〖学习目标〗

1.理解全等三角形的概念，掌握并能运用全等三角形的性质．

2.掌握判定三角形全等的几种方法，能判定两个三角形全等．

3.能利用三角形全等证明的一些结论．

※考情分析

全等三角形是证明线段相等和角度相等，在中考试卷中可能出现在填空或选择中，也可能作为简单的解答题出现．这部分涉及的一些常用辅助线作法，不但在全等三角形部分运用，也是解决几何一些综合题，甚至压轴题的手段．全等三角形在中考试卷中，如果直接考查全等知识一般不会太难，如果作为解决综合问题的手段，那么难度可能会提升．

〖基础知识·轻松学〗

一、全等三角形的定义

1．全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”，其中“∽”表示形状相同，“＝”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小相等．

2．寻找对应边和对应角的常用方法：

对应角：①对应边所对的角是对应角；②两条对应边所夹的角是对应角；③有公共角，一定是对应角；④有对顶角，一定是对应角；⑤最大的角是对应角，最小的角是对应角．

对应边：①对应角所对的边是对应边；②两个对应角所夹的边是对应边；③有公共边，一定是对应边；④最长的边是对应边，最短的边是对应边．

二、全等三角形的性质

（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等．

精讲：由于全等的两个三角形能够完全重合，因此全等三角形对应边上的中线、高，对应角的角平分线也相等，全等三角形的周长和面积也相等．

三、三角形全等的判定方法

1．边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．

2．边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形，简写成“边角边”或“SAS”．

3．角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．

角角边：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）

4．HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称：“斜边、直角边”或“HL”）．

精讲：HL应用说明

（1）HL是识别两个直角三角形全等特有的方法，应用此方法时要注意：①要保证两个三角形是直角三角形；②斜边相等；③任意一条直角边对应相等．

（2）三角形全等判定方法的选择

四、全等三角形判定的两个反例

1．AAA不能判定两三角形全等

反例：如图6-1，在△ABC和△ADE中，当DE∥BC时，∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等． 

                             图6-1             图6-2

2．ASS不能判定两三角形全等

反例：如图6-2，△ABC和△ABD中，∠B＝∠B，AB＝AB，AC＝AD，但是△ABC与△ABD并不全等．

〖重难疑点·轻松破〗

一、用变换的视角看全等

仔细观察本章题目中涉及的全等三角形，可以发现，大多数图形中两个三角形，其中一个三角形通过平移、旋转和翻折，都能和另一个三角形完全重合．

1.平移：如图6-3，将△ABC沿着BC方向，平移一段距离后到达△DEF的位置，平移前后的两个三角形全等，这种变换称为平移变换．

2.翻折：如图6-4，将△ABC沿着BC翻折得到△BDC，翻折前后的这两个三角形全等，这种变换称为翻折变换．

3.旋转：如图6-5，将△ABC绕点A逆时针旋转180°后得到△ADE，旋转前后的这两个三角形全等，

        图6-3                图6-4              图6-5

经过图形的变换，图形的一些性质改变了，而另一些性质仍然保留下来，上面这三种变换中，变换前后的两个图形仍然全等，这三种变换也称为全等变换．

例1：如图6-6，AB＝CD，AB∥CD，CE＝AF．判断△ABE与△CDF是否全等，并说明理由．

图6-6

分析：要说明△ABE与△CDF是否全等，“AB＝CD”是题目直接提供的，由“CE＝AF”可得“AE＝CF”，“AB∥CD”可得夹角“∠DCA＝∠CAB”，此时三个条件具备了，最后根据SAS可证两个三角形全等．

答：△ABE与△CDF全等．

理由：∵CE＝AF，∴AE＝CF．    ∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠CAB．

    在△ABE与△CDF中      ∴△ABE≌△CDF（SAS）

点评：证明两个三角形全等需要寻找相等的对应边和对应角，由于△CDF可看作由△ABE旋转得到的，因此我们可以从旋转对称的角度来寻找相等的对应边和对应角，这样有利于迅速找到全等所需的条件．

变式练习1：如图6-7，点E，F在BC上，AB＝DC，AF＝DE，BE＝CF，B，E，F，C在同一直线上，求证：△ABF≌△DCE．

图6-7

二、证明线段、角度相等的思路

证明两条线段或者两个角度相等时，可考虑将这两条线段或两个角置于一对三角形中，通过证明这两个三角形全等来证明这两条线段或角度相等．

例2：如图6-8，点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE．

图6-8

分析：从结论“BD＝CE”来看，有两种思路，思路一：通过证明△BOD≌△COE得到对应边相等；思路二：通过证明“△ACD≌△ABE”得到AB＝AC和AD＝AE，然后运用等式性质证得．

