一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1. 3-=（ ）

A. 3

B. 3-

C. 31

D. 3

1- 2.数据1800000用科学计数法表示为（ ）

A.68.1

B.6108.1⨯

C. 51018⨯

D. 61018⨯

3.下列计算正确的是（ ） A. 222= B. 222±= C. 242= D. 242±=

4.测试五位学生“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据，统计时，出现了一处错误：将最高成绩写得更高了。计算结果不受影响的是（ ）

A.方差

B. 标准差

C. 中位数

D. 平均数

5.若线段 AM ，AN 分别是ABC ∆边上的高线和中线，则（ ）

A.AN AM >

B. AN AM ≥

C. AN AM <

D. AN AM ≤

6.某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一题得+5分，每答错一题得-2分，不答的题得0分。已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x 道题，答错了y 道题，则（ ）

A. 20=-y x

B. 20=+y x

C. 6025=-y x

D. 6025=+y x

7.一个两位数，它的十位数字是3，个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别有数字1~6）朝上一面的数字。任意抛掷这枚骰子一次，得到的两位数是3的倍数的概率等于（ ） A. 61 B. 3

1 C. 21 D. 3

2 8.如图，已知点P 矩形ABCD 内一点（不含边界），设1θ=∠PAD ，2θ=∠PBA ，3θ=∠PCB ，4θ=∠PDC ，若︒=∠︒=∠50,80CPD APB ,则（ ）

A. ()︒=++30-3241θθθθ）（

B. ()︒=++40-3142θθθθ）（

C. ()︒=++70-4321θθθθ）（

D. ()︒=+++1804321θθθθ）（

9.四位同学在研究函数是常数）c b c bx ax y ,(2++=时，甲发现当1=x 时，函数有最小值；

乙发现1-是方程02=++c bx ax 的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当2=x 时，

4=y .已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）

A. 甲

B.乙

C. 丙

D.丁

10.如图，在ABC ∆中，点D 在AB 边上，BC DE //，与边AC 交于点E ，连结BE ，记

BCE ADE ∆∆,的面积分别为21,S S ，（ ）

A. 若AB AD >2，则2123S S >

B. 若AB AD >2，则2123S S <

C. 若AB AD <2，则2123S S >

D. 若AB AD <2，则2123S S <

二、填空题（本大题共有6个小题，每小题4分，共24分）

11.计算：=-a a 3

12.如图，直线b a //，直线c 与直线b a ,分别交于A,B ，若︒=∠451，则=∠2

13.因式分解：()()=---a b b a 2

14.如图，AB 是⊙的直径，点C 是半径OA 的中点，过点C 作AB DE ⊥，交O 于点D 、E

两点，过点D 作直径DF ，连结AF ，则=∠DFA

15.某日上午，甲、乙两车先后从A地出发沿一条公路匀速前往B地，甲车8点出发，如图是其行驶路程s（千米）随行驶时间t（小时）变化的图象.乙车9点出发，若要在10点至11点之间（含10点和11点）追上甲车，则乙车的速度v（单位：千米/小时）的范围是

∆翻折，点A落在DC边上16.折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把ADE

∆翻折，点C 的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把CDG

落在直线AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，

则AD=

三、简答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本题满分6分）已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货，设平均卸货速度为v（单位：吨0/小时），卸完这批货物所需的时间为t（单位：小时）。

（1）求v关于t的函数表达式

（2）若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？18.（本题满分8分）某校积极参与垃圾分类活动，以班级为单位收集可回收的垃圾，下面是七年级各班一周收集的可回收垃圾的质量频数和频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）。

（1）求a的值。

（2）已知收集的可回收垃圾以0.8圆/kg被回收，该年级这周收集的可回收垃圾被回收后所得的金额能否达到50元

组别（kg）频数

4.0~4.5 2

4.5~

5.0 a

5.0~5.5 3

5.5~

6.0 1

19.（本题满分8分）如图，在ABC

∆中，AB=AC，AD为BC边上的中线DE⊥AB于点E （1）求证：BDE

∆∽CAD

∆

（2）若AB=13，BC=10，求线段DE的长

某校七年级各班一周收集的可回收

垃圾的质量的频数频数直方图某校七年级各班一周收集的

可回收垃圾的质量的频数表

20.（本题满分10分）设一次函数b kx y +=（b k ,是常数，0≠k ）的图象过A （1,3），B （-1，-1）

（1）求该一次函数的表达式；

（2）若点()2,22a a +在该一次函数图象上，求a 的值；

（3）已知点C ()11,y x ，D ()22,y x 在该一次函数图象上，设()()2121y y x x m --=，判断反比例函数x m y 1+=

的图象所在的象限，说明理由。

21.（本题满分10分）如图，在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D,以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E ，连结CD

