．
11．
【分析】直接利用函数的解析式求解函数值即可．
【解答】解：f（）=x2﹣1，则f（）=f（）==．
故选：B．
【点评】本题考查函数的值的求法，函数的解析式的应用，考查计算能力．
12．
【分析】令（t≠0），得x=，代入原函数即可求得f（x）的解析式．
【解答】解：令（t≠0），
得x=，
∴原函数化为f（t）=，（t≠0）．
∴f（x）的解析式为f（x）=（x≠0）．
故选：D．
【点评】本题考查利用换元法求函数解析式，关键是注意函数定义域，是中档题．
13．
【分析】根据题意，将x=2和x=﹣代入f（）+f（﹣x）=2x可得f（）+f（﹣2）=4①，f（﹣2）﹣2f（）=﹣1②，联立两式解可得f（﹣2）的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（）+f（﹣x）=2x（x≠0），
令x=2可得：f（）+f（﹣2）=4，①
令x=﹣可得：f（﹣2）﹣2f（）=﹣1，②
联立①②解可得：f（﹣2）=，
故选：C．
【点评】本题考查函数的值的计算，注意利用特殊值法分析，关键是分析与（﹣x）的关系，确定x的特殊值．
14．
【分析】设x﹣1=t，求出f（t）=4t+7，进而得到f（m）=4m+7，由此能够求出m
【解答】解：设x﹣1=t，则x=2t+2，
∴f（t）=4t+7，∴f（m）=4m+7=6，
解得m=﹣．
故选：D．
【点评】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，仔细求解，注意公式的灵活运用；运用了换元的思想．
15．
【分析】由函数f（x）满足关系式f（x）+2f（）=4x﹣，分别令x=2和x=，利用加减消元法，可得答案
【解答】解：∵f（x）+2f（）=4x﹣，
∴f（2）+2f（ ）=4×=7，…①；
f（）+2f（2）==﹣2，…②；
①×2﹣②得：3f（）=16，
故f（）=，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数求值，难度中档．
二．填空题（共12小题）
16．
【分析】直接利用配凑法求解函数的解析式即可．
【解答】解：f（2x）=3x2+1=，
可得．
故答案为：．
【点评】本题考查函数的解析式的求法，转化思想的应用，考查计算能力．
17．
【分析】根据f（x），g（x）的解析式，化简约分即可．
【解答】解：f （ x ）=，g （ x ）=，
∴f （ x）⋅g （ x ）=•=2（x﹣1），
故答案为：2（x﹣1）．，（x≠﹣3，x≠0）．
【点评】本题考查了求函数的解析式问题，注意定义域的取值．
18．
【分析】由题意可得函数的解析式为f（x）=x﹣，可得关于a的方程，解方程可得．
【解答】解：∵f（2x+1）=3x﹣4，
∴f（2x+1）=3x﹣4=（2x+1）﹣，
∴f（x）=x﹣，
∵f（a）=4，∴a﹣=4，
解得a=
故答案为：
【点评】本题考查函数解析式的求解，属基础题．
19．
【分析】设f（x）=ax2+bx+c，a≠0，且f（0）=c=2，从而f（x）=ax2+bx+2，a≠0，进而f（x+1）﹣f（x）=2ax+a+b=x﹣1，由此能求出函数f（x）．
【解答】解：∵函数f（x）是二次函数且f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=x﹣1，
∴设f（x）=ax2+bx+c，a≠0，且f（0）=c=2，
∴f（x）=ax2+bx+2，a≠0，
f（x+1）﹣f（x）=a（x+1）2+b（x+1）+2﹣（ax2+bx+2）=2ax+a+b=x﹣1，
∴，解得a=，b=﹣，
∴f（x）=．
故答案为：．
【点评】本题考查查函数的表达式的求法，考查二次函数等基础知识，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的性质的合理运用．
20．
【分析】根据f（x），g（x）的解析式求出f（x）+g（x）的解析式即可．
【解答】解：函数，，
则f（x）+g（x）=+x﹣=x，x≥0，
故答案为：x，x≥0．
【点评】本题考查了求函数的解析式问题，考查x的范围，是一道基础题．
21．
【分析】直接将f（x）=x2﹣1中x替换成2x即可．
【解答】解：由题意：f（x）=x2﹣1
则f（2x）=（2x）2﹣1=4x2﹣1
故答案为：4x2﹣1．