从题设看，由“AB＝AC，∠B＝∠C”加上公共角∠A，可得△ACD≌△ABE，所以我们考虑使用思路二给出证明过程．

证明：在△ACD和△ABE中，，∴△ACD≌△ABE（ASA），∴AD＝AE

∵AB＝AC，∴AB－AD＝AC－AE，即BD＝CE．

点评：哪些情况下，可考虑利用全等的性质来证明线段相等和角度相等呢？本题中，这个图形很显然是轴对称的图形，而BD和CE也是轴对称的，这时候就可以考虑BD和CE置于一对轴对称的三角形中，且BD和CE恰好是一对对应边．

变式练习2：如图6-9，AD是△ABC的中线，过C，B分别作AD及AD的延长线的垂线CF，BE．求证：BE＝CF．

图6-9

三、两次或两次以上全等，寻找思路“两头凑”

例3：如图6-10，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF．求证：O是AC的中点．

图6-10

分析：从已知看，由AB＝CD，AD＝BC和AC＝AC，由“边边边”得△ABC≌△CDA．

从结论看，要证明“O是AC的中点”，需要证明OA＝OC，可将OA，OC置于△AOE和△COF中，通过证明△AOE≌△COF来实现．要证明△AOE≌△COF，已经具备AE＝CF，∠AOE＝∠COF，我们只能再找一对对应角相等，这对对应角可由△ABC≌△CDA获得．

证明：在△ABC和△CDA中， 

∴△ABC≌△CDA（SSS）．∴∠DAC＝∠ACB．

在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS）．

∴OA＝OC，∴O是AC的中点．

点评：“两头凑”的方法是先有已知条件结合已经学过的定义、定理、公理推导，看能推导出什么结论；同时由结论出发，反过来寻找能使结论成立所需的条件，一步一步地逆推，当正好和已知推导出的结论相吻合时，问题即可得证．即：已知→中间条件←结论．

变式练习3：如图6-11，AB∥CD，OA＝OD，AE＝DF．求证：EB∥CF．

图6-11

四、三点定形确定全等三角形．

例4：如图6-12，AD＝BC，AC＝BD，求证：∠C＝∠D．

图6-12

分析：由已知“AD＝BC，AC＝BD”可得两种情况：“AD与AC在同一个三角形中，BC与BD在同一个三角形中”或“AD与BD在同一个三角形中，BC与AC在同一个三角形中”，即本题可证明△ACD≌△BDC或者△ABD≌△BAC，由于本题要证明的∠C＝∠D是△ABD≌△BAC的一对对应角，所以本题可考虑证明△ABD≌△BAC．

证明：连接AB，在△ABD和△BAC中， 

∴△ABD≌△BAC（SSS），∴∠C＝∠D．

点评：已知条件提供的线段相等一般是对应边相等，这时我们可以将这些线段置于三角形中，如AD与BD在同一个三角形中，这两条线段涉及的三个字母A，B，D确定了△ABD，这就是三点定形法．

三点定型法适用于已知两对对应边相等情况下，确定全等三角形．

变式练习4：如图6-13，AD＝BC，DE⊥AC，BF⊥AC，且DE＝BF，AD和CB平行吗？为什么？

图6-13

五、角度相等的重要证明手段――同角的余角相等

    例5：如图6-14，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，F是BD上一点，BF＝AC，G是CE延长线上一点，CG＝AB，连结AG,AF. 

（1）求证：∠ABD＝∠ACE;

（2）探求线段AF,AG有什么关系，并证明．

图6-14

分析：（1）∠ABD,∠ACE都和∠BAC互余，根据“同角的余角相等”可证明∠ABD＝∠ACE；（2）由已知条件“BF＝AC” , “CG＝AB” , “∠ABD＝∠ACE”可证明△ABF＝△GCA，AF,AG恰好是这对全等三角形的对应边，所以这两条线段的大小关系是相等．又由于∠G＝∠BAF，∠G＋∠GAE＝90°，因此∠GAF＝90°，所以AF和AG的位置关系是垂直．

答案：（1）证明：∵CE⊥AB，∴∠ACG＋∠BAC＝90°，同理∠ABF＋∠BAC＝90°．

∴∠ABD＝∠ACE．

（2）答：AF＝AG，AF⊥AG．

理由：在△ABF和△GCA中，，∴△ABF≌△GCA．

∴AF＝AG，∠G＝∠BAF．∵GE⊥AB，∴∠G＋∠GAE＝90°．

∴∠BAF＋∠GAE＝90°．∴AF⊥AG．

点评：（1）当已知两条边相等，要证明两个三角形全等时，“同角的余角相等”是常用的证明夹角相等的手段．

（2）要证明两直线垂直，证明夹角等于90°也是常用思路，当夹角是有两个角的和组成的时候，常考虑证明这两个角的和等于90°．

变式练习5：如图6-15，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E 在AC上，CE＝BC，过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F．求证：AB＝FC．