（1）若︒=∠28A ，求ACD ∠的度数；

（2）设b AC a BC ==,

①线段AD 的长度是方程0222=-+b ax x 的一个根吗？说明理由。

②若线段AD=EC ，求b

a 的值.

22.（本题满分12分）设二次函数)(2b a bx ax y +-+=（b a ,是常数，0≠a ）

（1）判断该二次函数图象与x 轴交点的个数，说明理由.

（2）若该二次函数的图象经过A （-1,4），B （0，-1），C （1,1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；

（3）若0<+b a ，点P （2，m ）(m>0)在该二次函数图象上，求证：0>a .

23.（本题满分12分）如图，在正方形ABCD 中，点G 在边BC 上（不与点B 、C 重合），连接AG ，作DE ⊥AG ,于点E ，BF ⊥AG 于点F ，设

k BC BG = （1）求证：AE=BF

（2）连接BE 、DF ，设βα=∠=∠EBF EDF ,，求证：βαtan tan k =

（3）设线段AG 与对角线BD 交于点H ， AHD ∆和四边形CDHG 的面积分别为 21S S 和，求1

2S S 的最大值.

2018年浙江省杭州市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题

1. 3-=（ ）

A. 3

B. 3-

C.

31 D. 31- 【答案】A

【考点】绝对值及有理数的绝对值

【解析】解：|-3|=3

【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数，即可求解。

2.数据1800000用科学计数法表示为（ ）

A. 1.86

B. 1.8×106

C. 18×105

D. 18×106

【答案】B

【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数

【解析】解：1800000=1.8×

106 【分析】根据科学计数法的表示形式为：a×

10n 。其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1，即可求解。

3.下列计算正确的是（ ） A. 222= B. 222±= C. 242= D. 242±=

【答案】A

【考点】二次根式的性质与化简

【解析】解：AB 、∵222= ，因此A 符合题意；B 不符合题意；CD 、∵442

= ，因此C 、D 不符合题意；

故答案为：A

【分析】根据二次根式的性质，对各选项逐一判断即可。

4.测试五位学生“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据，统计时，出现了一处错误：将最高成绩写得更高了。计算结果不受影响的是（ ）

A. 方差

B. 标准差

C. 中位数

D. 平均数

【答案】C

【考点】中位数

【解析】解：∵五个各不相同的数据，统计时，出现了一处错误：将最高成绩写得更高了∴中位数不会受影响

故答案为：C

【分析】抓住题中关键的已知条件：五个各不相同的数据，统计时，出现了一处错误：将最高成绩写得更高了，可知最高成绩提高，中位数不会变化。

5.若线段 AM ，AN 分别是ABC ∆边上的高线和中线，则（ ）

A.AN AM >

B. AN AM ≥

C. AN AM <

D. AN AM ≤

【答案】D

【考点】垂线段最短

【解析】解：∵线段AM ，AN 分别是△ABC 边上的高线和中线，当BC 边上的中线和高重合时，则AM=AN

当BC 边上的中线和高不重合时，则AM ＜AN

∴AM≤AN

故答案为：D

【分析】根据垂线段最短，可得出答案。

6.某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一题得+5分，每答错一题得-2分，不答的题得0分。已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x 道题，答错了y 道题，则（ ）

A. 20=-y x

B. 20=+y x

C. 6025=-y x

D. 6025=+y x

【答案】C

【考点】二元一次方程的实际应用-鸡兔同笼问题

【解析】根据题意得：5x-2y+0（20-x-y ）=60,即5x-2y=60故答案为：C

【分析】根据圆圆这次竞赛得分为60分，建立方程即可。

7.一个两位数，它的十位数字是3，个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别有数字1~6）朝上一面的数字。任意抛掷这枚骰子一次，得到的两位数是3的倍数的概率等于（ ） A. 61 B. 3