【点评】本题考查了函数带值计算问题，比较基本，属于基础题．
22．
【分析】由题意设f（x）=ax+b，代入f（f（x））=16x﹣15，化简后列出方程组，解出a，b的值即可．
【解答】解：由题意设f（x）=ax+b，
∴f（f（x））=a（ax+b）+b=a2x+ab+b=16x﹣15，
则，解得或，
∴f（x）=4x﹣3或f（x）=﹣4x+5，
故答案为：f（x）=4x﹣3或f（x）=﹣4x+5．
【点评】本题考查了求函数的解析式方法：待定系数法，以及方程思想，属于基础题．
23．
【分析】利用换元法即可得出．
【解答】解：令x+1=t，则x=t﹣1，
∴f（t）=3（t﹣1）+2=3t﹣1，
∴f（x）=3x﹣1．
故答案为f（x）=3x﹣1．
【点评】熟练掌握换元法是解题的关键．
24．
【分析】设x﹣1=t，则x=t+1，由此能求出函数f（x）的解析式．
【解答】解：f（x﹣1）=2x2﹣8x+11，
设x﹣1=t，则x=t+1，
∴f（t）=2（t+1）2﹣8（t+1）+11=2t2﹣4t+5，
∴f（x）=2x2﹣4x+5．
故答案为：f（x）=2x2﹣4x+5．
【点评】本题考查函数的解析式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意换元法的合理运用．
25．
【分析】构造方程组，然后求出函数的解析式即可．
【解答】解：根据题意2f（x）﹣f（﹣x）=3x，①
用﹣x代替x可得2f（﹣x）﹣f（x）=﹣3x，②
①②消去f（﹣x）可得：3f（x）=3x，
∴f（x）=x，
故答案为：f（x）=x．
【点评】本题考查函数解析式的应用问题，解题时应值域x的任意性，方程组的思想的应用．
26．
【分析】换元法：令+1=t，可得=t﹣1，代入已知化简可得f（t），进而可得f（x）
【解答】解：令+1=t，t≥1，可得=t﹣1，
代入已知解析式可得f（t）=（t﹣1）2+2（t﹣1），
化简可得f（t）=t2﹣1，t≥1
故可得所求函数的解析式为：f（x）=x2﹣1，（x≥1）
故答案为：f（x）=x2﹣1，（x≥1）
【点评】本题考查函数解析式的求解方法，换元是解决问题的关键，属基础题．
27．
【分析】由已知中函数的解析式，令x=4，可得答案．
【解答】解：∵函数f（x）满足f（+1）=x+3，
令x=4，则f（3）=7，
故答案为：7
【点评】本题考查的知识点是函数求值，难度不大，属于基础题．
三．解答题（共3小题）
28．
【分析】（1）构造方程组法，可得f（x）的解析式．
（2）已知f（x）是二次函数，利用待定系数法求解即可
【解答】解：（1）∵2f（x）+f（）=3x，…①
把①中的x换成，得2f（）+f（x）=，…②
①×2﹣②得3f（x）=6x﹣，
∴f（x）=2x﹣（x≠0）．
（2）设f（x）=ax2+bx+c，
∴f（1+x）+f（2+x）
=a（1+x）2+b（1+x）+c+a（2+x）2+b（2+x）+c
=2ax2+（6a+2b）x+5a++3b+2c
=2x2+4x+3，
∴，解得：，
∴f（x）=x2﹣x；
【点评】本题考查了利用构造方程组法，待定系数法求解函数解析式的问题，比较基础
29．
【分析】（1）根据分母不是0，求出函数的定义域即可；（2）令2=，解出即可；（3）令x=，带入f（x）的解析式，整理即可．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=，
故1﹣x2≠0，解得：x≠±1，
故函数的定义域是{x|x≠±1}；
（2）若f（a）=2=，
即1+a2=2﹣2a2，
解得：a=±；
（3）f（）===﹣f（x）．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查函数求值问题，考查等式的证明，是一道基础题．
30．
【分析】由已知的f（2x﹣1）=4x，令2x﹣1=t换元，求得f（t），则函数f（x）的解析式可求，则f（﹣1）值和f（x﹣1）解析式可求．
【解答】解：由f（2x﹣1）=4x，令2x﹣1=t，得，
∴f（t）=4×=2t+2．
故f（x）=2x+2．
则f（﹣1）=2×（﹣1）+2=0；
f（x﹣1）=2（x﹣1）+2=2x．
【点评】本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了换元法求函数解析式，是基础题．