图6-15

【课时作业·轻松练】

A．基础题组

1．如图6-16，∠1＝∠2，AO＝BO．求证：AC＝BC．

图6-16

2．如图6-17，AD⊥DB，BC⊥CA，AC，BD相交于点O，且AC＝BD，求证：AD＝BC．

图6-17

3．如图6-18，点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE．求证：AB＝AD．

图6-18   

4．如图6-19，点在同一条直线上，，．求证：．

图6-19

B．提升题组

5．如图6-20，AC⊥CF于点C，DF⊥CF于点F，AB与DE交于点O，且EC＝BF，AB＝DE，求证：AE＝DB．

图6-20

6．如图6-21，A，E，F，B四点在一条直线上，AC⊥CE，BD⊥DF，AE＝BF，AC＝BD．求证：CF＝DE．

图6-21

〖中考试题初体验〗

1．（2013湖南娄底）如图6-22，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是__________．（添加一个条件即可）

图6-22

2．（2013呼和浩特）如图6-23，CD＝ CA，∠1 ＝ ∠2，EC＝BC．求证：DE＝AB． 

图6-23

五、我的错题本

参

变式练习

1.∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF．即BF＝CE．

在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE．

2.∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，

∵CF⊥AE，BE⊥AE，∴∠CFD＝∠BED＝90°．

在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF．∴BE＝CF．

3.从结论看：要证明EB∥CF，可先证明∠E＝∠F；要证明∠E＝∠F，可证明△CDF≌△BAE或△COF≌△BOE．

从已知看：由AB∥CD可得∠3＝∠4，加上OA＝OD和∠1＝∠2可得△COD≌△BOA；为证明△CDF≌△BAE或△COF≌△BOE创造了条件“OC＝OB”或“AB＝CD和∠BAE＝∠CDF”．

证明：∵AB∥CD，∴∠3＝∠4，

在△COD和△BOA中，，∴△COD≌△BOA（ASA）.

∴OC＝OB，∵OA＝OD，AE＝DF，∴OE＝OF．

在△COF和△BOE中，，

∴△COF≌△BOE（SAS），∴∠E＝∠F，∴CF∥BE．

4.AD和BC平行．理由如下：在Rt△ADE和Rt△CBF中，∵AD＝BC，DE＝BF，∴Rt△ADE≌Rt△CBF，∴∠DAE＝∠BCF，∴AD∥CB．

5.∵FE⊥AC，∴∠F＋∠FCE＝90°，∵FC⊥AB，∴∠A＋∠FCE＝90°，

∴∠F＝∠A．在△ABC和△FCE中，，∴△ABC≌△FCE，∴AB＝FC．

课堂作业

A.基础题组

1．证明：在△AOC与△BOC中，∵AO＝BO，∠1＝∠2，OC＝OC，∴△AOC≌△BOC，∴AC＝BC．

2．在Rt△ABD和Rt△BAC中，，∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），∴AD＝BC

3．证明：∵∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠DAE．

∵∠2＝∠3，∠AFE＝∠DFC，∴∠C＝∠E．

在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE．∴AB＝AD． 

4．证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ECD．

又∵AB＝CE，AC＝CD，∴△BCA≌△EDC（SAS），∴BC＝ED．

B．提升题组

5．∵AC⊥CF，DF⊥CF，∴∠ACB＝∠DFE＝90°，

    又∵EC＝BF，∴EC＋EB＝BF＋EB，∴CB＝FE，

    在Rt△ACB与Rt△DFE中，，∴Rt△ACB≌Rt△DFE（HL），∴AC＝DF，

    在△ACE与△DFB中，∴△ACE≌△DFB（SAS），∴AE＝DB.

6．证明：∵AC⊥CE，BD⊥DF，∴∠ACE＝∠BDF＝90°．

在Rt△ACE和Rt△BDF中，

，∴Rt△ACE≌Rt△BDF．

∴CE＝DF，∠AEC＝∠BFD．

∵∠AEC＋∠CEF＝180°，∠DFB＋∠DFE＝180°，∴∠CEF＝∠DFE．

在△CEF和△DFE中，

，∴△CEF≌△DFE．

〖考试题初体验〗

1．答案不唯一，如：∠C＝∠B∠C=∠B或∠AEB＝∠ADC∠AEB=∠ADC或∠CEB＝∠BDC∠CEB=∠BDC或AE＝ADAC=AB或CE＝BE． 

2．∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠ECA＝∠2＋∠ECA，即∠BCA＝∠ECD．

在△BCA 与△ECD 中，，∴△BCA≌△ECD (SAS)．∴DE＝AB．下载本文