1C. 21 D. 32 【答案】B

【考点】概率公式，复合事件概率的计算

【解析】解：根据题意可知，这个两位数可能是：31、32、33、34、35、36，一共有6种可能得到的两位数是3的倍数的有：33、36两种可能

∴P （两位数是3的倍数）=

【分析】利用列举法求出所有可能的结果数及得到的两位数是3的倍数的可能数，利用概率公式求解即可。

8.如图，已知点P 矩形ABCD 内一点（不含边界），设1θ=∠PAD ，2θ=∠PBA ，3θ=∠PCB ，4θ=∠PDC ，若︒=∠︒=∠50,80CPD APB ,则（ ）

A. ()︒=++30-3241θθθθ）（

B. ()︒=++40-3142θθθθ）（

C. ()︒=++70-4321θθθθ）（

D. ()︒=+++1804321θθθθ）（

【答案】A

【考点】三角形内角和定理，矩形的性质

【解析】解：∵矩形ABCD ∴∠PAB+∠PAD=90°即∠PAB=90°

-∠PAB ∵∠PAB=80°

∴∠PAB+∠PBA=180°-80°=100°

∴90°-∠PAB+∠PBA=100°即∠PBA-∠PAB=10°

① 同理可得：∠PDC-∠PCB=180°

-50°-90°=40°② 由②-①得：∠PDC-∠PCB-（∠PBA-∠PAB ）=30°

∴

故答案为：A

【分析】根据矩形的性质，可得出∠PAB=90°

-∠PAB ，再根据三角形内角和定理可得出∠PAB+∠PBA=100°，从而可得出∠PBA-∠PAB=10°

①；同理可证得∠PDC-∠PCB=40°②，再将②-①，可得出答案。

9.四位同学在研究函数是常数）c b c bx ax y ,(2++=时，甲发现当1=x 时，函数有最小值；

乙发现1-是方程02=++c bx ax 的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当2=x 时，

4=y .已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）

A. 甲

B.乙

C. 丙

D.丁

【答案】B

【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值

【解析】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为:（1,3）且图像经过（2，4）设抛物线的解

析式为：y=a （x-1）2+3

∴a+3=4

解之：a=1

∴抛物线的解析式为：y=（x-1）2+3=x 2-2x+4

当x=-1时，y=7，

∴乙说法错误

故答案为：B

【分析】根据甲和丙的说法，可知抛物线的顶点坐标，再根据丁的说法，可知抛物线经过点（2,4），因此设函数解析式为顶点式，就可求出函数解析式，再对乙的说法作出判断，即可得出答案。

10.如图，在ABC ∆中，点D 在AB 边上，BC DE //，与边AC 交于点E ，连结BE ，记BCE ADE ∆∆,的面积分别为21,S S ，（ ）

A. 若AB AD >2，则2123S S >

B. 若AB AD >2，则2123S S <

C. 若AB AD <2，则2123S S >

D. 若AB AD <2，则2123S S <

【答案】D

【考点】三角形的面积，平行线分线段成比例

【解析】解:如图，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，过点B 作BM ⊥AC 于点M

∴DF ∥BM ，设DF=h 1 ， BM=h 2

∴

∵DE ∥BC

∴

∴

∵若

∴设 =k ＜0.5（0＜k ＜0.5） ∴AE=AC∙k ，CE=AC-AE=AC （1-k)，h 1=h 2k

∵S 1=

AE∙h 1= AC∙k∙h 1 ， S 2= CE∙h 2= AC （1-k ）h 2

∴3S 1= k 2ACh 2 ， 2S 2=（1-K ）∙ACh 2

∵0＜k ＜0.5

∴ k 2＜（1-K ）

∴3S 1＜2S 2

故答案为：D

BM=h

，再根据DE∥BC，可证得，若，设

=k＜0.5（0＜k＜0.5），再分别求出3S1和2S2，根据k的取值范围，即

可得出答案。

二、填空题

11.计算：a-3a=________。

【答案】-2a

【考点】合并同类项法则及应用

【解析】解：a-3a=-2a故答案为：-2a

【分析】利用合并同类项的法则计算即可。

12.如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于A，B，若∠1=45°，则∠2=________。

【答案】135°

【考点】对顶角、邻补角，平行线的性质

【解析】解：∵a∥b∴∠1=∠3=45°

∵∠2+∠3=180°

∴∠2=180°-45°=135°

故答案为：135°

【分析】根据平行线的性质，可求出∠3的度数，再根据邻补角的定义，得出∠2+∠3=180°，从而可求出结果。

13.因式分解：________

【答案】

【考点】提公因式法因式分解

【解析】解：原式=（b-a）（b-a）-（b-a）=（b-a）（b-a-1）【分析】观察此多项式的特点，有公因式（b-a）,因此提取公因式，即可求解。

14.如图，AB是⊙的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交O于点D，E 两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DEA=________。

【答案】30°

【考点】垂径定理，圆周角定理

【解析】解：∵DE⊥AB∴∠DCO=90°

∵点C时半径OA的中点

∴OC= OA= OD

∴∠CDO=30°

∴∠AOD=60°

∵弧AD=弧AD

∴∠DEA= ∠AOD=30°

故答案为：30°

【分析】根据垂直的定义可证得△COD是直角三角形，再根据中点的定义及特殊角的三角函数值，可求出∠AOD的度数，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求出结果。

15.某日上午，甲、乙两车先后从A地出发沿一条公路匀速前往B地，甲车8点出发，如图是其行驶路程s（千米）随行驶时间t（小时）变化的图象．乙车9点出发，若要在10点至11点之间（含10点和11点）追上甲车，则乙车的速度v（单位：千米/小时）的范围是________。

【答案】60≤v≤80

【考点】一次函数的图象，一次函数的实际应用，一次函数的性质

【解析】解：根据题意得:甲车的速度为120÷3=40千米/小时2≤t≤3

若10点追上，则v=2×40=80千米/小时

若11点追上，则2v=120，即v=60千米/小时

∴60≤v≤80

故答案为：60≤v≤80

【分析】根据函数图像可得出甲车的速度，再根据乙车9点出发，若要在10点至11点之间（含10点和11点）追上甲车，可得出t的取值范围，从而可求出v的取值范围。

16.折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C 落在直线AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则

AD=________。

【答案】或3

【考点】勾股定理，矩形的性质，正方形的性质，翻折变换（折叠问题）

【解析】∵当点H在线段AE上时把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上

∴四边形ADFE是正方形∴AD=AE

∵AH=AE-EH=AD-1

∵把△CDG翻折，点C落在直线AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上

∴DC=DH=AB=AD+2

在Rt△ADH中，AD2+AH2=DH2

∴AD2+（AD-1）2=（AD+2）2

解之：AD=3+2 ，AD=3-2 （舍去）

∴AD=3+2

当点H在线段BE上时

则AH=AE-EH=AD+1

在Rt△ADH中，AD2+AH2=DH2

∴AD2+（AD+1）2=（AD+2）2

解之：AD=3，AD=-1（舍去）

故答案为：或3

【分析】分两种情况：当点H在线段AE上；当点H在线段BE上。根据①的折叠，可得出四边形ADFE是正方形，根据正方形的性质可得出AD=AE，从而可得出AH=AD-1（或AH=AD+1），再根据②的折叠可得出DH=AD+2，然后根据勾股定理求出AD的长。

三、简答题

17.已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货，设平均卸货速度为v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为t（单位：小时）。

（1）求v关于t的函数表达式

（2）若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？

【答案】（1）有题意可得：100=vt，则

（2）∵不超过5小时卸完船上的这批货物，∴t≦5，

则v≧=20

答：平均每小时至少要卸货20吨。

【考点】一元一次不等式的应用，反比例函数的性质，根据实际问题列反比例函数关系式

【解析】【分析】（1）根据已知易求出函数解析式。

（2）根据要求不超过5小时卸完船上的这批货物，可得出t 的取值范围，再求出t=5时的函数值，就可得出答案。

18.某校积极参与垃圾分类活动，以班级为单位收集可回收的垃圾，下面是七年级各班一周收集的可回收垃圾的质量频数和频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）。

组别（kg ）

频数 4.0~4.5

2 4.5~5.0

a 5.0~5.5

3 5.5~6.0

1 （1）求a 的值。

（2）已知收集的可回收垃圾以0.8元/kg 被回收，该年级这周收集的可回收垃圾被回收后所得的金额能否达到50元。

【答案】（1）观察频数分布直方图可得出a=4

（2）设收集的可回收垃圾总质量为W ，总金额为Q ∵每组含前一个边界值，不含后一个边界

W ＜2×4.5+4×5+3×5.5+1×6=51.5kg

Q ＜515×0.8=41.2元

∵41.2＜50

∴该年级这周的可回收垃圾被回收后所得全额不能达到50元。

【考点】频数（率）分布表，频数（率）分布直方图

【解析】【分析】（1）观察频数分布直方图，可得出a 的值。

（2）设收集的可回收垃圾总质量为W ，总金额为Q ，根据每组含前一个边界值，不含后一个边界，求出w 和Q 的取值范围，比较大小，即可求解。

19.如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 为BC 边上的中线DE ⊥AB 于点E 。 某校七年级各班一周收集的

可回收垃圾的质量的频数表

某校七年级各班一周收集的可回收垃圾的质量的频数频数直方图

（1）求证：△BDE ∽△CAD 。

（2）若AB=13，BC=10，求线段DE 的长

【答案】（1）证明：∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，△ABC 为等腰三角形

∵AD 是BC 边上中线

∴BD=CD ，AD ⊥BC

又∵DE ⊥AB

∴∠DEB=∠ADC

又∵∠ABC=∠ACB

∴△BDE ∽△CAD

（2）∵AB=13，BC=10BD=CD=

BC=5，AD 2+BD 2=AB 2

AD=12

∵△BDE ∽△CAD

∴

，即

∴DE= 【考点】等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）根据已知易证△ABC 为等腰三角形，再根据等腰三角形的性质及垂直的定义证明∠DEB=∠ADC ，根据两组角对应相等的两三角形是相似三角形，即可证得结论。

(2）根据等腰三角形的性质求出BD 的长，再根据勾股定理求出AD 的长，再根据相似三角形的性质，得出对应边成比例，就可求出DE 的长。

20.（本题满分10分）设一次函数b kx y +=（b k ,是常数，0≠k ）的图象过A （1,3），

B （-1，-1）

（1）求该一次函数的表达式；

（2）若点()2,22a a +在该一次函数图象上，求a 的值；

（3）已知点C ()11,y x ，D ()22,y x 在该一次函数图象上，设()()2121y y x x m --=，判断反比例函数x

m y 1+=的图象所在的象限，说明理由。 【答案】（1）根据题意，得

，解得k=2，b=1 所以y=2x+1

（2）因为点（2a+2，a 2）在函数y=2x+1的图像上，所以a 2=4a+5

解得a=5或a=-1

（3）由题意，得y 1-y 2=（2x 1+1）-（2x 2+1）=2（x 1-x 2）所以m=（x 1-x 2）（y 1-y 2）=2（x 1-x 2）2≥0，

所以m+1＞0

所以反比例函数 的图像位于第一、第三象限

【考点】因式分解法解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，反比例函数的性质

【解析】【分析】（1）根据已知点的坐标，利用待定系数法，就可求出一次函数的解析式。

（2）将已知点的坐标代入所求函数解析式，建立关于a 的方程，解方程求解即可。

（3）先求出y 1-y 2=2（x 1-x 2），根据m=（x 1-x 2）（y 1-y 2），得出m=2（x 1-x 2）2≥0，从而可

判断m+1的取值范围，即可求解。

21.（本题满分10分）如图，在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D,以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E ，连结CD

（1）若︒=∠28A ，求ACD ∠的度数；

（2）设b AC a BC ==,

①线段AD 的长度是方程0222=-+b ax x 的一个根吗？说明理由。

②若线段AD=EC ，求b a 的值.

【答案】（1）因为∠A=28°，所以∠B=62°又因为BC=BD ，所以∠BCD=

×（180°-62°）=59°

∴∠ACD=90°-59°=31°

（2）因为BC=a ，AC=b ，所以AB=

所以AD=AB-BD=

①因为 =

=0

所以线段AD 的长是方程x 2+2ax-b 2=0的一个根。

②因为AD=EC=AE=

所以

是方程x 2+2ax-b 2=0的根，

所以

，即4ab=3b

因为b≠0，所以 =

【考点】一元二次方程的根，等腰三角形的性质，勾股定理，圆的认识

【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理可求出∠B 的度数，再根据已知可得出△BCD 是等腰三角形，可求出∠BCD 的度数，从而可求得∠ACD 的度数。

（2）根据已知①BC=a ，AC=b ，利用勾股定理可求出AB 的值，①再求出AD 的长，再根据AD 是原方程的一个根，将AD 的长代入方程，可得出方程左右两边相等，即可得出结论；

②根据已知条件可得出AD=EC=AE=

，将 代入方程化简可得出4ab=3b ，就可求出a

与b 之比。

22.（本题满分12分）设二次函数)(2b a bx ax y +-+=（b a ,是常数，0≠a ） （1）判断该二次函数图象与x 轴交点的个数，说明理由.

（2）若该二次函数的图象经过A （-1,4），B （0，-1），C （1,1）三个点中的其中两个点，

求该二次函数的表达式；

（3）若0<+b a ，点P （2，m ）(m>0)在该二次函数图象上，求证：0>a .

【答案】（1）当y=0时， （a≠0）因为△=b 2+4a （a+b ）=（2a+b ）2 所以，当2a+b=0，即△=0时，二次函数图像与x 轴有1个交点；

当2a+b≠0，即△＞0时，二次函数图像与x 轴有2个交点。

（2）当x=1时，y=0，所以函数图象不可能经过点C （1，1）

所以函数图象经过A （-1，4），B （0，-1）两点，

所以

解得a=3，b=-2所以二次函数的表达式为

（3）因为P （2，m ）在该二次函数的图像上，所以m=4a+2b-（a+b ）=3a+b

因为m ＞0，所以3a+b ＞0，

又因为a+b ＞0，

所以2a=3a+b-（a+b ）＞0，

所以a ＞0

【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与坐标轴的交点问题

【解析】【分析】（1）根据题意求出△=b 2-4ac 的值，再分情况讨论，即可得出答案。

（2）根据已知点的坐标，可排除点C 不在抛物线上，因此将A 、B 两点代入函数解析式，建立方程组求出a 、b 的值，就可得出函数解析式。

（3）抓住已知条件点P （2，m ）（m>0）在该二次函数图象上，得出m=3a+b,结合已知条件m 的取值范围，可得出3a+b ＞0，再根据a+b ＞0，可证得结论。

23.（本题满分12分）如图，在正方形ABCD 中，点G 在边BC 上（不与点B 、C 重合），连接AG ，作DE ⊥AG ,于点E ，BF ⊥AG 于点F ，设

k BC BG = （1）求证：AE=BF

（2）连接BE 、DF ，设βα=∠=∠EBF EDF ,，求证：βαtan tan k =

（3）设线段AG 与对角线BD 交于点H ， AHD ∆和四边形CDHG 的面积分别为 21S S 和，求1

2S S 的最大值.

【答案】（1）因为四边形ABCD是正方形，所以∠BAF+∠EAD=90°，又因为DE⊥AG，所以∠EAD+∠ADE=90°，

所以∠ADE=∠BAF，

又因为BF⊥AG，

所以∠DEA=∠AFB=90°，

又因为AD=AB

所以Rt△DAE≌Rt△ABF，

所以AE=BF

（2）易知Rt△BFG∽Rt△DEA，所以在Rt△DEF和Rt△BEF中，tanα= ，

tanβ=

所以ktanβ= = = = =tanα

所以

（3）设正方形ABCD的边长为1，则BG=k，所以△ABG的面积等于k因为△ABD的

面积等于

又因为=k，所以S1=

所以S2=1- k- =

所以=-k2+k+1= ≤

因为0＜k＜1，所以当k= ，即点G为BC中点时，有最大值

【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形【解析】【分析】（1）根据正方形的性质及垂直的定义，可证得∠ADE=∠BAF，∠ADE=∠BAF 及AD=AB，利用全等三角形的判定，可证得Rt△DAE≌Rt△ABF，从而可证得结论。（2）根据已知易证Rt△BFG∽Rt△DEA，得出对应边成比例，再在Rt△DEF和Rt△BEF 中，根据锐角三角函数的定义，分别表示出tanα、tanβ，从而可推出tanα=tanβ。

（3）设正方形ABCD的边长为1，则BG=k，分别表示出△ABG、△ABD的面积，再根据

=k,求出S1及S2，再求出S1与S2之比与k的函数解析式，求出顶点坐标，然后根据k的取值范围，即可求解。下载本文